Notatia polara si rectangulara a numerelor complexe

Notatia polara si rectangulara a numerelor complexe

Scop

Pentru a putea lucra cu aceste numere complexe fara a fi nevoiti sa desenam tot timpul vectori, avem nevoie de o notatie matematica standard. Exista doua forme pentru notatia numerelor complexe: polara si rectangulara.

Notatia polara

Forma polara consta in exprimarea unui numar complex prin lungimea (cunoscuta si sub numele de dimensiune, valoare absoluta sau modul) si unghiul vectorului (desemnat de obicei prin simbolul

Alaturat avem doua exemple de vectori impreuna cu notatia lor polara.

Orientarea standard pentru unghiurile vectorilor in curent alternativ defineste unghiul de 0⁰ (sau 360⁰) ca fiind in dreapta (axa orizontala), 90^o sus, 180^o stanga, 270^o jos. Atentie, vectorii a caror unghi este "in jos" pot fi reprezentati cu ajutorul notatiei polare ca fiind vectori pozitivi cu un unghi de peste 180^o, sau ca numere negative cu unghiuri sub 180^o. De exemplu, putem spune ca un vector cu unghiul 270^o (direct in jos) are unghiul de -90^o (notatie echivalenta). Vectorul de mai sus (7,81 230.19^o) poate fi descris de asemenea prin 7,81 -129.81^o.

Notatia rectangulara

Forma rectangulara consta in reprezentarea vectorului prin componentele sale orizontale si verticale. In esenta, vectorul unghiular este considerat a fi ipotenuza unui unghi drept si descris cu ajutorul lungimilor laturilor opuse respectiv adiacente. In loc sa descrie lungimea si directia unui vector prin precizarea lungimii si a unghiului, acesta este descris in termenii "cat de departe in stanga/dreapta" si "cat de departe "sus/jos".

Aceste doua valori dimensionale (orizontala si verticala) sunt simbolizate prin doua valori numerice. Pentru a putea face distinctie intre cele doua dimensiuni, cea verticala este insotita de notatia "i" (in matematica pura) sau "j" (in domeniul electric). Aceste litere nu reprezinta o variabila fizica (precum curentul instantaneu, simbolizat de asemenea prin "i"), ci sunt operatori matematici folositi pentru a face distinctia dintre componenta verticala si cea orizontala a unui vector. Ca si numar complex complet, valorile cele doua componente sunt scrise ca si suma.

Componenta reala si componenta imaginara

Componenta orizontala este denumita componenta reala deoarece aceasta este compatibila cu numerele normale, scalare ("reale"). Componenta verticala este denumita componenta imaginara, deoarece aceasta dimensiune se afla pe o alta directie si nu are nicio legatura cu scara numerelor reale.

Axa reala si axa imaginara

Cele doua axe poarta denumirea de axa reala respectiv axa imaginara.

Diferenta dintre cele doua notatii

Oricare dintre cele doua forme poate fi folosita pentru numerele complexe. Principalul motiv pentru care exista doua sisteme de notatie valide se datoreaza faptului ca forma rectangulara este usor de folosit pentru adunare si scadere, iar forma polara pentru inmultire si impartire.

Transformarea din forma polara in forma rectangulara

Conversia de la o forma la alta se poate realiza pe cale trigonometrica destul de usor. Pentru a transforma forma polara in forma rectangulara, aflam mai intai componenta reala prin inmultirea lungimii polare cu cosinusul unghiului, iar componenta imaginara prin inmultirea lungimii polare cu sinusul unghiului. Acest lucru poate fi inteles mult mai usor daca desenam valorile ca si laturi ale unui triunghi dreptunghic, ipotenuza acestuia reprezentand exact vectorul analizat (lungimea si unghiul sau fata de orizontala reprezinta forma sa polara), latura orizontala fiind componenta reala, iar latura verticala reprezentand componenta imaginara:

Calculele de transformare arata astfel:

Transformarea din forma rectangulara in forma polara

Pentru a realiza conversia de la forma rectangulara la cea polara, gasim mai intai lungimea polara folosind teorema lui Pitagora, fiindca lungimea polara este ipotenuza unui triunghiu dreptunghic, iar componenta reala si cea imaginara sunt reprezentate de latura adiacenta respectiv cea opusa. Gasim unghiul ca fiind raportul dintre arc-tangenta componentei imaginare si componenta reala, astfel: