Circuite in regim periodic nesinusoidal

CIRCUITE IN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL

1 Introducere

Un circuit este in regim nesinusoidal daca cel putin o tensiune si sau un curent sunt nesinusoidale. Acest regim de functionare se mai numeste regim deformant.

Cauzele aparitiei regimului deformant sunt legate de imperfectiuni ale generatoarelor si prezenta elementelor pasive neliniare, intre care principalele sunt componentele redresoare: diode, tranzistoare, tiristoare. O data aparut, regimul deformant poate fi accentuat (sau atenuat) de elemente reactive (bobine si condensatoare). Accentuarea deformarii in raport cu marimea sinusoidala se numeste distorsionare, iar atenuarea deformarii se cheama netezire.

Efectele aparitiei regimului deformant sunt, in principal, legate de reducerea factorului de putere (cu toate neajunsurile derivand din aceasta), scaderea cuplului la motoare, rezonante periculoase pe anumite armonici.

Rezolvarea circuitelor in regim periodic nesinusoidal, in cazul problemei standard in care se da variatia tensiunii si configuratia circuitului cu elementele sale pasive, cerandu-se curentii si puterile, urmeaza doua etape:

a)     se descompune tensiunea periodica in serie Fourier (serie de armonici);

b)     cu teorema superpozitiei, curentul e suma curentilor dati in acea latura de cate o armonica pe rand.

2 Seria Fourier a marimilor periodice

Considerand o marime periodica, neteda pe portiuni pe cuprinsul unei perioade:

iar perioadei T[s] corespunzandu-i pulsatia:

[rad/s], (1)

marimea se poate scrie ca serie Fourier sau armonica:

(2)

Se evidentiaza relatii valabile pentru orice k, :

. (3)

(4)

Din relatiile (2) si (3) rezulta coeficintii dezvoltarii in serie:

(5)

In electrotehnica este utila forma canonica a serie:

(6)

Prin identificarea coeficintilor din relatiile (2), respectiv (6):

(7)

Seria (6) contine termenii:

componenta continua F₀ ;

armonica fundamentala, pentru k=1;

armonici superioare, de ordinul k>1, .

Este sugestiva reprezentarea unui spectru de frecventa al amplitudinilor (fig 1a). Acesta arata ca, in general, amplitudinile armonicilor scad cu cresterea ordinului acestora, iar . Calculele se pot opri la un ordin al armonicii, atunci cand neglijarea armonicelor superioare acesteia mentine eroarea calculului in marja dorita. Seria Fourier este complet caracterizata daca se ataseaza si spectrul de frecventa al fazelor initiale (fig. 1b).

Fig. 1

Abaterea de la forma sinusoidala depinde de ponderea armonicilor superioare. Se defineste coeficientul de distorsiune:

, [-]. (8)

Distorsiunea poate avea loc in sensul "aplatizarii" sau in sensul "ascutirii" functiei in raport cu sinusoida, asa cum se vede in exemplele din figura 1, pentru functii continand armonica fundamentala si armonica de ordinul 3:

cu in figura 2a, respectiv in figura 2b.

Fig. 2

3 Rezolvarea circuitelor in regim deformant

Se alimenteaza dipolul pasiv DP (fig. 3) sub tensiunea periodica nesinusoidala:

(9)

Alimentarea corespunde unei serii de generatoare de t.e.m., conectate ca in figura 3a.

Pe baza teoremei superpozitiei, curentul absorbit de catre dipolul pasiv e suma (seria) curentilor injectati de cate o sursa, pe rand, celelate fiind pasivizate. Circuitul se rezolva, succesiv, calculand curentul absorbit sub actiunea sursei U₀, apoi u₁,u₂,.,u_k,, ordinul armonicii pana la care continua rezolvarea depinzand de precizia dorita. In practica, de la un anumit ordin in sus, valoarea efectiva a armonicilor, atat pentru tensiune cat si pentru curent, scade. Fig. 3

Observatie. E important a preciza ca, la calculul curentului i_k absorbit sub tensiunea u_k, reactantele dipolului pasiv DP din figura 3b corespund pulsatiei kω, deci pentru eventuale bobine si condensatoare:

(10)

Curentul luat de dipol este:

(11)

Valoarea efectiva a unei marimi periodice este media sa patratica pe o perioada (3.4):

dar, ridicand la patrat seria (9), intervin integrale de forma (3), dintre care doar o parte sunt nenule si rezulta:

. (12)

Cu relatiile (12), coeficientul de distorsiune (8) devine:

(13)

4 Puteri in regim nesinusoidal

Puterea activa este puterea medie primita de dipolul pasiv intr-o perioada (3.34). Dupa inmultirea seriilor (9) si (11),         intervine relatia (4), care precizeaza ca numai o parte dintre integrale sunt nenule:

[W], (14)

astfel ca puterea activa trasferata e suma puterilor tuturor armonicilor, ca si cum ar fi transferate independent.

Puterea reactiva are o expresie similara, doar componenta continua nu transfera putere reactiva:

[VAR], (15)

fiind cunoscut ca orice termen poate lua valoare negativa.

Puterea aparenta, data de relatia (3.36), se calculeaza cu valorile efective (12):

[VA], (16)

inegalitatea demonstrandu-se matematic, din masuratori sau cu exemple numerice.

Academicianul roman Constantin Budeanu (1886-1959) a fundamentat teoretic regimul deformant, propunand definitia puterii reactive si a factorului de putere in acest regim, definitii adoptate de Comisia Electrotehnica Internationala in anul 1930. A propus ca unitate de putere reactiva VAR, unitate adoptata in SI.

Puterea deformanta este o notiune propusa de C. Budeanu, cu unitate de masura voltamperul deformant [VAD], sub forma:

[VAD], (17)

marime si unitate care nu sunt unanim acceptate, teoria lui C. Budeanu suferind completari de la aparitie.

Se mentioneaza ca, daca in anii 1930 teoria regimului deformant prezenta un interes practic limitat, dezvoltarea electronicii de putere, a mutatoarelor cu tiristoare pana la sute de amperi, face ca azi aceasta teorie sa fie de stringenta actualitate.

Factorul de putere in regim deformant este:

[-], (18)

fiind posibil in regim deformant ca, introducerea unor condensatoare sa realizeze , dar totusi din cauza puterii deformante D.

5 Elemente pasive ideale in regim deformant

Fata de componenta continua a curentului, bobina constituie scurtcircuit, iar condensatorul o intrerupere a circuitului, desigur in regim permanent. Se considera aplicarea unei tensiuni de valoare medie nula ():

(19)

care are coeficientul de distorsiune dat de relatia (8).

a) Rezistorul ideal opune aceeasi rezistenta R fiecarei armonici:

(20)

Fig. 4

astfel incat coeficientul de distorsiune al curentului este:

Rezistorul ideal nu modifica forma de unda a curentului in raport cu tensiunea.

b) Bobina ideala opune reactanta mai mare, proportionala cu pulsatia kω, armonicilor superioare de ordinul k, astfel ca ponderea armonicilor curentului scade cu ordinul acestora:

                                (21)

Fig. 5

Coeficientul de distorsiune al curentului:

cu egalitate pentru unda sinusoidala, deci bobina ideala "netezeste" (apropie de forma sinusoidala) unda curentului in raport cu forma de unda a tensiunii.

c) Condensatorul ideal, opunand reactanta mai mica armonicilor de ordin superior:

(22)

Fig. 6

distorsioneaza unda curentului in raport cu a tensiunii:

6 Filtre de armonici

Se utilizeaza la bornele convertoarelor cu tiristoare, ale cuptoarelor cu arc, etc, cu scopul blocarii sau ocolirii unor anumite armonici. La indeplinirea conditiei de rezonata la o anumita pulsatie:

circuitele si paralel blocheaza armonicile de ordinile k si i fiindca (fig. 7a), iar circuitele si serie asigura ocolirea pentru acelasi armonici k si i, deoarece (fig.7b).

Fig. 7

E de verificat in ce masura filtrele afecteaza si alte armonici, fenomen care poate fi nedorit.

7 Serii Fourier ale unor functii particulare

1 Functii periodice impare

Functiile periodice impare (fig. 8.) au

Cu schimbarea de variabila pentru a doua semiperioada:

Fig. 8

relatiile (5) devin :

caci iar functia cosinus este para, respectiv:

functia sinus fiind impara.

Numarul coeficintilor de calculat se reduce la jumatate, iar acestia se obtin prin integrare pentru jumatate perioada.

Dezvoltarea (2) are numai armonici in sinus:

(23)

a) La translatie cu , functia impara devine para (fig. 9):

Dupa schimbarea de variabila:

integrala (23) pe o semiperioada se descompune in doua integrale pe cate un sfert de perioada.

Fig. 9

Cu , termenii pari ai dezvoltarii (23) sunt:

astfel ca dezvoltarea contine numai armonicile impare in sinus:

(24)

b) La translatia cu , functia impara ramane impara. Dezvoltarea include numai armonici pare in sinus, caci :

(25)

dar functia are, practic, perioada , caci :

2 Functii periodice pare

Fig. 10

Un exemplu de functie periodica para este in figura figura 10. Premiza este, desigur, Procedand ca la paragraful precedent, si deci, seria contine numai armonicile in cosinus:

(26)

ultima relatie valabila si pentru .

a) La translatia cu , functia para devine impara (fig. 11).

Similar cu cazul 1a, se obtine , iar dezvoltarea consta numai in armonici impare in cosinus: Fig. 11

(27)

b) La translatia cu , functia para ramane para. Se obtine , seria Fourier avand doar armonici pare in cosinus:

(28)

Practic insa, se demonstreaza ca functia are perioada

3 Functia alternativ simetrica

Functia alternativ simetrica din figura 12 e definita ca avand proprietatea

Se demonstreaza, similar cazurilor precedente, ca pentru , se obtin Fig. 12

Seria corespunzatoare acestei functii are numai armonici impare,(7):

. (29)

8 Functii uzuale in circuite electrice

8.1 Functia unda dreptunghiulara

Functia unda dreptunghiulara (crenel) din figura 13 e functie impara, care la translatie cu devine para: Tinand seama ca (1), relatia (24) da:               Fig. 13

;

(30)

Cu relatia cunoscuta relatiile (12) si (13) devin:

valoarea efectiva fiind evidenta, ca medie patratica a functiei, pe o perioada.

Observatie. Functia din figura 14, asemanatoare cu precedenta, se descompune intr-o serie care se poate gasi in doua moduri:

a) fiindca functia e para, iar la translatie cu            Fig. 14

devine impara, dezvoltarea se poate afla cu relatia(27);

b) cu translatiile ambelor axe:

se obtine exact functia u(t) din figura 13, astfel ca relatiile (30) conduc, mai simplu, la acelasi rezultate.

Se lasa cititorului satisfactia verificarii coincidentei rezultatelor.

8.2 Functia triunghiulara

Functia din figura 15, numita in [10] functie dinti de ferastrau, e de asemenea impara, iar la translatie cu devine para. Fig. 15

Pe intervalul functia este asa ca relatiile (24), (12) si (13) conduc la

(31)

Se recomanda cititorului deducerea dezvoltarii functiei unda dreptunghiulara prin derivarea functiei triunghiulare si o translatie corespunzatoare a axei 0u.

8.3 Tensiunea redresata monoalternanta

Fig. 16

Tensiunea redresata monoalternanta din figura 16 se defineste:

.

Relatiile (5) dau coeficientii dezvoltarii:

Seria Fourier este deci:

(32)

cu valoare efectiva si coeficientul de distorsiune

8.4 Tensiunea redresata dubla alternanta

Tensiunea redresata dubla alternanta e prezentata in figura 1

Fig. 17

Functia e para, deci (26), iar la translatia cu ramane para, astfel ca (28). Coeficientii nenuli se calculeaza prin integrare pe intervalul , unde functia e definita . Cu relatiile (28):

(33)

Valoarea efectiva, medie patratica a functiei, e aceeasi cu a tensiunii neredresate:

9 Aplicatii

Aplicatia 1

Se aplica tensiunea periodica din figura 18a circuitului din figura 18b. Se cer curentul si puterile absorbite, luand in calcul armonicile tensiunii care reprezinta peste 2,5% din valoarea efectiva a armonicii fundamentale.

Fig. 18

Se calculeaza pulsatia si reactantele fundamentale:

Din seria (31) se retin termenii:

caci urmatorul termen, , are valoarea efectiva fata de armonica fundamentala.

Impedantele complexe opuse celor trei armonici sunt diferite:

Armonica de curent e blocata, curentul fiind:

rezulta valorile efective si puterile schimbate la borne:

Aplicatia 2

Un redresor dubla alternanta, alimentat la , are la iesire un filtru format din bobina de netezire cu parametrii serie Fig. 19

, ca in figura 19. Se cere marimea capacitatii condensatorului de filtraj, astfel ca valoarea efectiva a principalei armonici (de frecventa 2f) a tensiunii de la bornele rezistentei de sarcina sa coboare la 2% din componenta continua.

Tensiunea redresata se dezvolta in serie dupa relatia (33):

Corespunzator,

Componenta continua da curentul si componenta continua la iesire .

Armonica are valoarea efectiva . Componenta se exprima in complex, conform divizorului de tensiune:

sau, numeric:

In valori efective, respectiv module, conditia ceruta devine:

care conduce la o ecuatie de gradul II in C, cu singura solutie pozitiva:

Observatie. Ponderea principalei armonici la iesire, de 2% din componenta continua, poate sa para importanta, dar in amonte de filtrare U₁₂ reprezenta 47% din componenta continua .