Automatizarea proceselor cu transfer de masa

AUTOMATIZAREA PROCESELOR CU TRANSFER DE MASA

1. Procese cu transfer de masa

Procesele cu transfer de masa asigura separarea componenților din amestecuri multicomponente. Metodele uzuale de separare sunt raportate la fazele implicate in procesele cu transfer de masa și la procedeele care stau la baza acestora. Aceste metode sunt : distilarea, absorbția, desorbția, extracția, striparea, difuzia, efuzia, dializa etc. Procesele cu transfer de masa au loc in coloanele de separare.

Se va prezenta mecanismul proceselor de separare prin distilare, din care se desprind principalele idei ce stau la baza cunoașterii comportarii calitativ-cantitative a proceselor cu transfer de masa.

Se considera doua lichide pure cu temperaturi de fierbere diferite. Temperatura de fierbere a amestecului este o funcție de compoziția acestuia. Daca amestecul este fiert intr-un vas inchis (la presiune constanta) la echilibru, atunci concentrația componenților in faza lichida și de vapori va fi diferita, vaporii fiind mai bogați in component ușor (acel component care fierbe la o temperatura mai joasa in stare pura) iar lichidul fiind mai bogat in component greu.

Pentru compoziții diferite ale amestecului, punctul de echilibru al temperaturii de fierbere va fi diferit și va crește de la o valoare joasa cand amestecul conține componentul ușor in stare pura, la o valoare inalta cand amestecul este de fapt componentul greu in stare pura. Prin eliminarea temperaturii de fierbere care este parametrul de care depinde concentrațiile componenților din amestec, se obține dependența intre concentrațiile componenților din faza lichida x și de vapori y, exprimate prin curba de echilibru asociata amestecului.

  Fig.1. Diagrama de echilibru tipica

O diagrama de echilibru tipica e prezentata in fig.1. Concentrațiile componentului ușor sunt exprimate in fracții molare. Folosind curba de echilibru poate fi dezvoltat procesul de separare prin distilare.

Presupunem ca avem un lichid amestec bicomponent in care concentrația produsului ușor este x₀, amestec pe care il fierbem. Vaporii colectați au concentrația componentului ușor egala cu y₀>x₀. Daca vaporii se condenseaza, licidul obținut are concentrația x₁=y₀, iar prin fierberea acestui lichid se obțin vapori cu concentrația y₁>y₀. Procesul poate fi continuat in trepte pana se obține eventual un produs cu un grad ridicat de puritate al componentului ușor.

Mergand invers pe curba de echilibru, in sensul descreșterii concentrațiilor x și y, se obține un produs foarte bogat in component greu. Astfel, cu un numar corespunzator de trepte se poate atinge un anumit grad de separare al componenților.

Intrucat procesul cu transfer de masa este insoțit și de fenomene calorice, eficiența termica a separarii in trepte poate fi imbunatațita daca cantitatea de caldura obținuta prin condensarea vaporilor este folosita pentru procesul de vaporizare a lichidului la o treapta adiacenta.

Daca cantitatea de caldura ceruta pentru vaporizarea unui mol de lichid este egala cu cantitatea de caldura obținuta prin condensarea unui mol de vapori, atunci intervențiile calorice sunt necesare la inceputul și sfarșitul cascadei treptelor de separare. Rezulta ca in loc sa fie utilizate serii de vaporizare și condensare separate, poate fi indeplinit transferul de caldura necesar, prin contact direct intre vapori și lichid.

Contactul vapori-lichid in procesul de transfer de masa e realizat in diferite moduri : in coloane cu umplutura in care se asigura suprafețe mari pe unitatea de volum pentru contactarea fazelor, sau in coloane cu talere (cu clopoței) la care vaporii trec direct prin lichid și prin barbotaj maresc eficiența transferului caloric și de separare.

In fig.2 se prezinta configurația de baza a unei coloane de distilare. Amestecul care trebuie sa fie separat este introdus sub forma unui flux de alimentare in apropierea mijlocului coloanei de distilare. Acest flux vine in contact cu vaporii care se ridica dinspre baza coloanei și cu lichidul care coboara dinspre varf prin intermediul suprafețelor colectoare sau al talerelor. Transferul de caldura și de masa se face la suprafața dintre masa lichida și faza gazoasa, fluxul descendent de lichid este saracit in component ușor și fluxul ascendent de vapori este imbogațit cu component ușor.

La baza coloanei lichidul intra intr-un refierbator, parțial se vaporizeaza și se reintoarce in coloana impreuna cu un aport caloric, iar lichidul ramas este extras ca produs de baza.

La varful coloanei vaporii intra intr-un condensator și apoi sunt depozitați in stare lichida intr-un acumulator. Din acesta, o parte a lichidului este reintrodusa in coloana printr-un debit de reflux, iar ce ramane este extras ca produs de varf.

Atat fierbatorul cat și condensatorul pot fi considerate ca elemente in care au loc treptele inițiala și finala de separare, prin debitele de reflux din aceste aparate auxiliare fiind controlate concentrațiile componenților de la baza și de la varf.

Pentru calculul procesului de separare se considera cazul unui amestec binar (fig.3), fiind folosite notațiile : F, W, D - debitele de alimentare, produsului de baza, respectiv produsului de varf; X_F, X_W, X_D - concentrațiile alimentarii, produsului de baza, respectiv produsului de varf; L_*, V_* -fluxurile de lichid, respectiv de vapori din interiorul coloanei; X_*, Y_* - concentrațiile lichidului, respectiv a vaporilor din coloana; k, j - indici ce definesc numarul talerului din zona de rectificare (jumatatea superioara a coloanei), respectiv din zona de stripare (jumatatea inferioara a coloanei).

Fig.3. Procesul de separare pentru un amestec binary

Pentru aceste doua zone ale coloanei, rectificare și stripare, se pot scrie ecuațiile de bilanț global

(1)

Daca se considera ca in coloana nu au loc pierderi de caldura și ca vaporii care parasesc un taler sunt in echilibru cu lichidul de pe taler, atunci marimile

(2)

sunt constante in fiecare secțiune și R_k-1 > R_j, rezultand

(3)

Pentru zona de rectificare, respectiv de stripare se poate scrie

(4)

Relațiile (4) reprezinta liniile de operare ale coloanei in zona de rectificare, respectiv de stripare, care, intr-o diagrama de operare (fig.4), sunt plasate alaturi de curba de echilibru vapori-lichid.

  Fig.4. Diagrama de operare

Daca se considera talerul k din secțiunea de rectificare, concentrația vaporilor care parasesc talerul este Y_k, iar cea a lichidului de pe taler este X_k. Vaporii care parasesc talerul k-1 trebuie sa aiba concentrația Y_k-1, iar lichidul care pleaca de pe talerul k+1 trebuie sa aiba concentrația X_k+1. Aceleași considerațiuni se fac și pentru secțiunea de stripare.

Schimbarea de concentrație de la un taler la altul este redata in diagrama prin trepte orizontale de la curba de echilibru la liniile de operare. Este evident ca linia de operare din secțiunea de rectificare trece prin punctul Y = X_D de pe bisectoare, deoarece concentrația vaporilor din varful coloanei este egala cu concentrația produsului in faza lichida (condensat) care este recirculat. La fel, linia de operare din secțiunea de stripare trece prin punctul Y = X_W.

Alimentarea coloanei se face in zona care separa secțiunile de rectificare și de stripare și deci amestecul cu concentrația Z_F se introduce pe talerul caruia ii corespunde dreapta care cuprinde intersecția celor doua linii de operare.

Se definește cantitatea q astfel

(5)

unde : L_F - fluxul de lichid ce pleaca de pe talerul de alimentare;

L_F+1- fluxul de lichid de la talerul urmator;

F - fluxul de alimentare.

Rezulta ecuația de bilanț la nivelul talerului de alimentare

(6)

unde : V_F - fluxul de vapori ce pleaca de pe talerul de alimentare;

V_F-1- fluxul de vapori de la talerul inferior.

Liniile de operare se intersecteaza in punctul de coordonate X_F și Y_F, care satisface simultan ecuațiile celor doua linii de operare

(7)

Prin adunarea celor doua relații anterioare se obține

(8)

iar prin intermediul ecuației de bilanț

(9)

și a relației prin care a fost introdusa marimea q, rezulta

(10)

expresie ce definește locul geometric al intersecțiilor posibile dintre liniile de operare cu care se stabilește regiunea de alimentare a coloanei (dreapta q).

Modelul matematic pentru o coloana cu talere

Modelul matematic al coloanei este dat de un sistem de ecuații diferențiale liniare, care reprezinta bilanțuri de material scrise pentru talerele coloanei. Se considera ca transferul de masa de la nivelul unui taler este un proces cu parametri concentrați, iar amestecul care se separa este bicomponent.

Modelul matematic pentru un taler imaginar r (fig.5) cuprinde ecuațiile de bilanț pentru :

Fig.5. Taler imaginar

- componentul ușor din faza lichida

(11)

- componentul ușor din faza de vapori

(12)

- faza lichida

(13)

- faza de vapori

(14)

Marimile ce intervin in ecuațiile de bilanț sunt :

F_r - flux de lichid din alimentare (cu concentrația Z_r);

F'_r - flux de vapori din alimentare (cu concentrația Z'_r);

Q_r - flux de vapori extras de pe taler (concentrația Y_r);

U_r - flux de lichid extras de pe taler (concentrația X_r);

L_r - flux de lichid ce pleaca de pe taler (concentrația X_r);

L_r+1- flux lichid ce vine pe talerul r+1 (concentrația X_r+1);

V_r+1- flux de vapori din spațiul de deasupra talerului r-1;

V'_r - flux de vapori din lichidul de pe talerul r cu concentrația Y'_r;

V_r - flux de vapori din spațiul de deasupra talerului r cu concentrația Y_r;

h_r - cantitatea de vapori ce se gasește pe talerul r;

H_r - cantitatea de lichid de pe talerul r;

r - indice taler intre 0 n+1 (pentru coloana cu n talere).

Pentru talerul considerat se atașeaza și ecuația de echilibru

(15)

unde : p_r - presiunea vaporilor de deasupra talerului r.

Daca vaporii ce parasesc talerul r sunt in echilibru cu lichidul, atunci Y_r = Y'_r, iar daca talerul nu este ideal, se introduce eficiența talerului

(16)

Fluxul de lichid L_r este o funcție neliniara de cantitatea H_r

(17)

Presupunand ca vaporii nu pot trece in lichid, daca caldura latenta de vaporizare este constanta și fierberea are loc la echilibru, atunci

(18)

Fluxul de vapori ce se ridica de pe talerul r e o funcție neliniara de p_r-1 și p_r

(19)

Relațiile (11) (19) sunt suficiente pentru determinarea comportarii coloanelor de distilare binare, neglijand efectele caldurii.

Formularea generala a modelului se simplifica prin ipotezele : neglijam cantitatea h_r de vapori de pe taler; produsul se extrage direct din faza de lichid incat Q_r = 0; fazele de lichid și de vapori de alimentare nu ajung pe talerul r; consideram constante fluxurile de vapori V_r și lichid L_r, exceptand refierbatorul și condensatorul.

Ecuațiile (11) și (13) devin

(20)

Relațiile (20), (21), eficiența (16) și echilibrul (15) descrieriu comportarea coloanei de distilare binare. Particularizand avem :

- pentru talerul zero (refierbator)

(22)

(23)

- pentru talerul n+1 (condensator)

(24)

(25)

- pentru talerul F (de alimentare)

(26)

(27)

- pentru un taler r (oarecare)

(28)

(29)

S-au neglijat reținerile fazei de vapori pe talere, considerand fluxul de vapori continuu. Presupunem constant și fluxul descendent de lichid cu excepția discontinuitaților din condensator, refierbator și talerul de alimentare. Pentru fluxurile L = L_k și L = L_j constante in secțiunea de rectificare și de stripare, ecuația (20) devine

(30)

Ecuațiile refierbatorului sunt

(31)

(32)

Ecuațiile condensatorului sunt

(33)

(34)

Ecuațiile talerului de alimentare sunt

(35)

(36)

Ultima reprezentare descrie comportamentul coloanei in condițiile de neglijare a vaporilor reținuți la nivelul talerelor, cand lichidul de reținere este constant, caldura latenta este constanta, iar fierberea are loc la echilibru. Modelul global al coloanei rezulta din asamblarea ecuațiilor diferențiale precizate pentru fiecare taler și poate fi rezolvat comod pe un calculator numeric.

3. Modelul matematic pentru o coloana cu umplutura

Coloana cu umplutura e descrisa de un model matematic cu parametrii distribuiți. Transferul de masa are loc prin contactarea directa intre cele doua faze vapori-lichid, in lungul coloanei. Determinarea se face pe baza urmatoarelor observații :

- se inlocuiesc ecuațiile diferențiale deduse la coloana cu talere (cu diferențe finite) prin ecuații cu derivate parțiale;

- se considera un sistem ipotetic de studiu, sistem care poate fi studiat și comparat cu sistemul coloanei cu talere.

Consideram ecuația diferențiala pentru un taler r sub forma

(37)

Daca se ia in considerație spațiul dintre talere se poate da o interpretare continua a proceselor din coloana. Fie a distanța dintre talere. Atunci se poate scrie

(38)

unde z este o variabila spațiala continua in lungul coloanei.

Relația (37) devine

(39)

Se presupune ca variațiile marimilor L, V si X sunt mici in raport cu distanța a și rezulta

(40)

obținandu-se

(41)

sau pentru h = H/a

(42)

dar z = a r și relația devine

(43)

unde, derivata de ordinul unu poate fi neglijata pentru ca termenul L X - V f(X) poate sa dispara in lungul coloanei.

Pentru talerul de varf avem r = n + 1

(44)

sau

(45)

adica

(46)

Deoarece este indeplinita condiția de echilibru Y = f(X) la nivelul condensatorului (ultimul taler r = n + 1), relația anterioara devine

(47)

sau

(48)

La fel se arata pentru refierbator (talerul r = 0)

(49)

Pentru talerul de alimentare avem

(50)

In continuare, mecanismul transferului de masa in coloana cu umplutura este aratat pe sistemul ipotetic din fig.6 in care sunt imaginate doua fluxuri : unul asociat vaporilor și altul asociat lichidului.

Fig.6. Mecanismul transferului de masa in coloana cu umplutura

Transferul are loc la interfața dintre cele doua fluxuri, unde este asigurata și condiția de echilibru interfaze, in lungul și in curmezișul coloanei. Transferul de masa pe orizontala este asigurat de diferența de concentrații de la extremitatea coloanei, la interfața.

Astfel, pentru cele doua fluxuri, cantitațile transferate spre interfața sunt

(51)

unde : Y_i - concentrația pe interfața a vaporilor;

Y - concentrația in coloana a vaporilor;

X_i - concentrația pe interfața a lichidului;

X - concentrația in coloana a lichidului;

A - suprafața de transfer pe unitatea de volum;

K_G - conductanța transversala in zona vaporilor;

K_L - conductanța transversala in zona lichidului.

Pentru continuitatea transferului este necesar ca

(52)

In regim staționar se scriu ecuațiile cu derivate parțiale in raport cu variabila continua z, care reprezinta bilanțul de masa pentru cele doua faze :

- pentru faza lichida

(53)

- pentru faza de vapori

(54)

unde S este secțiunea coloanei.

Se fac urmatoarele ipoteze simplificatoare : se neglijeaza vaporii reținuți pe taler; cantitațile de lichid și de vapori in lungul coloanei se considera constante; caldura latenta de vaporizare e constanta; discontinuitați in fluxul de material apar doar la intrarile de alimentare sau la extremitațile de evacuare ale coloanei.

Rezulta urmatoarele relații pentru (53) și (54)

(55)

(56)

In multe cazuri practice , concentrația de vapori in curmezișul coloanei este aproximativ constanta, adica X = X_i și anume Y_i = f(X), iar relațiile anterioare devin

(57)

(58)

unde Y^* este concentrația vaporilor in echilibru cu lichidul de concentrație X^*.

Liniarizarea ultimelor doua relații se bazeaza pe noțiunea de volatilitate relativa. Pentru un amestec binar care conține componenții A și B, volatilitatea se definește astfel

(59)

unde p_A este presiunea par iala a componentului A in stare de vapori (in echilibru cu lichidul) și X_A fracția molara a componentului A in lichid.

Volatilitatea relativa este definita de relația

(60)

unde β_A și β_B sunt volatilitațile componentului ușor A și componentului greu B.

Funcție de presiunile parțiale vom avea

(61)

Din relațiile lui Dalton

(62)

rezulta

(63)

Dar

(64)

rezultand

(65)

Daca Y_A = Y^* este compoziția vaporilor in echilibru cu lichidul de concentrație X_A = X^*, pentru amestecul binar rezulta

(66)

Daca = ct, rezulta o dependența liniara constanta intre procentele molare Y^* / (1 - Y^*) și X / (1 - X). Aceasta sugereaza introducerea variabilelor dependente

(67)

Se exprima variabilele distribuite prin expresiile

(68)

unde X_f, Y_f, Y^*_f sunt valorile finale ale variabilelor distribuite și satisfac ecuațiile

(69)

Cu acestea se obțin relațiile

(70)

Funcția neliniara din relația precedenta se dezvolta in serie Taylor in jurul punctului X_f și se reține partea liniara

(71)

unde

(72)

Cu acestea, pentru ca m(z) are o variație moderata putandu-se considera m(z) = m = ct, rezulta modelele liniarizate

(73)

Urmatorul pas este de a construi un model dinamic liniarizat (Taylor) și de a-l compara cu modelul care a rezultat de la coloana de distilare cu talere.

Se da o deplasare cu viteza v a sistemului de coordonate prin substituția

(74)

și rezulta

(75)

Cu acestea ecuațiile (73) devin

(76)

Pentru regim staționar

(77)

de unde

(78)

Concentrația produsului ușor in cele doua faze e data prin relația

(79)

Utilizand W se estimeaza W și W și se deduce

(80)

Daca se neglijeaza reținerile de vapori (h_V = 0), se obține

(81)

unde

(82)

Prin adunarea ecuațiilor (76) avem

(83)

iar pentru h_V prin relațiile (82) rezulta

(84)

Este util sa se compare acest rezultat cu modelul matematic obținut prin diferențe finite la coloana cu talere - ecuația (43). Daca in aceasta ecuație se schimba notația cu cea utilizata aici și m(r) m = constant, avem

(85)

unde a este distanța dintre talere.

Daca eficiența talerului E_r = 1, atunci marimea a este echivalenta cu marimea V a coloanei cu umplutura, iar diferența intre cele doua modele este data de cea dintre m V și (L + m V) / Dar raportul L / V reprezinta panta liniei de operare din fig.4. Eexaminarea acesteia arata ca, atunci cand panta curbei de echilibru m este aproximativ aceeași cu cea a liniei de operare L / V, cele doua modele (43) și (84) vor fi echivalente.

Modelul (84) se rezolva daca se cunosc condițiile la limita. Condițiile limita pentru ecuația (43) sunt : pentru X la z = z_f (intrare lichid) și pentru Y la z = 0 (intrare vapori). Pentru ecuația (85) condițiile la limita vor fi diferite dupa cum urmeaza

(86)

iar pentru ecuația (84) avem

(87)

Prin rezolvarea modelelor cu derivate parțiale cu condiții la limita date, pot fi determinate variațiile concentrațiilor X și Y in raport cu dimensiunea z și cu timpul. Estimarea unor astfel de modele este necesara pentru studiul comportamentului in regim dinamic al proceselor cu transfer de masa și pentru adoptarea unor soluții de automatizare corespunzatoare in cadrul conducerii acestor procese.

4. Automatizarea convenționala a coloanelor de separare

Pentru stabilirea posibilitaților de reglare a proceselor cu transfer de masa se pornește de la regimul staționar descris de ecuații de bilant masic, curba de echilibru vapori-lichid și de la caracteristica materiei prime (de alimentare) a unei coloane de separare.

Bilanțul general de material pentru secțiunea de rectificare este exprimat prin relațiile

(88)

Bilanțul general de material pentru secțiunea de stripare este dat prin relațiile

(89)

In cazul unei conduceri eficiente se poate presupune ca produsul obținut la varful coloanei este aproape pur și atunci se poate pune X_D și X_W Atunci (89) se pot scrie

(90)

Atunci linia de operare in zona de rectificare este aproximata astfel

(91)

iar linia de operare in zona de stripare

(92)

unde : L_u - fluxul de lichid in secțiunea de rectificare;

L_l - fluxul de lichid in secțiunea de stripare.

Fluxurile interne sunt date prin relațiile

(93)

Rezulta

(94)

Presupunand ca perturbația principala este concentrația debitului de alimentare, variația sa Z_F poate fi compensata prin modificarea simultana a debitelor D și W. Se observa ca, daca X_D = 1 și X_W = 0, cea mai buna soluție pentru compensarea variației Z_F este de a modifica debitul D. Din (94) rezulta

(95)

de unde rezulta ca modificarea fluxului de vapori V duce la schimbarea refluxului

(96)

Atunci ecuațiile (91) și (92) mai pot fi scrise sub forma

(97)

sau

(98)

Daca X_D = constant, prima ecuație (98) arata ca raportul L_u/V trebuie sa fie menținut constant cand se lucreaza pe aceeași linie de operare pentru secțiunea de rectificare, iar cea de-a doua ecuație arata ca raportul L_l/V trebuie menținut constant. Aceste cerințe impun, pentru considerația perturbației principale (debitul de alimentare), ca variația fluxului de vapori sa aiba loc dupa relația

(99)

și deci

(100)

Daca sunt indeplinite aceste condiții, relațiile ce definesc liniile de operare și curba de echilibru vor ramane nealterate la perturbațiile ce apar in alimentarea coloanei, ca de altfel și pantele și punctele de intersecție ale liniilor de operare.

Cele prezentate arata ca existența perturbațiilor de concentrație și debit pe partea de alimentare a coloanei are efecte mari asupra funcționarii coloanei și eliminarea efectului acestora este posibila prin utilizarea unor structuri complicate de sisteme de reglare automata.

De aceea, inițial se procedeaza la stabilizarea (cel puțin parțiala) a debitului, concentrației și in continuare se prevede reglarea bilanțului general de material din coloana. Debitul de alimentare poate fi stabilizat prin comanda directa a acestuia.

Temperatura de alimentare se obține prin utilizarea unui preincalzitor prevazut la intrarea fluxului in coloana. Daca agentul termic al preincalzitorului este abur sau alta sursa independenta de caldura, reglarea temperaturii este relativ simpla. Daca agentul termic este produsul de baza, reglarea este mai dificila putandu-se provoca inrautațirea performanțelor pana la instabilitate.

Presupunand ca debitul de alimentare și temperatura sunt menținute aproximativ constante și ca se asigura o invarianța și a concentrației, automatizarea coloanei trebuie sa asigure stabilizarea in timp a bilanțurilor globale de material și a nivelurilor de reținere din rezervoarele adiacente coloanei.

Variantele de reglare automata a bilanțului de material rezulta din ecuațiile de baza ale bilanțului general

(101)

In figura 7 se prezinta un sistem in care se realizeaza reglarea debitului D de produs la varf și reglarea nivelului din condensatorul C prin modificarea debitului de reflux L_u. De asemenea se regleaza nivelul de lichid din refierbatorul R prin modificarea debitului W de fluid extras la baza. Modificarea debitului de alimentare F (crește sau descrește) are ca efect modificarea in același sens a debitului extras W (debitul de produs D fiind fixat constant).

Figura 7

Sistemul din figura 8 realizeaza reglarea refluxului L_u și a nivelului din condensator in funcție de debitul extras la varf. De asemenea se regleaza produsul extras la baza W și nivelul din refierbator prin modificarea debitului de abur (agent termic).

Figura 8

Sistemul prezentat in figura 9 realizeaza reglarea debitului de reflux L_u și nivelului in condensator in funcție de debitul extras la varf D. La baza se asigura menținerea constanta a cantitații de vapori V recirculat și a nivelului din refierbator prin modificarea debitului extras la baza W. De asemenea se realizeaza stabilizarea debitului de agent termic.

Figura 9

Variante imbunatațite sunt prevazute cu recuperatoare de caldura atat la produsul de varf cat și la cel de baza, cazuri in care se realizeaza și reglarea temperaturii.