Dezvoltarea multipolara a potentialului vector

Fie distributia de curenti din volumul V' caracterizata in fiecare punct prin densitatea de curent (fig. 5).

Figura 5.

Potentialul vector al unei astfel de distributii de curenti, in punctul P() este:

(36)

unde . Alegand pentru orice element de volum dV' al distributiei, expresia (36) poate fi dezvoltata in serie dupa puterile lui r'/r. In acest fel potentialul vector capata forma:

(37)

unde . sunt respectiv contributiile de monopol, de dipol de cuadrupol, etc., in potentialul vector total in punctul P().

Ca si pentru potentialul electric, dependenta acestor termeni de distanta r este de forma 1/r, 1/r², etc. De asemenea, in fiecare termen din dezvoltare, integrandul depinde atat de coordonatele distributiei de curenti (prin ), cat si de coordonatele punctului de observatie (prin ). Este utila separarea celor doua tipuri de variabile.

Monopolul magnetic

Se poate arata ca termenul de monopol magnetic din relatia (37) este nul. Intr-adevar, curentii electrici stationari sunt curenti pe circuite inchise si sediul acestor curenti este volumul V'. Deci curentii din V' pot fi imaginati ca circuland prin tuburi de curent inchise care umplu volumul, fara sa iese din el. Daca curentul prin al j-lea tub de curent a carei sectiune transversala este a_j, o notam prin I_j, atunci integrala din poate fi exprimata astfel:

unde insumarea se face asupra tuturor tuburilor de curent din V', iar integrala din se calculeaza pe circuitul inchis C_j al tubului de curent. Evident . Trecerea vectorului de la densitatea de curent la elementul de drum este posibila, deoarece cei doi vectori au aceeasi orientare. Deoarece fiecare tub de curent este un circuit inchis , ceea ce demonstreaza ca termenul de monopol da contributie nula in potentialul campului magnetic, adica

Dipolul magnetic

Pentru a putea obtine o interpretare fizica expresiei potentialului vector, integrala va fi inmultita cu un vector constant si arbitrar :

Impartind integrandul acestei expresii in doua jumatati si adunand si scazand din fiecare jumatate termenul , se poate scrie:

unde

(38)

si

(39)

Se poate arata ca . In aceste conditii, se poate scrie:

(40)

de unde

(41)

Vectorul poate fi scos de sub integrala deoarece acesta nu depinde de variabilele de integrat. Se constata ca termenul din paranteza patrata depinde numai de coordonatele distributiei curentilor.

Introducand momentul de dipol magnetic al distributiei de curenti din V' prin relatia:

(42)

si inlocuind (42) in termenul dipolar din (37) se obtine:

(43)

Din (43) se constata ca potentialul vector al dipolului magnetic este un vector orientat normal la planul format de vectorii si .

Pentru deducerea relatiei (37) nu s-a impus nici o restrictie legata de distributia de curenti, deci rezultatele obtinute sunt generale. O distributie particulara des utilizata practic este o bucla plana de curent de forma arbitrara. Pentru o astfel de bucla se poate scrie:

si (42) devine:

(44)

Integrala pe conturul buclei este egala cu aria S a buclei. Prin urmare:

(45)

unde este versorul normalei la suprafata orientata S. Sensul sau este dat de sensul de inaintare al unui burghiu drept ce este rotit in sensul curentului care circula prin bucla. Din (43) se obtine:

(46)

Pornind de la relatia (43) si tinand seama de legatura dintre potentialul magnetic vector si inductia magnetica, se obtine:

(47)