Calcularea prin mijloace de analiza tehnic conventionala si

nodala a dependentei de frecventaa sistemului de impamantare

1. Introducere

Asa cum se stie, un sistem de impamantare eficient trebuie sa existe in orice substatie pentru a asigura siguranta oamenilor si pentru protectia instalatiilor.

Analiza comportamentului unui sistem de impamantare depinde de trei factori: caracteristicile fizice ale conductorilor care formeaza reteaua (forma, dimensiuni, material), modelul de baza adoptat si natura curentului de alimentare [2].

In aceste modele, conductorii ingropati sunt simulati prin linii de transmisie cu parametrii distribuiti. Aceasta abordare este potrivita pentru lucru in domeniul timpului si permite o integrare usoara cu programele de analiza transiente.

In aceasta lucrare este prezentata o noua metoda de analiza a sistemelor de impamantare, bazata pe modelarea unui sistem ca un circuit electric dependent de frecventa. Acest circuit reprezinta comportamentul electric al sistemului de impamantare cat se poate de precis cand electrodul este alimentat cu surse de curent armonice la unul sau mai multe puncte. Circuitul va fi numit "Circuit echivalent (EC) al Sistemului de Impamantare" si consta in general, din elemente rezistive, inductive si capacitive. Acestea sunt calculate prin aplicarea de ecuatii electromagnetice de baza. Metoda propusa are avantaje prin usurinta de procesare si implementare. Frecventa maxima de aplicabilitate a metodei este limitata de aproximarea quasi - stationara a campurilor electromagnetice. Pentru electrozi obisnuiti poate fi aplicata pana la cateva sute de kHz.

Stiind raspunsul la frecventa al sistemului de impamantare, este posibila calcularea performantei cand electrodul este alimentat de curenti de orice forma (de forma fulgerului, a.c., c.c. ) prin aplicarea tehnicii de transformate Fourier.

Metoda propusa poate fi aplicata in studiul sistemelor de impamantare complexe, pentru a indica tensiunile la care sunt supusi conductorii ingropati si pentru a oferi datele necesare studiilor.

2. Circuitul echivalent al sistemului de impamantare

Se presupune ca sistemul de impamantare este o retea facuta dintr-un set de cilindrii subtiri, interconectati, asezati in orice pozitie sau orientare. Conditia firului subtire implica faptul ca raza este mai mica decat lungimea conductorului (obisnuit in electrozii reali). Desi in aceasta lucrare conductorii sunt considerati a fi cilindrici, rezultatul este aplicabil la conductorii de orice forma. 

Conductorii retelei de impamantare se presupune ca sunt ingropati intr-un mediu conductor semi-infinit (pamantul) cu rezistivitatea ρ si permetivitatea ε = ε_r * ε₀. Aerul se presupune a fi un mediu non-conductor cu permitivitatea ε₀ =10^-9/36π F/m. Ambele medii au permeabilitatea μ = μ₀ = 4π*10^-7 H/m.

Metodologia propusa este bazata pe studiul tuturor cuplarilor inductive, conductive si capacitive ale conductorilor din sistemul de impamantare. Mai intai, electrodul este impartit in mai multe segmente care pot fi studiate ca unitati elementare. O rata de segmentare mai ridicata mareste acuratetea, dar si timpul de procesare. Este deci necesara obtinerea unei solutii de compromis intre cele doua variante.

In acest fel, singura problema ramane obtinerea unui sistem de impamantare si a unui circuit echivalent cu r conductoare si n noduri. Prin fiecare conductor k trece un curent longitudinal si un curent de scurgere care este dirijat uniform catre pamant. Reteaua de impamantare este alimentata prin injectarea de curenti de o singura frecventa la unu sau mai multe noduri. In general, consideram ca un curent sinusoidal de valoare este conectat la fiecare nod. In cazul in care frecventa este joasa, electrodul de impamantare poate fi considerat echipotential. In orice caz, la frecvente ridicate datorita cuplurilor electromagnetice si a curentilor ce trec prin conductori, tensiunile intre diferite puncte ale sistemului de impamantare sunt diferite de 0.

De aceea, o tensiune intre fiecare nod j al retelei de impamantare si pamant este definita. In acelasi fel, tensiunea intr-un segment k al electrodului nu este constanta. Daca segmentele sunt destul de scurte, este posibil sa se considere tensiunea constanta la fiecare segment. Aceasta tensiune este definita de tensiunile medii ale segmentelor k in formula (1):

(1)

unde: l si m sunt nodurile segmentului k.

Ca urmare, pentru toate segmentele si nodurile, poate fi exprimata astfel:

(2)

ramura i este conectata la nodul j ramura i nu este conectata la nodul j

unde este vectorul coloana al tensiunilor din ramura r, este vectorul coloana al tensiunilor de nod si k este matricea dimensiunilor r x n ale carei elemente sunt:

EC - ul sistemului de impamantare este facut din n noduri si l ramuri. Fiecare ramura are o rezistenta ohmica si inductante proprii si mutuale. Pe de alta parte, datorita conductibilitatii mediului inconjurator si efectelor de capacitate, fiecare ramura k functioneaza pe post de scurgere a curentului catre pamant.

Intre curentii care se pierd in mediul inconjurator al fiecarei ramuri si potentialele respective exista o relatie tip matrice, asa cum ne arata formula 3:

(3)

Fiecare dintre curentii este impartit in doi curenti (/2) care sunt amplasate in nodurile segmentelor. In felul acesta, fiecare nod j are un curent sursa definit de:

(4)

daca ramura k este conectata la nodul j daca ramura k nu este conectata la nodul j

unde:

Poate fi scris astfel:

(5)

unde K este matricea definita in ecuatia 2.

Conform aprecierilor de mai sus, circuitul electric obtinut poate fi studiat prin orice metoda cunoscuta de analiza circuitului.

In acest caz vom folosi analiza nodala conventionala, obtinand urmatoarea ecuatie:

(6)

unde [Y] este matricea admitantelor nodale a circuitului incluzand si elementele rezistive si inductive, este vectorul surselor de curent si este vectorul surselor de curent extern.

Ecuatia anterioara poate fi scrisa:

(7)

atunci

(8)

unde

(9)

si

(10)

Vectorul potentialelor nodale [] poate fi calculat prin rezolvarea sistemului (9). Potentialele [] si curentii de scurgere [] ale ramurilor sunt apoi evoluate prin ecuatiile (2) si (3).

Studiul performantelor sistemelor de impamantare se reduce la prelucrarea matricilor [G] si [Y].

A. Rezistente si inductante

Rezistentele proprii electrodului de impamantare si conductorilor depinde mai ales de rezistivitatea materialelor, de dimensiunile fizice si de frecventa curentului. Acest ultim factor produce " Efectul de piele".

Trecerea curentului prin conductor are ca efect cuplul magnetic care poate fi exprimat ca si coeficienti inductivi mutuali.

Coeficientul mutual inductiv intre doi conductori subtiri, separati de o distanta mult mai mare decat raza lor, poate fi obtinuta prin formula Newmann.

(11)

In cazul conductoarelor drepte si paralele, integrala de mai sus poate fi rezolvata analitic. In cazurile generale, este necesar calculul numeric al integralei.

Inductanta proprie poate fi exprimata ca suna a doi termeni dupa cum urmeaza:

(12)

Unul dintre termeni se datoreaza fluxului magnetic din interiorul conductorului si este afectat de frecventa curentului (Efectul de piele). Nici termenul corespunzator fluxului de exterior, nici inductanta mutuala nu sunt afectate de acest efect. Pentru a calcula acesti coeficienti sunt sufieciente referintele de la formula (6).

B.Conductante

In EC-ul sistemului de impamantare relatia dintre curentii de scurgere catre pamant si potentialele medii din fiecare ramura poate fi scrisa sub forma de matrice:

(13)

unde matricea [G] include efectele conductive si capacitive.

Cea mai usoara problema care poate fi pusa este o sursa de curent alternativ localizata intr-un mediu omogen infinit cu gradul de conductibilitate si permitivitatea ε. Sursa are scurgere uniforma de curent in mediul inconjurator. In aceste conditii, potentialul in orice punct este:

(14)

unde x este distanta de la sursa de curent la punct.

Un electrod obisnuit facut din mai multe conductoare interconectate poate fi divizat intr-un numar de segmente foarte mici de lungime pentru a putea fi considerate ca un punct al sursei de curent. Cu aceasta presupunere, un potential U_j este indus in fiecare segment j. Acest potential U_j poate fi obtinut prin suprapunerea potentialelor induse in toate celelalte segmente ca in ecuatiile urmatoare:

(15)

unde :

(16)

si

(17)

Aceste relatii pot fi scrise in matrice dupa cum urmeaza:

(18)

Odata cu presupunerile de mai sus, este necesara o segmentare foarte precisa, si de aceea marimea matricei [S] depaseste limitele. In practica, electrodul este impartit in segmente mai mari. Desi nu pot fi considerate compacte de sursa, in fiecare segment densitatea curentului trebuie distribuita uniform

Astfel, prin fiecare segment j cu lungimea l_j trece in pamant un curent . In acelasi fel, potentialul scalar este constant pe fiecare segment j. Acest potential poate fi calculat prin adaugarea potentialelor medii induse de toate elementele dupa cum urmeaza.

(19)

In prezentarea de mai sus, mediul care inconjoara electrodul este considerat omogen si infinit. Oricum, cel mai usor caz practic este atunci cand pamantul este prezentat ca un mediu semi-infinit si este luat in consideratie interfata dintre aer si pamant. Aerul se presupune ca are conductivitatea nula (σ_aer=0) si permitivitatea ε_aer= ε₀. Luand in consideratie acest efect, metoda imaginii este folosita, inlocuindu-se mediul aerului cu imagini ale conductoarelor. Curentii imaginilor se pot obtine din unde

(20)

Acum, luand in considerare imaginile si prin aplicarea ecuatiei (19), potentialul mediu al conductorului j poate fi calculat dupa cum urmeaza:

(21)

si

Si sub forma de matrice

(22)

unde

(23)

Conform cu ecuatia (22) poate fi scrisa

(24)

unde matricea [A]^-1 este matricea [G] mentionata mai sus.

Expresia (23) folosita pentru calcularea elementelor matricei [G] trebuie integrata. In multe cazuri, cand campul de impamantare este regulat si de aceea conductoarele sunt paralele sau perpendiculare, integrala se rezolva analitic. In alte cazuri, cand conductoarele sunt orientate arbitrar, integrala se rezolva numeric. In aceasta operatie, cand este nevoie de calcul numeric, algoritmul se adapteaza in functie de distanta dintre conductoare. Cand distanta dintre segmente este destul de mare, se poate aproxima punctul de sursa, rezultand scaderea timpului de procesare.

3. Exemplu de calcul

Folosind modelul matematic prezentat s-a analizat sistemul de impamantare pentru statia Isalnita 220 kV. Aceasta instalatie acopera o suprafata de aproape 80 x 60 m si este facuta din 107 conductoare orizontale de cupru de 11.28 mm diametru, ingropate la o adancime de 80 cm si dintr-un set de 67 tije de otel cu armatura de cupru, cu diametrul de 14 mm si lungimea de 2,5 m (figura 4).

In orice punct al electrodului, un curent stabil de 1000 A si frecvente diferite este injectat. Sunt studiate cateva cazuri schimbandu-se caracteristicile fizice ale pamantului (rezistivitatea si permitivitatea), punctul de injectie si intensitatea curentului. In fiecare caz, impedantele la pamant si tensiunile sunt calculate (figura 4).

Figura 5 prezinta potentialele atunci cand se injecteaza curent de intensitate joasa (50 Hz). In aceasta ordine, rezultatul este practic independent de permitivitatea solului () si de punctul de injectie. Performantele sistemului de impamantare depind de rezistivitatea in mod proportional. Pentru o rezistivitate ρ=50 Ωm impedanta impamantarii va fi Z_t 0,33 Ω si este aproape invariabila pentru orice ε si pentru orice injectie de curent in punct. Pentru o rezistivitate de 20 ori mai mare  (ρ= 20 x 50 = 1000 Ωm) impedanta creste proportional rezultand Z_t = 20 x 0,33 = 6,6 Ω.

La frecvente mai ridicate, concluziile de mai sus nu mai sunt valabile, iar permitivitatea si punctul de injectie devin factori determinanti in performantele sistemului. Ca un exemplu, tabelul I arata valorile impedantelor de impamantare obtinute la 500 kHz, in mai multe cazuri. Pe de alta parte, analiza arata ca potentialul suprafetei de impamantare creste aproape de punctul de injectie si scade pentru punctele indepartate. Acest efect se accentueaza o data cu cresterea frecventei.

Tabel I. Z_t (Ω), 500 KHz

Figurile 5, 6, 7 prezinta potentialul suprafetei de-a lungul profilului (figura 4) cand este injectat curentul intr-un colt (O₁). Daca, in aceleasi conditii, curentul este injectat la un punct aflat langa centrul electrodului (O₂), varfurile de potential sunt mai scazute si profilul este plat (figura 8).

Pentru a studia influenta permitivitatii pamantului, mai multe cazuri au fost analizate cu valorile ε de la 1 la 50 ori ε₀. In figura 6 se poate vedea ca la frecventa de 100 kHz si cu rezistivitate relativ mare (), efectul variatiilor lui ε nu au efect asupra rezultatelor. Efectele devin importante de la cateva sute de kHz (figura 7).

Concluzii:

Elementele circuitelor trebuie sa fie calculate incepand cu caracteristicile fizice. Cu acest model efectele diferitilor parametrii cum ar fi rezistivitatea, permitivitatea si frecventa de excitatie, pot fi studiati in performantele sistemului.