Filtre digitale cu timp de raspuns tranzitoriu variabil

Filtre digitale cu timp de raspuns tranzitoriu variabil

Introducere: Aceasta lucrare va investiga efectul filtrarii digitale asupra timpului de functionare a unui releu digital de distanta universal. Vor fi luate in consideratie doua abordari de filtrare populare: Filtrul cosinus si Filtrul Fourier. Efectele catorva variabile, cum ar fi rata de esantionare, amplasarea erorii, unghiul de incidenta al erorii, si frecventele non-fundamentale, vor fi discutate. Aceasta lucrare va incerca sa discute performantele filtrelor digitale in termini familiari majoritatii inginerilor.

Principiile functionarii releelor de distanta

O discutie anterioara filrarii cu relee digitale de disatanta a folosit tensiunea divizata de catre un current pentru indica performanta releuluii de distanta. In timp ce aceasta metoda poate ajuta in intelegerea cum impedanta este vazuta de catre releul de distanta, nu prezice cu precizie performanta releului de distanta din moment ce majoritatea releelor de distanta nu functioneaza pe acest principiu. In scopul de a furniza un model mai bun,un comparator cu unghi cu faza simpla va fi luat in consideratie in aceasta lucrare. Multe din releele de distanta comerciale disponibile commercial functioneaza pe o variatie a ceastui principiu. Abordarea de a distanta releele a fost bine documentata in trecut [1,2]. Releeul ales este o aproximare foarte rudimentara a unei unitati de distanta adevarata pentru o usurinta a analizei. Simplificatiile nu vor afecta ideile care vor fi prezentate. Cantitatea de functionare este IZR-V; unde ZR este setul de bresa al releului si V si I sunt semnalele de curent si tensiune aplicate releului. Tensiunea de polarizare este presupusa ca o urmeaza pe cea de pre-eroare; acest lucru aproximeaza multele variatii de polarizare si memoria tensiunilor folosite in releele de distanta considerand scurta durata de interes. Operarea elementului pentru distanta apare cand unghiul de faza dintre semnalele de operare si polarizare este mai mic de +/- 90 grade.

Filtrarea digitala

Metoda comparatorului cu faza unghiuluarea de a implementa un releu de distanta este bazat pe componentele fundamentale de frecventa in curentii si tensiunile furnizate releului. Intr-un releuanalog, filtrele trece-banda reglate pe frecventele fundamentale sunt folosite pentru a elimina frecventele nedorite, cat si cele mai mari si mai mici decat cea fudamentala. Un releu digital va include si o flitrare analoga, dar este intentionata pentru scopuri anti-aliasing decat cele de a indeparta componentele de frecventa non-fundamentala [4]. Filtrul anti-aliasing este un filtru trece-jos cu o frecventa maxima de taire determinate de catre rata de esantionare a releului.

Principiile comparatorului cu faza unghiulara foloseste informatiile fazorului continut in semnalele de intrare. Un filtru digital indeoarteaza atat frecventele non-fundamentale dar si furnizeaza informatii fazoriale este de dorita pentru o implementare digitala a releului de distanta bazat pe comparatorul cu faza unghiulara. Doua asemenea filtre vor fi luate in consideratie in aceasta lucrare: Transformarea Fouruei discreta si Filtrul Cosinus.

Un semnal de tesniune constant in domeniul timp poate fi descries de catre ecuatia:

 

Intr-un filtru digital,acest semnal este esantionat de N ori pe ciclu. Astfel intrarea este reprezentata ca catre o serie de mostre, Sk, unde k ia valori de la 1 la N.

Filtrele digitale cat si cele discutate in aceasta lucrare, proceseaza datele esantionate, Sk, prin multiplicarea fiecarui esantion cu un coefficient determinat de catre tipul de filtru digital folosit. Acest process este descries de care urmatoarele sectiuni.

Filtrele recursive si filtrele nerecursive

Sunt doua metode de a calcula transformarea Fouriei discreta: in mod recursive si ne-recursive. Metoda nerecursiva cere ca fiecare punct al datei esantionate sa fie salvat in memorie si ca intreg procesul de sumare va fi efectuat pentru fiecare esantion(cantitatea este determinate de marimea "ferestrei"). Cea mai veche mostra devina mostra initiala sic ea mai noua mostra devine mostra N. Termenii imaginari si cei reali trebuie recalculati de la inceput. Metoda recursiva cere ca produsul final al coeficentilor sinusului si cosinusului si valorile datelor esantioanelor folosite pentru a genera sumele sunt salvate (cantitatea este determinate de marimea "ferestrei"), si este efectuat un process de sumare abreviata. In aceasta metoda,cel mai vechi prodis din suma sic el mai nou produs este adaugat in suma. Acum, numai numai valorile pentru cele mai noi essantioane trebuie sa fie calculate decat sa avemde calculate valorile pentru toate esantionale din "fereastra". Astfel se reduce cantitatea de calcule efectuate. Si mai mult ,timpul necesar pentru a completa acest process este astfel redus dandu-i releului sarcini aditionale de indeplinit sau sa creasca rata de esantionare. Metoda Recursiva, pe da lata parte, necesita mai mult timp si/sau viteza de calcul mai mare pentru a finalize operatia.

Transformarea Fourier Discreta

Inainte de a intra in detaliile calcularii transformatei Fourier, definitiile fazorului trebuie descries mai intai. Urmatoarea ecuatie este pentru o tensiune sinusoidala. Este o varianta similara si pentru un current sinusoidal dar aici numai reprezentarea pentru tensiune este data aici ca exemplu:

Extinzand ecuatia de mai sus:

Unde v(t) este esantionata,iar valorile esantioanelor rezultate sunt notate cu Sk.Din moment ce Sk reprezinta valorile esantionaleor cu o rata de esantionate fixate de N esantioane pe ciclu de tensiune sinusoidala, calcularea seriei Fourier Discrete a componentele fundamentale poate fi definite de catre urmatoarele ecuatii:

Alicand aceste ecuatii ecuatiilor de tensiune initiale rezulta urmatorele expresii:

Magnitudinea fazorului de tensiune poate fi calculata cu ajutorul urmatoarei ecuatii:

Faza unghiulara a fazorului de tensiune poate fi calculata de catre urmatoarele ecuatii. De retinut este faptul ca pentru un filtru recursive, unghiul θv este constant, in timp ce pentru filtrele non-recursive este rotativ.

Cu aceste defintii, calcularea transfomarii Fourier este capabila sa transforme undele de forma ele tensiunii sinusoidale intr-un fazor. Fazorul este reprezentat de catre doua forme, prima forma este forma rectangulara unde componentele imaginare si cele reale definesc fazorul; a doua forma este forma polara unde magnitidinea si faza unghiulara definesc fazorul

Calculul transfomarii Fourier determina partea reala si cea imaginara a fiecarei tensiuni si current folosit in releu. Acest lucru inseamna ca fiecare mostra de current si tensiune este multiplicata cu un factor sinus pentru a obtine componenta reala si cu un factor cosinus pentru a obtine componenta imaginara .Aceste cantitati vor fi insumate cu N esantioane consecutive pentru a obtine componentele actuale.

Pentru aceasta lucarre, calcularea transformatei Fourier foloseste un concept recursiv pentru a efectua suma termenilor imaginari si reali. Acest lucru inseamna ca in loc de recalcularea factorilor sinus si cosinus, si re-sumarea fiecarei mostre, numai factorii sinus si cosinus pentru esantionul present sunt calculate. Apoi cea mai veche mostra a factorilor sinus si cosinus din suma si cei mai noi termini sunt adaugati in suma.

Acest lucru necesita ca fiecare produs sinus si cosinus sa fie salvat pana ce se indeparteaza din suma. In plus suma actuala trebuie de asemenea salvata din moment ce atat suma "k-1" pentru estantianele precedente cat si suma "k" pentru esantionale prezente sunt folosite in calcularea recursive. Dupa ce a fost efectuat calculul recursiv pentru fiecare esantion, valorile sunt reactulizate. Aceasta abordare va reduce cantitatea de timp necesara pentru a efectua calculul trasnformarii Fouriei. Daca vreo eroare este introdusa in suma, atunci prin extragerea vechilor factori sinus si cosinus si adaugarea in cei noi nu il va indeparta. Exista tehnici disponibile pentru a preveni ca aceasta eroare sa afecteze iesirea filtrului.

Seria Fourier cu jumatate de ciclu

Transformarea Fouriei discreta are capacitatea de a lucra cu "ferestre de diferite dimensiuni. In urmatorul paragraf optiunea de a folosi fereastra jumatate de ciclu va fi discutata. Ferestrele ciclu intreg genereaza suma folosind toate mostrele colectate in ultimul ciclu. Acest lucru inseamna ca fereastra include ultima valoare a ciclului intreg in ultima jumatate de ciclu. Fereastra jumatete de ciclu genereaza suma folosind esantionale colectate in ultima jumatate de ciclu. Astfel, fereastra de date este o jumatate de ciclu. Folosind o fereastra jumatate de ciclu permite transformarii Fourier discrete sa gaseasca mai repede o schimbare in esantioanele de date decat este posibil cu fereastra ciclu intreg. De asemenea vor fi necesare si mai putine date ca sa fie salvate pentru fereastra jumatate de ciclu fata de cea cu ciclu intreg. Oricum, sunt diferente in actiunile de filtrare a filtrelor cu ciclu intreg a si celor cu ciclu injumatatit.

Intr-un filtru Fourier cu ciclu intreg de 16 esantioane, sumele sunt generate folosind ultimele 16 esantioane. Intr-un filtru cu jumatate de ciclu acestea ar fi generate folosind numai ultimele 8 esantioane. Din moment ce cantitatea de date este mai mica in sume, acest lucru are un efect asupra constantei care este folosita pentru multiplicarea sumei. Astfel (2/N) este inlcocuit de (4/N). Termenii coeficientilor sinus si cosinus sunt determinati de catre factorul (2*pi*k/N). Astfel coeficentii sinus si cosinus folositi in interiorul sumei sunt inca determinati prin rata de esantionare decat de dimensiunea ferestrei. Seria Fourier cu jumatate de ciclu poate fi implementata si ca un filtru recursive sau nerecursiv.

Filtrul cosinus

Transormarea Fourier discreta descrisa anterior foloseste coeficientii sinus si cosinus pentru a dezvolta componentele reale si cele imaginare a semnalelor filtrate. Pentru a obtine componentele imaginare si cele reale, doua semnale electrice defazate cu 90 de gade sunt necesare; coeficientii sinus si cosinus trebuie sa indeplineasca cerintele abordarii Fourier. Alta abordare este folosirea numai a coeficientilor din cosinus in timp ce al doilea semnal este valorea cosinusului din calcularea defazajului de 90 de grade anterior. Aceasta metoda cere ca numai un set de calcule sa fie efectuate pentru fiecare esantion si nu doua seturi de date necesitate de catre seria Fourier. Aceste economii, oricum, sunt partial compensate de catre faptul ca numai abordarea cosinus trebuie sa fie non-recursiva in timp ce cea Fouriei poate fi recursiva. Filtrul cosinus foloseste un sfert de perioada si o perioda intreaga mai bine decat o fereastra intreaga folosita de catre seria Fourier, si astfel se asteapta timpi de functionare mai lenti. Cele 4 esantioane din perioada filtrului Cosinus sunt de un interes particular din moment ce termenul calculate anterior este de fapt esantionul necesar in cuadratura.

Replici ale circuitelor cu impedanta

O lucrare anterioara [3] implica faptul ca filtrele Fourier nu sunt adecvate pentru folosirea in protectia filtrelor si nu indeparteaza componetele de offset DC ale curentului. Inginerii care proiectau relee au fost obisnuiti sa aiba de a face cu efectele offset-ului de DC pentru multi, multi ani. Exista o mare varietate de metode care pot indeparta in mod efectiv componentele de DC din curent.

Majoritatea releelor de distanta folosesc un semnal IZ in locul unei semnal I. Acest Z se refera ca fiind o replica a impedantei sau o impedanta simulata. Numele este derivat din faptul ca aceasta impedanta este ideala la fel ca si cea a liniei de protectie. Acest termen IZ este cel folosit pentru a creea relee de distanta care functioneaza cu semnale IZR-V. In conditiile unei stari constante, acest Z poate fi gandit ca fiind un fazor care multiplica curentul; aceasta este tehnica obisnuita si folosita de a arata dezvoltarile caracteristicilor mho [1,2]. Oricum, in timpul conditiilor tranzitorii, impedanta replica este mult mai complexa decat un simplu fazor de multiplicare.

Multe sisteme de relee cu stare continua folosesc circuite magentice ca pe un negociator pentru a dezvolta liniile de transimise ale impedantelor simulate. Un tranzactor este un reactor cu miez de fer cu un spatiu gol. Transactorul produce o tensiune proportionala cu curentul de intrare. Impedanta de transfer a transactorului este definita ca Z, si este folosita pentru a determina atingerea unghiului maxim si a carecteristicilor mho. Transactorul indeparteaza compoenetele de offset DC din semnalul de curent. Sunt folosite si alte tehnici la releele digitale: de exemplu, o implementare software a transactorului pentru a creea impedante simulate. Astfel componente DC pot fi indepartate din semnalul de curent derivat care este folosit de catre releul digital.

Pentru a ilustra efectele impedantei simulate, se considera sistemul simplu din fig. 1. O eroare este plicata la 75% din linia de zero grade a undei de tesniune. Curentul resultant este cel din fig. 2. Acest curent a fost procesat de catre un filtru cu ciclu intreg cu 16 esantioane. Magnitudinea iesirii Fourier este aratata in fig. 3; faza unghiulara este ilustrata in fig. 4. Se poate vedea in aceste grafice ca magnitidinea si unghiul fazorului obtinute de la oscilatiile Fourier cu ciclu intreg si ca aceasta abordare este o stare consatata pentru aproximativ 4-5 perioade. Eroarea maxima dupa aproximativ 16 esantioane este de aproximativ zece procente. Acelasi curent esantionat a fost trecut printr-o implementare digitala a impedantei simulate cu o magnitudine unitara si o faza unghiulara de 85 de grade pentru a se alinia cu linia unghiului. Rezultatele sunt aratate in fig. 5 si 6. In acest caz, iesirea filtrului Fourier atinge starea sa constanta in aproximaiv o periaoda, fara oscilatii care erau evidente in semnalul de curent. Partile imaginare si reale ale curentului si IZ sunt ilustrare in fig. 7 si 8. Aceasi forma de unda a curentului a fost de asemenea procesata cu un filtru Cosinus. Figurile 9 si 10 arata magnitudinea curentului (I) si a semnalului IZ. Modelul digital al transactorului are de asemenea un efect de netezire a iesirii filtrului cosinus.

Timpii de functionare

Sunt cativa factori in releele digitale care vor afecta timpii de functionare ai releului cand are loc o eroare. Unul din acestia este timpul de intarziere asociat cu filtrul anti-aliasing. Orice filtrare analogica introduc un timp de intarziere. Acest timp de intarziere este dependent de tipul de filtru, de frecventa de taiere si de caracteristica de "rostogolire". Timpii de intarziere asociati cu filtrele anti-aliasing sunt ignorati in aceasta lucrare.

O a doua sursa de timpi de intarziere se datoareaza naturii datelor esantionate. Un releu analog incepe sa raspunda la o schimbare de curent sau tensine atunci cand evenimentul are loc; un releu digital, pe de alta parte, trebuie sa astepte pana data viitoate cand mostrele sunt esantionate. Cand eroarea are loc chiar imediat dupa un esantion, releul trebuie sa astepte un esantion intreg inainte ca sa simta o schimbare in intrari; pentru un releu care esantioneaza de 32 de ori intr-o perioada de 60 de Hz, acest timp e de 0.52ms, in timp ce pentru un releu care esantioneaza de de 4 ori intr-o perioada, acest timp este de 4.17 ms.

Al treilea factor care are un efect direct asupra timpilor de functionare ale releelor este "numaratorul de siguranta" folosit in algorimtul de protectie. Acest enumerator de siguranta se refera la numarul de mostre care trebuie sa se afle in interiorul "zonei de demarare" a releului chiar inainte ca o iesire actuala de demarare sa fie permisa. Un releu digital de obicei nu produce o iesire de demarare ca fiind rezultatul unei erori ci mai degraba a conditiilor actuale de sistem. Cu cat numaratorul de siguranta este mai mare, cu atat releul trebuie sa astepte mai mult pentru a emite o comanda de demarare. Pentru scopul acestei lucrari, un numarator de siguranta de 2 esantionae va fi folosit. Un numerator cu 2 esantionae cu 32 de esantionae pe perioada ca avea o intarziere de demarare de 0.52ms; in timp ce o rata de esantionare de 4 perioade ca avea o intarziere de 4,17 ms.

Alt factor care afecteaza timpul de functionare este timpul de intarziere introdus de catre filtrarea digitala. Acesta este variatia in acest timp bazata pe severitatea erorii care de acum va fi adresata. Erorile au fost aplicae la 1, 25, 50 si 75 procente din linia radiala in fig. 1. Curentii si tensiunile esantionate au fost calculate si procesate de catre diverse filtre digitale. Pentru simplitate si consistenta, erorile au loc simultan cu esantionul numarul 1, neavand in vedere rata de esantionare aleasa. Iesirile filtrului au fost alese pentru a forma semnalul de functionare al releului de distanta, IZ-V. Faza unghiulara al semnalului IZ-V a fost comparata cu faza unghiulara a tensiunii de momorie inainte de eroare; cand cele doua se aflau intre +/-90 de grade, o conditie de demarare a fost detectata. Doua conditii de demarare au fost necesare pentru a emite o demarare de semnal.

Tabelele din urmatoarele pagini rezuma timpii de functionare pentru diverse filtre si combinatii de frecvente de esantionare. Asa cum se si asteapta, cel mai rapid timp pentru un filtru dat este produs de cea mai mare rata de esantionare. Timpii de functionare pentru erorile de tip close-in sunt de interes particular. Atat filtrele Cosinus si Full Cycle Fourier produc o demarare de iesire. Incluzand o intarziere de celor doua numaratoare de siguranta, in 4.7 ms, cu o rata de esantionare de 32 de esantioane pe perioada; oricum, cand rata de esnationare este redusa la 16,8 sau 4, timpul de parcurgere pentru filtrul Cosinus este cu un sfert de perioada mai mare decat la cel Fourier.

Initilizarea ungiului de eroare a fost deplasat cu 90 de grade pentru o eroare de 75% din linie. O comparative intre timpii de excursie este ilustrata mai jos:

16 esantioane Cosinus Esantion drum

16 esantioane Ciclu Fourier intreg Esantion drum

Aparitia erorii Ughiul

Pentru aceasta eroare, timpul de parcurgere Fourier a fost mai rapid decat cel al filtrului Cosinus pentru un unghi de initilizare de 0 grade, dar timpii parcurgere au fost similari pentru un unghi de initializare de 90 de grade.

Fig. 11 arata ca Unghiul Comparatorului pentru un filtru corespunzator unui Ciclu Fourier cu 16 esantioane cu o eroare de 75% si un unghi de eroare de initializare de 0 grade. Fig. 12 arata aceeasi informatie pentru un filtru Cosinus cu 16 esantioane. Fig. 13 si 14 arata Unghiul de Comparatie pentru un unghi de incidendta de 90 de grade.

Toate datele anterioare au fost bazate pe baza sistemului din fig. 1, care are un raport dintre linie (SIR) si impedanta de 0.25. Impedanta sursei a fost crescuta la 40 Ohmi, pentru a produce un SIR de 10. Pentru o eroare la localizarea releului,filtrul Fourier cu 32 de esantioane pe eperioada produce o excursie de iesire de 14,6 ms; Filtrul Cosinus cu 32 de esantioane pe perioada are o excursie de 18,7 ms. Pentru un SIR de 0.25, ambele filter produc o excursie de iesire de 4,7 ms. Astfel timpul de functionare va fi o functie de SIR la fel ca si eroarea de localizare pe linie.

Sumar

Este o presupunere obisnuita ca daca este folosit un filtru digital cu perioada intreaga,ne asteptam la o intarziere de numai o perioada in timpul de functionare. Asa cum s-a aratat in discutie, oricum, nu este intotdeauna adevarat. Un releu de distanta cu fazic comparator, de exemplu, nu masoara distanta exacta pana la eroare, mai degraba produce un drum de iesire oricand faza unghiulara calculata este in interiorul zonei de excursie. Astfel, in timp ce poate dura o perioada pentru impedanta de eroare sa atinga +/-1% din valoarea sa finala, impedanta poate introduce caracteristica sa drum in intervalul a catorva perioade. Acest lucru este adevarat mai ales pentru erorile care sunt bine insertate in valorile pe care releul le atinge. Fig. 15 este un grafic al timpilor de excursie pentru un releu cu faza unghiulara de comparative folosind un filtru Ciclu Fourier Intreg ca o functie de rata de esantionare. Cel mai lent timp de parcurgere pentru aceasta conditie a fost o jumatate de perioada. Fig. 16 este un sumar al datelor din tabelul I si arata faptul ca timpii de excursie al releelor cresc pe masura ce eroarea de localizare se misca spre partea de jos a liniei. Acest tip de performanta este similara multor relee analogice de distanta.