Parametrii codurilor detectoare si corectoare de erori

PARAMETRII CODURILOR DETECTOARE SI CORECTOARE DE ERORI

Performantele obtinute prin utilizarea codurilor corectoare si detectoare de erori se face prin intermediul a o serie de parametri ce vor fi definiti in cele ce urmeaza :

Redundanta

Dupa cum arata teorema a II-a a lui Shannon, protectia la erori poate fi realizata numai pe seama redundantei. In cazul unei codificari, aceasta poate fi definita in valoare absoluta sau relativa, pentru coduri separabile sau neseparabile.

redundanta absoluta (R_a) in cazul codurilor separabile reprezinta numarul de simboluri redundante existente intr-un cuvint de cod sau mesaj.

R_a=k [biti (7)

redundanta relativa (R_r), in cazul codurilor separabile este raportul dintre numarul simbolurilor redundante (k) si lungimea cuvintului de cod (n) :

sau [%]

In cazul codurilor neseparabile (cu redundanta implicita) cei doi parametri se calculeaza cu relatiile :

[numarul total de secvente de lungime n]-ld[numarul cuvintelor de cod] (9)

(10)

Observatie :Relatiile (9) si (10) sint mai generale, obtinerea relatiilor (7) si (8) se face printr-o particularizare a primelor. Propunem cititorului deducerea expresiilor R_a si R_r pentru coduri separabile pornind de la relatiile de definitie valabile pentru coduri neseparabile.

Capacitatea de detectie si de corectie

Proportia de erori detectabile, respectiv corectabile din numarul total posibil de erori se apreciaza prin capacitatea de detectie (C_d), respectiv corectie (C_c) definite de relatiile :

(11)

Ponderea si distanta de cod

Ponderea Hamming (w) a unui cuvint v este definita de numarul simbolurilor nenule din v. De exemplu pentru :

v

ponderea Hamming este w(v)=

Distanta Hamming dintre doua cuvinte v_i si v_j notata cu d(v_i,v_j) se defineste ca numarul de pozitii in care v_i si v_j se deosebesc :

unde : v_i=(a_1i,a_2i,,a_ni)

v_j=(a_1j,a_2j,,a_nj)

iar reprezinta suma modulo-2.

De exemplu , pentru :

v_i=(1 0 1 1 0 1 1)

v_i=(0 1 1 1 1 0 1),

distanta dintre v_i si v_j este :

d(v_i,v_j)=(1

Suma modulo-2 a doua cuvinte binare v_i si v_j este un alt cuvint avind unitati pe pozitiile pe care v_i si v_j difera in cazul codurilor bloc liniare.

Observatie :

distanta Hamming dintre doua cuvinte v_i si v_j este egala cu ponderea sumei :

(14)

Pentru un cod C avind un numar de M cuvinte, distanta de cod (d) se defineste ca distanta minima dintre oricare doua cuvinte de cod :

(15)

Deoarece, conform (14), distanta dintre doua cuvinte de cod este ponderea altui cuvint de cod, rezulta ca :distanta de cod (d) este egala cu ponderea minima a codului :

d=w_min  (16)

Observatii :

relatia (16) este foarte utila in aplicatii, data fiind comoditatea calculului ponderilor.

din calculul distantei de cod si a ponderilor se exclude cuvintul cu toate simbolurile nule .