Paleta neantrenata in miscare de rotatie, avand masa concentrata la varf

Paleta neantrenata in miscare de rotatie, avand masa concentrata la varf.

Ipoteze:

- paleta este o grinda incastrata la un capat si libera la celalalt capat,

- aria sectiunii este constanta,

- masa paletei este concentrata la capatul liber,

- paleta nu este antrenata in miscare de rotatie,

- asupra paletei actioneaza, pentru scurt timp, o forta de excitatie exterioara, dupa care paleta vibreaza liber, sub actiunea fortei de inertie F_i, si a celei elastice F_e, care au sensuri contrarii,

- in calcul se tine seama de relatiile dintre solicitari si deformatii, respectiv:

φ; ; ;

Schema de calcul este data in fig.86 si notatiile sunt:

y - sageata,

x - distanta de la incastrare pana la sectiunea de calcul,

- unghiul de deformatie al barei in sectiunea x,

M - momentul incovoietor in sectiunea x,

T - forta taietoare in sectiunea x,

q - sarcina in sectiunea x,

E - modulul de elasticitate al materialului paletei,

J - momentul de inertie al ariei sectiunii fata de axa de deformatie considerata.

Fig. 87 - Schema de calcul.

Forta de inertie este echilibrata de forta elastica, respectiv suma acestora este nula,

F_i + F_e = 0 (1)

dar,

m - masa concentrata,

- acceleratia deformatiei,

K - coeficientul de elasticitate al barei,

sau,

respectiv,

Se noteaza,

p - pulsatia vibratiei,

f - frecventa vibratiei,

y₀ - sageata maxima;

Ecuatia (1) devine,

(2)

Solutia ecuatiei (2), fiind

y = y₀ · cos (p · t + φ) (3)

Unghiul φ se determina din conditiile initiale:

t = 0 ; y = y₀ ;

Derivand (3), rezulta

φ )

Deoarece ; , t = 0, trebuie ca sin (p · t + φ) = 0, sau φ = 0. Ca urmare solutia ecuatiei (3) este:

(4)

Pentru determinarea constantei elastice K, se considera relatiile dintre solicitari si deformatii, fig. 88, in care P este forta echivalenta masei m,dispusa la capatul barei.

Fig. 88 - Schema de calcul.

(5)

dar

sau

(6)

se obtine φ prin integrarea (6),

φ

iar y, din integrarea relatiei lui φ,

(7)

Cand x = L, rezulta sageata la varful paletei ca fiind:

(8)

dar tot forta P, este egala cu forta elastica de la varful paletei, deci,

P = F_e (9)

si din (8) rezulta,

deci

constanta elastica K, fiind:

(10)

Pulsatia proprie a barei avand masa concentrata la varf este,

sau

(11)

Daca se exprima masa

ρ - densitatea materialului paletei,

A - aria sectiunii aerofoliei,

L - lungimea aerofoliei.

Expresia (11) devine,

(12)

In cazul utilizarii greutatii specifice a materialului, , pulsatia va fi,

(13)

Frecventa vibratiei se obtine din:

(14)

sau

Concluzii.

In cazul paletei neantrenata in miscare de rotatie, asupra frecventei influenteaza:

- lungimea L, a aerofoliei,

- natura materialului,(prin p si E),

- temperatura aerofoliei, care influenteaza valoarea E. Cu cresterea temperaturii t, valoarea E scade, corespunzator scade si frecventa,

- masa paletei, m. Cu cresterea masei, frecventa scade,

- forma ariei sectiunii si axa fata de care se deformeaza paleta, prin momentul de inertie J,

- rigiditatea paletei, prin EJ.