Logica și controlul fuzzy

Logica și controlul fuzzy

La mijlocul anilor 60, Lotfi Zadeh a dezvoltat matematica multimilor fuzzy un instrument de rationare total diferit de logica booleana bivalenta. Noua teorie generalizeaza proprietetea de apartenenta, prin redefinirea functiei caracteristice

Daca C este o multime definita in sens clasic pe universul U, pentru orice putem avea: sau . Functia caracteristica a unei multimi A, definita pe domeniul X, este:

(3.1)

Notand cu si rezultatele operatiilor de complementare, intersectie, respectiv reuniune asupra multimilor, cu ajutorul functiei este posibila redefinirea acestora astfel:

(3.2)

Functia caracteristica este transformata de matematica fuzzy intr-o functie de apartenenta, care asigneaza fiecarui o valoare de apartenenta la multimea fuzzy F, notata m_F(x) si situata in intervalul unitar [0, 1]:

(3.3)

Astfel, multimea F este complet determinata de perechile:

(3.4)

S-au propus pentru multimile fuzzy mai multe notatii alternative, echivalente cu cea din (3.4) .

Functiile de apartenenta utilizate in controlul fuzzy sunt convexe, adica:

(3.5)

Figura III.6. Exemple de functii G și S

 

Figura III.7. Exemple de functii L și

Figura III.8. Reprezentarea functiei (m

Cele mai utilizate functii convexe sunt: functia G și functia S (Figura III.6), functia L și functia (Figura III.7), functia p si functia (Figura III.8).

Expresiile matematice ale acestor functii sunt:

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

Pentru scopuri de reglare automata, aceste functii sunt asociate de obicei cu sapte variabile lingvistice fuzzy: Pozitiv Mare (PB), Pozitiv Mediu (PM), Pozitiv Mic (PM), Zero (ZO), Negativ Mic (NS), Negativ Mediu (NM), Negativ Mare (NB). Domeniul functiilor de apartenenta asociate acestor variabile este un interval real. Intervalul [-6, 6] se numeste stardard, iar intervalul [-1, 1] se numeste normalizat. Uneori, ambele domenii se numesc normalizate.