Analiza sistemelor automate cu ajutorul modelelor structural-functionale

Analiza sistemelor automate cu ajutorul modelelor structural-functionale

Consideratii teoretice

In cazul modelului structural functional, sistemul automat este descris cu ajutorul a 3 seturi de variabile:

- variabilele de intrare:

- variabilele de iesire:

- variabilele de stare:

Primele 2 seturi sunt deja cunoscute din primul capitol; pentru a intelege rolul si sensul ultimelor, este util sa se defineasca mai intai notiunea de stare a unui sistem.

Intelegem, in continuare, prin starea unui sistem automat, un set de variabile in numar minim (denumite variabile de stare) care, fiind cunoscute la momentul , determina, impreuna cu variabilele de intrare, a caror evolutie este cunoscuta pentru , comportamentul sistemului in orice moment . Altfel spus, starea sistemului automat si variabilele de iesire in orice moment t sunt determinate in mod unic de starea lui la momentul si de variabilele de intrare pentru si sunt independente de starea si intrarile in momentele . Matematic, prezentarea de mai sus duce la scrierea a doua sisteme de ecuatii prin care derivatele variabilelor de stare si variabilele de iesire sunt exprimate in functie de variabilele de stare si de marimile de intrare:

(2.0.1)

(2.0.2)

In cazul unui sistem fizic invariabil in timp parametrii sunt constanti; daca sistemul este variabil in timp, acesti coeficienti sunt functii de timp.

Compact, relatiile (2.0.1) si (2.0.2) se scriu:

(2.0.3)

(2.0.4)

unde:x= vectorul de stare

u= vectorul de intrare

y= vectorul de iesire

= matricea de stare

= matricea de intrare

= matricea de iesire

= matricea de transfer

Sistemul (2.0.3) se numeste sistemul ecuatiilor de stare iar sistemul (2.0.4) reprezinta sistemul ecuatiilor de iesire. Aceste seturi de ecuatii se obtin, de regula, pornind de la ecuatiile diferentiale ale sistemului dar pot fii deduse si pe baza functiilor de transfer. Exemplele simple care urmeaza au ca scop clarificarea acestei afirmatii.

Exemplul 2.0.1

Fie un sistem fizic invariabil in timp, cu o singura intrare si cu o singura iesire, a carui ecuatie diferentiala este:

(2.0.5)

Pentru a obtine ecuatiile de stare si de iesire ale sistemului se fac notatiile:

. (2.0.6)

Rezulta:

(2.0.7)

si, sub forma matriciala:

(2.0.8)

Exemplul 2.0.2

Fie un sistem fizic monovariabil caracterizat de functia de transfer:

Pentru a se determina ecuatiile sale de stare si de iesire, se scrie mai intai ecuatia diferentiala:

dupa care se fac notatiile:

ca si in exemplul precedent.Rezulta:

 

Exemplul 2.0.3

Un sistem fizic are functia de transfer:

Se considera, mai intai, o functie de transfer cu numaratorul egal cu unitatea si avand acelasi numitor ca si functia de transfer data:

care corespunde ecuatiei diferentiale:

Se fac aceleasi notatii ca si in exemplul (2.0.15):

. Rezulta:

Relatia (2.0.15) implica, insa, ca:

ceea ce revine la a scrie:

sau cu notatiile facute:

Asadar, pentru sistemul considerat:

Descrierea sistemelor fizice in planul complex cu ajutorul variabilelor de stare se face aplicand transformarea Laplace relatiilor (2.0.3) si (2.0.4). Se obtine:

Unde este vectorul transformatelor Laplace ale variabilelor de stare;

este vectorul valorilor initiale ale variabilelor de stare;

este vectorul transformatelor Laplace ale variabilelor de intrare;

este vectorul transformatelor Laplace ale variabilelor de iesire.

Pentru a afla expresiile variabilelor de stare in planul complex, se rezolva ecuatiile

Pentru a afla evolutia lor in timp, se aplica transformata Laplace inversa.

Pentru a afla expresiile variabilelor de iesire in planul complex, se inlocuieste relatia in

(2.0.25)

In situatia in care vectorul conditiilor initiale este nul, din relatia (2.0.25) se poate afla matricea functiilor de transfer: