Simularea functionala a unui circuit electric cu condensatoare

Simularea functionala a unui circuit electric cu condensatoare

Coordonator stiintific: Sef Lucrari Doctor Inginer Matematica

Studenti autori:

Introducere

Combinatiile posibile care se pot realiza intre elementele parametrice din teoria circuitelor electrice dau nastere la structuri de circuite care prin metodele clasice de rezolvare nu pot fi determinate, in sensul identificarii valorilor de curenti electrici prin laturi. Mai mult, daca studiul circuitelor electrice se face in regim tranzitoriu atunci modelul matematic format din ecuatii diferentiale poate prezenta insuficienta unei solutionari analitice. In aceste cazuri, se apeleaza la metode numerice de rezolvare, metode care pornind de la modelul matematic al problemei de circuit, introduc calcule matriciale si calcule de iteratie ale unor formule recursive.

Cadrul de rulare al acestor metode numerice nu este, bineinteles, foaia de hartie, ci interfata de calculator a unor programe de calcul numeric. Astfel de programe de calcul utilizate in electrotehnica sunt: Matlab, Mathcad, Labview. Modalitatea de scriere a sintaxelor in programele de tip utilitar mentionate este in asa fel alcatuita, incat sa fie accesibila studentului de profil tehnic si inginerului. De subliniat este ca, in masura in care metodele numerice interne de lucru ale programului devin cunoscute si pe cat posibil adaptabile la studiul de interes, nu trebuie sa se faca o referire negativa la utilizarea acestora, in detrimentul demersului analitic de calcul.

Lucrarea de fata isi propune sa dea curs unei aplicatii din electrotehnica pentru care varianta de identificare a variatiilor de curenti electrici prin metode analitice nu este viabila. In consecinta, se urmeaza calea unei rezolvari numerice in softul de calcul numeric Matlab, programul de simulare Simulink. Aspectele de scriere a modelului matematic al problemei si de rezolvare interna in simulatorul mentionat vor fi detaliate pe parcursul introducerii lor in aceasta prezentare.

Aplicatia electrotehnica

Pentru un circuit electric continand o sursa de alimentare, rezistoare si doua condensatoare, sa se simuleze regimul tranzitoriu de incarcare a celor doua condensatoare si de descarcare a acestora prin modificarea pozitiei comutatorului K. Parametrii circuitului sunt definiti, iar configuratiile schemelor de incarcare si descarcare sunt figurate:

Se indica patru situatii de functionare a sursei de alimentare a circuitului: A. cand furnizeaza un semnal continuu si constant; B. o perioada in care genereaza un semnal alternativ sinusoidal de amplitudine si faza cunoscute; C. un interval de timp in care forma de unda este dreptunghiulara si D. un regim de alimentare cu tensiune electrica alternativa de forma triunghiulara. Pentru toate aceste situatii, dupa implementarea simbolica a modelului de circuit in programul Simulink, se executa un test de functionare, in sensul incarcarii si descarcarii condensatoarelor prin rezistentele din circuit.

Schema circuitului definit se arata in configuratia de mai jos, in starea de incarcare, respectiv de descarcare a condensatoarelor:

(fig.1)

Functionarea in regim tranzitoriu a circuitului, in cele doua stari, se modeleaza matematic prin doua sisteme de ecuatii diferentiale, corespunzatoare incarcarii, respectiv descarcarii condensatoarelor. Obtinerea ecuatiilor diferentiale se face prin aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff pe buclele independente ale circuitului.

Se exprima succesiv cele doua sisteme de ecuatii diferentiale, impreuna cu conditiile initiale de functionare; in situatia descarcarii, conditiile initiale se determina prin identificarea la momentul initierii descarcarii a valorilor de tensiune electrica pe cele doua condensatoare:

La inceperea momentului T_d de descarcare a condensatoarelor, prin trecerea comutatorului K de pe pozitia 1 pe pozitia 2, poate fi atasata urmatoarea descriere matematica:

Mediul Simulink permite programarea grafica a modelelor matematice prin blocuri simbolice intre care se realizeaza legaturi. Aceasta maniera de scriere este usor de inteles si datorita paletei matematice extinse in toate campurile de operare (algebrica, diferentiala, simbolica, grafica) modelele pot fi integrate complet si clar.

Modelul circuitului din aplicatia studiata s-a structurat in Simulink in cateva blocuri distincte: un bloc care contine primul sistem de ecuatii diferentiale, un bloc cu al doilea sistem de ecuatii diferentiale, un bloc de alimentare, in care se gasesc toate cele patru semnale de alimentare si un bloc de masura in care apar osciloscoapele care masoara si reprezinta grafic variatiile de curent electric si de tensiune electrica prin si pe condensatoare. De asemenea, s-a construit o interfata de initializare a datelor care definesc circuitul - valorile numerice ale rezistentelor, ale condensatoarelor; momentul comutatiei de la incarcare la descarcare; timpul de simulare; schimbarea semnalelor de la sursa de alimentare.

In continuare, se figureaza partea implementata in Simulink, Matlab si rezultatele reiesite, rezultate asupra carora se vor face cateva precizari:

1. Circuitul electric cu condensatoare modelat matematic in Simulink

2. Sursa de alimentare cu cele patru tipuri de semnale, cu multiple posibilitati de reglare

3. Sistemele de ecuatii diferentiale scrise in combinatie

4. Tablourile de definire a parametrilor circuitului si a modului de functionare (perioada de comutatie, tip de semnal, caracteristici ale semnalului)

Fig. 4

Dupa rularea rutinei principale aratata in fig. 1, se obtin prin calcul numeric variatiile de tensiune electrica si curent electric pe si prin condensatoarele din circuit. La baza blocurilor simbolice de calcul din Simulink, metoda interna de integrare apeleaza doua tipuri de formule: formula trapezelor de calcul al integralelor definite numeric si o formula de recurenta a rezultatului integralei, numita adaptativa. Pentru executia calculului se definesc din interfata cu utilizatorul: timpul de simulare (0.35 sec); pasul de discretizare si toleranta admisa. Prin acesti parametri este posibila modificarea din exterior a metodei interne de calcul.

3. Rezultate experimentale

Pentru fiecare tip de semnal de alimentare aplicat s-a obtinut o anumita variatie de curenti si tensiuni electrice. Mai jos, se prezinta formele de unda ale marimilor electrice din laturile cu condensatoare.

A. Semnal constant de tensiune provenit de la sursa de alimentare:

Observatie: in momentul initierii incarcarii celor doua condensatoare, apar variatii bruste de curent electric, socuri de valoare mare. Cu culoarea galbena se figureaza curentul prin condensatorul C₁, iar cu violet prin condensatorul C₂. Analog, apar socuri de curent la descarcarea condensatoarelor.

B. Semnal alternativ sinusoidal compus cu un semnal continuu de valoare constanta (frecventa 50 Hz):

Observatie: in prima perioada de functionare valorile de tensiune sunt mai mici decat cele nominale la care se incarca in regim permanent. In graficul tensiunilor sunt reprezentate semnalul de alimentare (galben), tensiunea pe condensatorul C₁ (violet) si tensiunea pe condensatorul C₂ (albastru). In situatia curentilor, la fel apar socuri de valori mari, dupa care variatia lor se stabilizeaza sinusoidal pana la inceperea descarcarii.

C. Semnal dreptunghiular decalat superior pana la valoarea medie de 40 Volti:

Observatie: Forma tensiunilor seamana cu a unor dinti de fierastrau. La curenti, pe fiecare impuls dreptunghiular de alimentare apare cate un soc de curent.

D. Semnal alternativ triunghiular de alimentare:

Observatie: Incarcarea determina in acest caz supratensiuni si socuri puternice de curent electric, ultimele la fiecare perioada ale undei de alimentare.

4. Concluzii

Lucrarea de fata prezinta un caracter demonstrativ. In utilitarul de calcul numeric Matlab, Simulink, dupa modelarea matematica a circuitelor electrice, devine accesibila introducerea unei diversitati de configuratii posibile de circuite. Programul nu ofera solutionarea analitica a problemelor, nu sunt returnate functii analitice de caracterizare a variatiilor de curenti si tensiuni electrice. Insa, maniera grafica de reprezentare a marimilor electrice se face cu performante ridicate; aceasta in cazul stapanirii paletei de optiuni Simulink.

S-au studiat doar cateva tipuri de semnale de alimentare pentru un set de parametri de circuit. Daca valorile acestora se schimba pentru acelasi circuit structura ramane identica, fapt care permite simulari functionale pe un set larg de date.

5. Anexa

- constanta  - sumator - produs - ceas intern

- multiplexor - osciloscop - derivator

- variabila intrare - variabila iesire

Bibiliografie:

1. D. D. Micu, A. Cziker: Aplicatii ale metodelor numerice in Electrotehnica, Ed. Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 2002;
2. E. Simion, T. Maghiar: Electrotehnica, E.D.P Bucuresti, 1981;
3. C. Bratianu & colectiv: Metode numerice, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1996;
4. I. A. Viorel & colectiv: Metode numerice cu aplicatii in ingineria electrica, Oradea, 2000.