Diagrame Venn

Diagrame Venn

Matematicienii utilizeaza diagramele Venn pentru reprezentarea relatiilor logice dintre multimi (colectii de obiecte). Ne vom folosi de diagramele Venn pentru a face tranzitia dintre algebra booleana si hartile Karnaugh.

Multimi si submultimi

O multime este o colectie de obiecte dintr-un univers dat. Elementele multimii sunt obiecte ce apartin multimii. Elementele unei multimi au de obicei ceva in comun, desi acest lucru nu este neaparat necesar. Din universul numerelor reale, de exemplu, multimea tuturor numerelor intregi pozitive , este o multime. Multimea este o multime mai mica, sau o submultime a multimii numerelor intregi pozitive. Un alt exemplu este multimea tuturor baietilor dintr-o clasa, unde numarul elevilor din clasa reprezinta universul discutiei. Va puteti gandi si la alte multimi?

Diagrame Venn - exemple

Diagrama Venn din figura de mai jos stanga, reprezinta multimea A (in interiorul cercului) din universul U (aria dreptunghiulara). Daca tot ceea ce se afla in interiorul cercului este A, atunci tot ceea ce se afla in exteriorul cercului nu este A (A-negat sau A'). Prin urmare, in figura de mai jos centru, am denumit aria dreptunghiulara din afara cercului A cu A' in loc de U. B si B' se reprezinta similar (figura de mai jos dreapta).

Ce se intampla daca si A si B se afla in acelasi univers? Exista patru posibilitati:

Sa reluam fiecare din cele patru posibilitati in parte:

Primul exemplu indica faptul ca multimile A si B nu au niciun element comun, conform diagramei Venn. Regiunile celor doua multimi nu se suprapun in niciun punct. De exemplu, sa presupunem ca multimile A si B ar contine urmatoarele elemente: A = , B = . Niciunul dintre elementele multimii A nu este inclus in multimea B sau invers. Prin urmare, cele doua cercuri nu se suprapun.

In cel de al doilea exemplu, multimea A este inclusa total in multimea B. Cum putem explica aceasta situatie? Sa presupunem ca multimile A si B contin urmatoarele elemente: A = si B = . Toate elementele din A se regasesc si in B. Prin urmare, multimea A este o submultime a multimii B, iar cercul A este inclus in cercul B.

In cel de al treilea caz, multimile A si B se suprapun perfect. Din diagrama Venn, putem deduce ca cele doua multimi contin exact aceleasi elemente. Sa presupunem ca multimile arata astfel: A = si B = . Prin urmare A = B. Cele doua multimi sunt identic egale deoarece contin exact aceleasi elemente.

In ultimul caz, cele doua multimi se suprapun, dar nu complet ci doar partial. Acest lucru ne spune ca exista elemente comune celor doua multimi, dar ca fiecare multime are si elementele sale unice. Sa presupunem ca cele doua multimi ar arata astfel: A = si B = . Ambele multimi contin elementele 3 si 4. Acesta este si motivul pentru care cele doua cercuri sunt suprapuse.