Ecuatiile generale ale masinii asincrone

Ecuatiile generale ale masinii asincrone

Modelul matematic al masinii asincrone consta dintr-un sistem de ecuatii diferentiale cu posibilitatea specificarii sistemului de axe d - q la care este raportat modelul [6]. Aceste ecuatii se bazeaza pe teoria fazorilor spatiali si au doua moduri de scriere: vectoriala, respectiv matriceala.

La scrierea matriceala in sistem bifazat apar matrici de forma expresiei (1.20) care pe langa componentele ortogonale d - q contin si componenta homopolara. Aceasta intervine matematic ca a treia marime, la schimbarea de variabile, cand se trece de la sistemul trifazat la cel bifazat (care corespunde fazorului spatial). Ea nu influenteaza modelul bifazat electric, magnetic sau mecanic si nu contribuie la producerea cuplului. De asemenea nu intervine in buclele de reglare ale sistemelor cu orientare dupa camp. Din aceasta cauza vom folosi scrierea matriceala restransa in sistem bifazat cu ajutorul matricilor de forma:

(2.62)

Prin intelegem o matrice de forma (2.62), nu in caz general, raportata la un sistem de axe oarecare determinat de unghiul

(2.63)

Transformarile care au condus la ecuatiile generale ale masinii asincrone sunt reprezentate in fig. 2.3.

Prin aplicarea teoriei fazorilor spatiali pentru marimile statorice, respectiv rotorice, se trece de la sistemul trifazat natural la cel bifazat natural. Folosind operatorul matriceal [A] si conform rel. (1.28) se obtin componentele fazorului spatial intr-un sistem de axe ortogonale d - q fix (pentru marimile statorice) respectiv d - q legat de rotor (pentru marimile rotorice).

Modelul bifazat general se obtine din cel natural prin raportarea tuturor fazorilor spatiali la acelasi sistem de axe, comun oarecare d - q Aceasta se realizeaza prin aplicarea operatorului de rotire [D()], conform rel. (1.49), unde unghiul de rotire  = , pentru marimile statorice, respectiv  = , pentru marimile rotorice.

Ecuatiile generale ale masinii asincrone, in scrierea matriceala restransa - conform (2.63) - rezulta din relatiile (2.25), (2.26), (2.46), (2.60) si (2.61):

(2.64)

(2.65)

(2.66)

(2.67)

, unde: . (2.68)

Ecuatia cuplului electromagnetic este:

. (2.69)

Trebuie tinut seama ca  este pozitia rotorului masurata in grade electrice (unghiul electric al fazei a_r din fig. 2.2).

Pozitia _r a rotorului in spatiu, masurata in grade geometrice va fi deci , unde p este numarul de perechi de poli ai masinii. Prin urmare, ecuatia de miscare se va scrie sub forma:

, (2.70)

unde J este momentul de inertie al sistemului de actionare raportat la arborele motorului. Matricea [Q] rezulta in urma derivarii fluxului si are expresia:

. (2.71)

Schema echivalenta corespunzatoare modelului bifazat al masinii asincrone este mai intuitiva daca marimile bifazate sunt reprezentate fazorial. Sistemul de ecuatii generale ale masinii asincrone - scrise cu fazori spatiali - rezulta din relatiile: (2.15), (2.18), (2.54), (2.57), (2.58).

; (2.72)

; (2.73)

; (2.74)

; (2.75)

,

unde: ; (2.76)

. (2.77)

In lipsa componentelor homopolare, schema echivalenta a masinii asincrone in regim nestationar este reprezentata in fig. 2.4.