Fiabilitatea previzionala a sistemelor electrice

FIABILITATEA PREVIZIONALA A SISTEMELOR ELECTRICE

1. DEFINIREA FIABILITATII PREVIZIONALE

Fiabilitatea previzionala - reprezinta fiabilitatea unui sistem, exprimata prin indicatori de fiabilitate, care au rezultat din calculele de prognoza, efectuate pe baza fiabilitatii elementelor componente ale sistemului. Acest tip de fiabilitate se poate determina inca din faza de proiect prin analiza detailata a structurii si componentei sistemului, in situatia cunoasterii prealabile a tuturor conditiilor de solicitare.

Calculul fiabilitatii previzionale se face in urmatoarele ipoteze:

a)defectiunile sunt independente si schema logica de fiabilitate a sistemului este de tip serie;

b)ratele de defectare ale elementelor componente sunt constante (z_i(t)=λ_i=ct.) si deci legea de distributie considerata este cea negativ-exponentiala.

Asadar, inainte de a construi un produs complex, pe parcursul proiectarii, se poate determina fiabilitatea previzionala a acestuia, pentru a fi comparata cu nivelul de fiabilitate impus initial.

Nivelul nominal de fiabilitate al elementelor componente, este cel stabilit de producator prin norma interna de produs, in conditii de exploatare bine precizate. Cunoscand si nivelul real al solicitarilor asteptate in functionarea sistemului viitor, se pot determina coeficientii de corectie K_c,i. Peste tot unde vor rezulta coeficientii K_c,i>1, se va trece la redimensionarea elementelor respective, astfel incat sa se asigure, pe cat posibil, pentru orice componenta, solutia tehnica K_c,i<1. In aceste conditii, fiabilitatea fiecarei componente a sistemului va fi:

2.IMPORTANTA FIABILITATII PREVIZIONALE

Analiza rezultatelor calculului indicatorilor de fiabilitate previzionala poate furniza urmatoarele date:

a)date privind fiabilitatea la diverse nivele (elemente componente, blocuri, subansambluri, ansamblu general);

b)posibilitatea compararii fiabilitatii sistemului proiectat, cu scopul si destinatia viitoare a acestuia;

c)posibilitatea de a pune in evidenta partile slabe ale sistemului, sub aspectul fiabilitatii;

d)posibilitatea comparatiei calitative intre sistemul analizat si alte sisteme similare existente deja.

Analiza fiabilitatii previzionale, permite interventia activa a proiectantului in structura sistemului pentru a-i imbunatati fiabilitatea, prin:

-inlocuirea elementelor sau blocurilor cu fiabilitate redusa, cu altele de fiabilitate ridicata;

-simplificarea unor solutii structurale, deoarece asa cum vom vedea in continuare, cele complexe micsoreaza in general fiabilitatea;

-modificarea unor solutii constructiv-tehnologice, care sa contribuie la ridicarea nivelului de fiabilitate;

-adoptarea unor solutii cu redondanta.

Deasemeni, analiza fiabilitatii previzionale permite o apreciere asupra exploatarii viitoare, in sensul:

-prevederii unor reconfiguratii ale sistemului, in asa fel incat acesta sa-si conserve temporar toate functiile (in cazul aparitiei unor defecte);

-prevederii unor reconfiguratii ale sistemului, in asa fel incat acesta sa-si conserve temporar numai o parte din functii care sa asigure o anumita continuitate a serviciului;

-prevederii unor masuri de mentenanta si suportul mentenantei, astfel incat studiul de fiabilitate sa fie completat cu unul de mentenabilitate, rezultand astfel si disponibilitatea sistemului respectiv.

FACTORI CE INFLUENTEAZA FIABILITATEA

1.GRADUL DE COMPLEXITATE AL UNUI SISTEM

Tinand seama de ratele de defectare (λ_i) ale componentelor sistemului si de ipotezele in care se calculeaza fiabilitatea previzionala, fiabilitatea unui sistem cu structura de tip serie este data de relatia:

Asadar, la un sistem complex, este de asteptat o reducere a fiabilitatii, odata cu cresterea numarului de elemente componente (n), asa cum se vede si in fig.1.

2.REDONDANTA

Dupa cum se vede si din fig.2, chiar daca fiabilitatea compo-nentelor utilizate este redusa, odata cu majorarea nivelului de redondanta creste si fiabilitatea sistemului (vezi pct.2.4).

MODUL DE CONECTARE AL ELEMENTELOR REDONDANTE

Daca se iau in considerare diferite conexiuni, atunci se ajunge la solutii diferite. Astfel, pentru un sistem serie format din doua componente identice fiecare cu fiabilitatea de 80%, se constata ca se obtine o fiabilitate a sistemului de 64%. Pentru ridicarea fiabi-litatii sistemului, proiectantul adopta solutia redondantei.

Daca se utilizeaza metoda rezervarii individuale a celor doua componente ale sistemului (fig.3), se obtine pentru sistem o fiabilitate de 92,16%, iar daca se apeleaza la rezervarea generala (fig.4), sistemul va avea o fiabilitate de 87,14%.

4.REGIMUL DE LUCRU

a) Regimul intermitent, se caracterizeaza printr-o incarcare uniforma a sistemului, dar repartizata dupa o succesiune monotona de durate de sarcina (t_s) si durate de pauza (t_p). Pentru un asemenea regim, se calculeaza durata relativa de functionare:

Durata reala de solicitare pe parcursul unei misiuni t, este:

In mod corespunzator, la calculul fiabilitatii sistemului, timpul luat in consideratie nu va fi t ci t_real<t:

b) Regimul de impulsuri, influenteaza atat prin forma cat si prin succesiunea impulsurilor. In general, pentru rata de defectare se poate scrie o relatie de forma:

unde:

t_i- durata impulsului;

t_p- durata pauzei dintre doua impulsuri succesive;

T- perioada impulsurilor;

f- frecventa de repartitie a impulsurilor;

λ_i- rata de defectare pe durata impulsului;

λ_p- rata de defectare pe durata pauzei;

N_c- numarul mediu de defectari pe un ciclu.

Valorile lui λ_i si λ_p se determina in functie de nivelul solicitarilor, iar N_c depinde de o serie de factori, in primul rand de specificul solicitarii.

c) Regimului ciclic,are o rata de defectare:

unde:

f -numarul de cicluri/ora, iar raportul ratelor de defectare este dat in fig.5.

4.ALOCAREA FIABILITATII

4.1.CONCEPTUL DE ALOCARE A FIABILITATII

Inca din faza de studiu tehnico-economic (STE) a unui proiect, trebuie specificata fiabilitatea sistemului, plecand de la comparatii cu produse similare considerate satisfacatoare sau foarte bune, ori de la cerintele obiective particulare ale proiectului.

In acest scop, este necesar ca plecand de la fiabilitatea globala a sistemului, sa se determine (aloce) obiectivele de fiabilitate pe fiecare subsistem, modul, pana la elementele componente.

Daca R^* este fiabilitatea impusa sistemului, iar R_i^* fiabilitatea alocata subsistemului i, se impune satisfacuta conditia:

De exemplu, in cazul ipotezelor pentru calculul fiabilitatii previzionale, sistemul are o schema logica de fiabilitate de tip serie, pentru care se va scrie:

sau:

deoarece:

4.2.METODE DE ALOCARE A FIABILITATII

4.2.1.Metoda proportiilor (ponderilor)

Metoda porneste de la ratele de defectare λ_i ale subsistemelor unui sistem asemanator, existent, pentru care rata globala este:

Ponderea subsistemelor este data de raportul:

Pastrand aceeasi proportie, partea din rata de defectare a noului sistem (λ_i^*), alocata subsistemului 'i' va fi:

4.2.2.Metoda repartitiei dupa factorii de utilizare

In cazul in care subsistemele functioneaza o durata de timp t_i<t al intregului sistem, se tine cont de factorii de utilizare ai acestora:

Cum in vechiul sistem folosit ca model rata de defectare era:

Se poate scrie si pentru noul sistem:

Din relatiile (16) si (17) se poate scrie:

iar alocarea ratei de defectare se face dupa relatia:

4.2.Metoda modulelor

Aceasta metoda tine seama de complexitatea sistemului si de importanta fiecarui subsistem pentru buna functionare a ansamblului, precum si de timpul relativ de functionare pentru fiecare subsistem sau modul.

Metoda consta in a descompune sistemul dat in module si a carac-teriza importanta fiecaruia printr-un coeficient cuprins intre 0 si 1, astfel: 0 (zero) daca defectarea modulului respectiv nu are impli-catii asupra functionarii sistemului; 1 (unu) cand defectarea modu-lului ar scoate din functie sistemul; iar valori intermediare pentru modulele a caror defectare are efecte situate intre cele doua extreme

Astfel, fie: t_i - timpul de functionare al modulului i, pentru o durata t de functionare a sistemului, n_i - numarul de module si K_i - coeficientul de importanta al modulului i; rata de defectare alocata acestuia va fi:

4.2.4.Metoda repartitiei armonice

Metoda se aplica in cazul unor rate de defectare variabile in timp, in doua variante:

a) Procedeul general

Se defineste coeficientul de crestere a fiabilitatii noului sistem R^* in raport cu aceea a vechiului sistem R, prin:

Repartitia sarcinilor de fiabilitate se face dupa relatia:

sau:

b) Procedeul ratei de defectare limita

Exista anumite cazuri in care, din considerente tehnice sau eco-nomice, fiabilitatea nu poate fi ridicata peste anumite limite. Daca in urma aplicarii metodelor anterioare, se ajunge la situatia depa-sirii posibilitatilor de realizare a fiabilitatii cerute, este nece-sara refacerea repartitiei sarcinilor de fiabilitate pe subsisteme, tinand cont de limitele de fiabilitate impuse la o parte din compo-nente, dar si de satisfacerea fiabilitatii globale la intreg sistemul

Se pleaca de la principiul repartitiei armonice, expus mai sus, separand cele n subsisteme in doua (fig.6):

-o grupa, cu subsistemele pentru care a fost obtinuta deja fiabilitatea limita;

-o a doua grupa, cu susbsistemele pentru care se reface repartitia sarcinilor de fiabilitate.

Fiabilitatea noului sistem va fi:

iar formula repartitiei armonice se scrie:

de unde rezulta sarcinile de fiabilitate:

Metoda este aplicabila si pentru subsistemele caracterizate de o rata a defectarii constanta, in fig.6 fiabilitatile din schema structurala fiind inlocuite cu ratele de defectare (λ_L1,,λ_Lm, λ₁,,λ_n-m).

Desigur, alocarea fiabilitatilor la cele 'n-m' subsisteme, se va face proportional cu rata de defectare globala a noului sistem:

4.ALOCAREA FIABILITATII SISTEMULUI DUPA CRITERIUL FIABILITATE-COST

4.1.Echirepartitia eforturilor

Aceasta politica consta in a prevedea pentru fiecare subsistem al noului produs, aceeasi crestere relativa a fiabilitatii, definita prin coeficientul:

sau:

Deci sarcinile de fiabilitate ce revin fiecarui subsistem sunt date de relatia:

4.2.Echirepartitia costurilor

Aceasta politica consta in a repartiza obiectivele de fiabilitate in asa fel incat costurile aditive, necesare atingerii acestor obiective sunt aceleasi pentru toate subsistemele.

In practica sunt mai utilizate doua modele:

a) modelul DARNELL

b) modelul exponential

sau:

unde: α, a si b sunt constante, iar MTBF si MTBF₀ sunt valorile tim-pilor medii de buna functionare, corespunzatoare costurilor C si C₀.

5.STUDIUL FIABILTATII SISTEMELOR PRIN METODA ARBORILOR DE DEFECTARE

Metoda arborilor de defectare pentru studiul fiabilitatii previzionale a sistemelor complexe, porneste de la ideea ca procesul de defectare poate fi cuantificat la nivel structural, astfel incat orice defectiune a sistemului este rezultatul unei secvente cuantificate de stari ale procesului de defectare.

Nivelul de cuantificare este ales de analist, conform scopului urmarit si preciziei dorite, putandu-se merge pana la nivelul componentelor, rezultatele obtinute fiind cu atat mai apropiate de realitate cu cat nivelul de cuantificare va fi mai detaliat.

In fig.7 se prezinta schema conceptuala a unui arbore de defectare, care contine o serie de evenimente primare independente, interconectate prin intermediul unei structuri logice booleene, care indica multitudinea posibilitatilor in care aceste evenimente se pot combina pentru a genera in final avaria sistemului studiat.

Din punct de vedere structural, arborele de defectare utilizeaza urmatoarele concepte:

*elementele primare - reprezinta componentele sau blocurile care stau la nivelul de baza al cuantificarii avariei sistemului;

*defectiunile primare - reprezinta defectele elementelor primare;

*evenimentul critic - reprezinta starea de defect a sistemului;

*modul de defectare - reprezinta setul de elemente defecte simultan care scot din functiune sistemul;

* modul minim de defectare - reprezinta setul cel mai mic de elemente primare care fiind defecte simultan, conduc la defectarea sistemului;

*nivelul ierarhic - reprezinta totalitatea elementelor care sunt echivalente structural si care ocupa pozitii echivalente in structura arborelui de defectare.

Metoda are la baza logica binara, in mod formal o functie a sis-temului fiind asimilata unei functii binare, ale carei variabile sunt defectiunile primare si care este sintetizata cu elemente NU, SI, SAU.

Pe baza analizei prin metoda arborelui de defectare, se poate obtine fie probabilitatea de defectare, fie rata de defectare:

a)Evaluarea probabilitatii de defectare, foloseste proprietatile portilor logice: SI, SAU, INVERSOR (fig.8).

Astfel, la iesirile celor trei porti logice, probabilitatea de a avea defect este:

- iesirea portii SI = probabilitatea (A defect si B defect) =

- iesirea portii SAU = probabilitatea (A sau B defect) =

- iesirea portii INVERSOR = probabilitatea (A sa nu fie defect)=

b)Evaluarea intensitatii de defectare (λ_s) , se face pe baza ipotezei ca defectarile elementelor componente sunt evenimente independente si legea de defectare este de tip exponential (z(t)=λ=ct.).

Pentru a stabili valoarea ratei de defectare a sistemului, se porneste de la urmatoarele considerente:

- probabilitatea (A sa se defecteze in intervalul 0,t) =

= P(A) = F_A(t);

- probabilitatea (B sa se defecteze in intervalul 0,t) =

= P(B) = F_B(t);

Astfel, la iesirea portii SAU, se obtine:

P(A_B sa se defecteze in intervalul 0,t) = P(A)+P(B)-P(A)P(B)= = F_A(t) + F_B(t) - F_A(t) F_B(t) = F(t)

Deci: R(t) = 1-F(t) = 1-F_A(t)-F_B(t)+F_A(t) F_B(t) =

= [1-F_A(t)][1-F_B(t)] = R_A(t) R_B(t)

Cum: R_A(t) = exp(-λ_At) si R_B(t) = exp(-λ_Bt);

Se obtine pentru fiabilitatea sistemului:

R(t) = exp(- λ_At - λ_Bt) ;

de unde rezulta ca la iesirea portii logice SAU se obtine:

Pentru a determina rata de defectare la iesirea portii logice SI, se considera N elemente si se reia corespunzator rationamentul de mai sus:

unde:

Un caz particular il constituie cel al elementelor identice legate in paralel, alcatuind scheme redondante:

unde:

Se observa ca la limita:

In afara de simbolurile portilor logice, se mai folosesc si alte simboluri grafice pentru configurarea arborelui de defectare, semnificatia acestora fiind data in fig.9.

DREPTUNGHIUL - simbolizeaza defectarea ca eveniment rezultant al propagarii defectelor primare.

CERCUL - simbolizeaza defectarea primara a elementului component pentru care rata de defectare se cunoaste ori se poate determina.

ROMBUL - simbolizeaza un eveniment de defectare care nu este analizat pana la cauze.

HEXAGONUL - simbolizeaza relatia cauzala intre doua evenimente de defectare daca este satisfacuta conditia mentionata.

6.STUDIUL FIABILITATII SISTEMELOR PE BAZA TEORIEI LANTURILOR MARKOV

6.1.IMPORTANTA METODEI LANTURILOR MARKOV

Metoda ce va fi prezentata in continuare, se foloseste pentru rezolvarea modelelor disponibilitatii, respectiv ale fiabilitatii si mentenabilitatii unui sistem, cu intervale de timp intre defectari si durate ale timpilor de reparatie distribuite dupa orice lege si pentru orice politica de mentenanta.

Metoda are la baza teoria lanturilor Markov si a fost dezvoltata in special pentru a fi utilizata cu ajutorul calculatorului electronic, dar pentru sisteme mai simple se poate face si un calcul manual.

6.2.NOTIUNI CE STAU LA BAZA METODEI LANTURILOR MARKOV

Exploatarea unui sistem, se caracterizeaza printr-o succesiune de stari care descriu regimurile normale sau de avarie ale acestuia.

Data fiind natura probabilistica a starilor prin care trece sistemul, se poate admite ca evolutia acestuia este descrisa de un proces aleator. Acest proces este definit de o familie de variabile aleatoare [x(t); tIT] care descriu traiectoria procesului aleator.

Cunoasterea starilor sistemului la momentele consecutive t₁, t₂,t₃,,t_n-1,t_n anterioare momentului t, contribuie la cunoasterea starii in care se afla sistemul la momentul t, prin furnizarea unor informatii colectate din starile anterioare, insa cuprinse toate in starea cea mai recenta,respectiv starea corespunzatoare momentului t_n.

Sistemul ajuns la momentul t_n in starea x_n, stare in care este rezumat trecutul sistemului, permite prevederea evolutiei sale viitoare.

Procesul specific unui sistem, care are o astfel de evolutie, poarta denumirea de proces Markov.

Lantul Markov este un proces Markov, definit de variabilele aleatoare care pot lua valori apartinand unui sir infinit sau finit.

Un proces statistic este denumit proces Markov multiplu de ordin v, daca satisface pentru orice sir finit t₁<t₂< < t_n, de valori ale parametrului t, conditia: distributia variabilei aleatoare x(t_n) depinde numai de valorile luate de ultimele v variabile anterioare, respectiv x(t_n-1),x(t_n-2),,x(t_n-v) si nu de distributia acestora.

Denumim Proces Markov simplu, acel proces descris mai sus, pentru care v=1.

Se spune ca un proces Markov este omogen in timp, daca probabilitatile nu sunt afectate de o translatie in timp, adica:

unde:

P(t,e; θ,ζ) -reprezinta probabilitatea ca procesul sa fie in starea ζ la momentul θ stiind ca a fost in starea e la momentul t, indiferent care este valoarea lui τ.

Un proces Markov se numeste discret, daca T este o multime cel mult numarabila.

6.PRINCIPIUL METODEI LANTURILOR MARKOV

Un sistem constituit dintr-un numar oarecare de subsisteme, se poate caracteriza prin:

-ansamblul starilor posibile sau presupuse, care pot fi stari favorabile sau de refuz;

-ansamblul starilor initiale;

-probabilitatile de tranzitie intre stari;

-misiunea nominala a sistemului.

Din punct de vedere al fiabilitatii, un sistem nu se poate afla decat in doua stari distincte: una de buna functionare si una de defect. Derularea in timp a celor doua stari, se poate pune in evidenta prin profilele de functionare ale sistemelor fara redondanta (fig.10), respectiv cu redondanta (fig.11).

In baza formalismului din fig.10 si fig.11 se pot defini urmatoarele marimi:

- P_i(t),probabilitatea ca sistemul sa fie in starea 'i' la timpul 't' (starea 'i' poate fi o stare de defect sau una de buna functionare);

- A(t),disponibilitatea instantanee, care reprezinta probabilitatea ca un sistem sa fie in stare de buna functionare la momentul 't', oricare ar fi starea in care acesta s-a aflat initial;

- A_F(t),disponibilitatea instantanee, pentru sistemul care initial se afla in stare de buna functionare;

- A_D(t),disponibilitatea instantanee pentru sistemul care initial se afla in stare de defect.

Starile probabile ale unui sistem, pot fi reprezentate pe intervale discrete sau continue, printr-un multigraf orientat, care poarta numele de diagrama Markov. Pentru un sistem fara redondanta, diagrama Markov este prezentata in fig.12.

Nodurile din diagrama Markov, reprezinta starile posibile ale sistemului (i=1, i=2).

Arcele orientate, dintre noduri, reprezinta tranzitiile dintre starile sistemului caracterizate prin urmatoarele probabilitati:

* p₁₂(T),reprezinta probabilitatea ca sistemul sa treaca din starea 1 in starea 2, pe perioada T;

* p₂₁(T),reprezinta probabilitatea ca sistemul sa treaca din starea 2 in starea 1, pe perioada T.

Buclele atasate nodurilor din diagrama Markov au urmatoarea semnificatie:

** b₁(T)=1-p₁₂(T),reprezinta probabilitatea ca sistemul sa ramana in starea 1 pe perioada T;

** b₂(T)=1-p₂₁(T),reprezinta probabilitatea ca sistemul sa ramana in starea 2 pe perioada T.

Daca ratele de defectare si cele de reparatie (λ si μ) sunt constante in timp, procesul este stationar, iar curbele disponibilitatii evolueaza ca in fig.1

Daca procesul este nestationar, curbele disponibilitatii iau forme diverse, asa cum se prevede in fig.14 pentru perioada de tinerete a sistemului, sau in fig.15 pentru cea de uzura.

Disponibilitatea pe un interval (t₁,t₂) este data de aria de sub curba disponibilitatii, asa cum se vede in fig.16 si fig.17, pentru cazul regimului stationar.

Desigur, asa cum s-a aratat, disponibilitatea tine cont atat de aspectul fiabilitatii cat si de acela al mentenabilitatii, iar diagramele Markov ale acestora sunt cazuri particulare ale celei a disponibilitatii din fig.12.

Astfel, in fig.18 se prezinta profilul de functionare al fiabilitatii si respectiv in fig.19 diagrama markoviana pentru un sistem fara redondanta, iar in fig.20 se prezinta profilul de functionare al mentenabilitatii si respectiv in fig.21 diagrama markoviana, deasemeni pentru un sistem fara redondanta (starea 1 reprezentand o stare de functiune, iar starea 2 de defect a sistemului).

Asadar modelul matematic al disponibilitatii instantanee se poate scrie pornind de la diagrama markoviana din fig.12, astfel:

sau:

unde:

T  -marimea esantionului din algoritmul pentru calculator;

n  -numarul de iteratii care se aplica;

nt=T -durata misiunii pentru care se calculeaza disponibilitatea sistemului.

Din relatia (40) se vede ca suma elementelor de pe coloanele matricii q(T) este egala cu unitatea.

Modelul matematic al fiabilitatii se scrie pornind de la diagrama din fig.19:

La fel se procedeaza si pentru mentenabilitate, pornind de la diagrama din fig.21:

Din relatiile (40), (42) si (43) se vede ca s-au obtinut expresii identice pentru cele trei caracteristici: A(t), R(t) si M(t).

Este interesant de observat ca A(t), R(t), M(t) sunt toate functii unice de P₁(nT) care este probabilitatea ca sistemul sa fie in stare de functionare la momentul t. Daca modelul matematic se scrie pe baza unei diagrame Markov cu mai multe stari de buna functionare ale sistemului, caracteristicile de mai sus vor depinde de suma tuturor probabilitatilor starilor de buna functionare.

In baza acestui formalism de scriere a modelului matematic, problema caracteristicilor A(t), R(t) si M(t) se poate rezolva iterativ cu ajutorul calculatorului, insa scriind relatia (40) sub forma:

6.4.CALCULUL TEORETIC AL PROCESELOR NESTATIONARE(λ ct. si μ ct.)

Pornind de la ecuatia (44), se procedeaza astfel:

*pentru n=1 ecuatia (44) devine:

care pentru cazul in care sistemul initial se afla in stare de buna functionare, devine:

Sau daca initial sistemul este defect:

sau:

*pentru n=2 ecuatia (44) devine:

in care daca se inlocuieste matricea [P_i(T)] cu expresia (45) ori (48) se obtine:

*continuand procedeul de 'n' ori, se obtine:

unde:

Evident, procesul fiind nestationar, la fiecare iteratie se va calcula o noua matrice de tranzitie [q(T)] de forma:

6.5.CALCULUL TEORETIC AL PROCESELOR STATIONARE(λ=ct. si μ=ct.)

Daca procesul este stationar:

In aceste conditii, relatia (51) se scrie sub forma:

sau:

6.6.CALCULUL MANUAL AL UNUI SISTEM IN REGIM STATIONAR SI FARA REDONDANTA

Pentru orice sistem, probabilitatile tranzitiilor dintr-o stare in alta (p_ij(T) si p_ji(T)) precum si a buclelor, se pot scrie in functie de F(T) si M(T):

unde:

F(T) - probabilitatea de defectare a sistemului in timpul T;

M(T) - probabilitatea ca sistemul defect sa fie reparat in timpul T.

Desigur, pentru λ(t) si μ(t) constanti, F(t) si M(t), nu se schimba de la o iteratie la alta.

Pentru timpii de defectare si reparatie considerati distribuiti exponential, expresiile de mai sus devin:

In aceste conditii, valorile expresiilor (60)(63) sunt constante pentru fiecare iteratie.

Pentru cele doua exponentiale se fac aproximatiile:

Inlocuind expresiile (60)(63) in ecuatia (40) si tinand cont de aproximarile (64) si (65), se obtine:

sau:

Impartind prin T ecuatia (67), trecand la limita pentru T->0 si facand substitutia nT=t, rezulta:

Aplicand transformata Laplace:

si

ecuatia (68) devine:

a) Calculul disponibilitatii instantanee A(t)

Asa cum s-a mai aratat A(t)=P₁(t), insa pentru determinarea lui P₁(t) exista doua variante:

-in ipoteza ca initial sistemul se afla intr-o stare de buna functionare, atunci se inlocuieste:

in relatia (71), se obtine ecuatia matriceala:

dupa rezolvarea careia rezulta:

Se aplica transformata Laplace inversa:

-in ipoteza ca initial sistemul se afla in stare de defect, se inlocuieste:

in relatia (71) si procedand ca mai sus, se obtine pentru disponibilitate:

Pentru a calcula valoarea medie a disponibilitatii, vom trece la limita pentru t->0, relatia (73) sau (74) si vom obtine:

Cum s-a presupus o distributie exponentiala pentru timpii de defectare si de reparare, evident ca:

iar valoarea medie a disponibilitatilor va fi:

relatie precizata in cap.I.

b) Calculul fiabilitatii R(t)

Utilizand diagrama markoviana din fig.19 si relatia (42) careia i se aplica acelasi procedeu ((64)(71)), rezulta ecuatia matriceala:

din care:

Aplicand transformata Laplace inversa:

Deci:

forma binecunoscuta a functiei de fiabilitate.

c) Calculul mentenabilitatii M(t)

Pe baza diagramei Markov din fig.21 si a relatiei (43), procedand ca la punctele precedente, se obtine ecuatia:

din care se obtine:

Aplicand transformata Laplace inversa:

Cum ,P₁(t)+P₂(t)=1, rezulta ca:

care reprezinta functia de mentenabilitate.

Se vede ca pentru acest caz simplu, μ=ct. si λ=ct. se poate face un calcul manual pentru obtinerea caracteristicilor: A(t), R(t) si M(t). Daca, insa, intervalele de timp dintre defectiuni sau duratele timpilor de reparatie nu sunt distribuite exponential, calculul manual nu mai este posibil, fiind necesara utilizarea calculatorului.

In concluzie, studiul sistemelor folosind metoda lanturilor Markov, cuprinde urmatoarele etape:

1 -se definesc starile posibile ale sistemului, identificandu-se odata cu aceasta operatie starile de buna functionare si cele de refuz;

2 -se construieste diagrama Markov (graful orientat);

3 -se scrie modelul matematic atasat diagramei Markov;

4 -se rezolva ecuatia matriceala, obtinandu-se probabilitatile starilor sistemului la momentul t dorit (P_i(t));

5 -in functie de starea initiala in care s-a aflat sistemul cu marimile P_i(t) determinate, se calculeaza caracteristicile: A(t), R(t) sau M(t).

7.STUDIUL FIABILITATII FOLOSIND METODA DE

INTERFERENTA BAYESIANA

Teorema lui BAYES, se poate exprima din formula probabilitatilor conditionate (pct.2.1.2.2):

unde:

P(A) -este probabilitatea APRIORI a evenimentului A si P(A/B) este probabilitatea lui A, conditionata de producerea evenimentului B, sau probabilitatea POSTERIORI.

Utilizarea teoremei lui BAYES poate fi recursiva, adica daca se dispune de rezultatele B₁,B₂,,B_n ale unei succesiuni de incercari, se poate scrie succesiv:

si in cele din urma:

Pe masura ce rezultatele incercarii sunt cunoscute, se utilizeaza distributia POSTERIORI (deja obtinuta) ca distributie APRIORI si se reia secventa operatiilor. Prima distributie APRIORI P(A) tinde sa se perimeze, pe masura ce se iau in consideratie noi rezultate. Viteza cu care o distributie apriori se perimeaza, determina 'forta' acestei distributii.