Teorii utilizate in analiza oscilatoarelor armonice

Pentru caracterizarea unui oscilator trebuie avute in vedere urmatoarele:

- conditia de amorsare a oscilatiilor;

- frecventa de oscilatie, f_osc;

- amplitudinea de oscilatie, V_osc;

- conditia de stabilitate dinamica a oscilatiilor;

- stabilitatea amplitudinii si frecventei de oscilatie;

- evaluarea distorsiunilor semnalului generat.

Analiza functionarii oscilatoarelor armonice se poate face utilizand una din teoriile elaborate in acest scop si care se vor prezenta succint in continuare.

(A) Teoria liniara a oscilatoarelor se bazeaza pe modelarea dispozitivelor electronice cu circuite echivalente de semnal mic. Celelalte elemente de circuit au caracteristici liniare si parametri independenti de marimea semnalului aplicat. În cadrul acestei teorii nu se pot stabili decat conditia de amorsare, frecventa de oscilatie si stabilitatea acesteia. Se presupune ca amplificatorul de baza are o amplificare reala, independenta de frecventa. Relatia Barkhausen va furniza expresia frecventei de oscilatie

(5.9)

În momentul in care se cunoaste frecventa de oscilatie, tot din relatia lui Barkhausen se poate deduce valoarea pe care trebuie sa o aiba amplificarea pentru a sustine autooscilatiile:

(5.10)

În mod intuitiv ne dam seama ca relatia de mai sus furnizeaza valoarea minima a modulului amplificarii. Din punct de vedere experimental amplificarea nu poate fi realizata exact la valoarea rezultata din relatia (5.10), de regula preferandu-se o valoare putin mai mare a acesteia. Conform teoriei liniare o asemenea alegere ar conduce la o crestere nelimitata a amplitudinii oscilatiilor, lucru infirmat de practica. Deci, marele dezavantaj al teoriei liniare este faptul ca ea nu permite determinarea amplitudinii de oscilatie.

Exemplu de aplicare a teoriei liniare

Pentru a exemplifica modul in care se aplica teoria liniara, se considera un oscilator RC ideal, prezentat in figura 5.2.a, realizat cu un amplificator ideal de tensiune in configuratie neinversoare si o retea pozitiva de reactie.

Deoarece impedanta de intrare in amplificatorul ideal este infinita, functia de transfer a retelei de reactie, β, va fi calculata cu iesirea in gol (vezi figura 5.2.b):

(5.11)

Amplificarea in tensiune a amplificatorului de baza este:

(5.12)

Din relatia lui Barkhausen rezulta ca la frecventa de oscilatie factorul de transfer al retelei de reactie, β, este un numar real. Ca atare, din conditia

(5.13)

se obtine expresia frecventei de oscilatie.

Figura 5.2. (a) Oscilator armonic RC ideal. (b) Reteaua de reactie pozitiva

Frecventa de oscilatie este deci

(5.14)

Înlocuind in relatia (5.11) relatia (5.14) obtinem

În consecinta amplificarea necesara pentru sustinerea oscilatiilor este

(5.15)

Observatie

În cazul amplificatoarelor reale, asigurarea independentei relative a performantelor retelei de reactie fata de performantele amplificatorului de baza se realizeaza prin indeplinirea urmatoarelor conditii:

(5.16)

in care si sunt impedantele de intrare si de iesire ale amplificatorului de baza, iar si sunt impedantele de intrare si de iesire ale retelei de reactie.

(B) Teoria cvasiliniara (sau metoda primei armonici) porneste de la considerentul ca functionarea amplificatorului este neliniara. Ca atare, se deduce o amplificare a fundamentalei semnalului generat, care va depinde de amplitudinea acesteia, V. În acest context vor putea fi discutate amorsarea si limitarea oscilatiilor, stabilitatea lor la perturbatii. Acestea sunt probleme de regim tranzitoriu si vor fi discutate ca atare.

Sa presupunem ca avem un amplificator ideal, cu amplificarea un numar real a. Aceasta amplificare depinde de amplitudinea semnalului din circuit, V. Dependenta poate fi determinata experimental sau prin calcul.

În regim permanent, din relatia lui Barkhausen, dupa deducerea expresiei frecventei de oscilatie in conformitate cu relatiile se poate scrie relatia:

(5.17)

Aceasta conditie determina deci amplitudinea oscilatiei. Se va arata ca ea permite si aprecierea stabilitatii dinamice a functionarii oscilatorului. Metoda este aproximativa deoarece nu ia in considerare armonicile semnalului.

Principalele tipuri de dependenta a amplificarii functie de amplitudinea semnalului sunt prezentate in figura 5.3.

(a) Situatia prezentata in figura 5.3.a poate sa apara atunci cand amplificatorul de baza este realizat cu tranzistoare bipolare ce lucreaza in regim activ normal (RAN), in conditii de semnal mic.

Figura 5.3. Variatia amplificarii cu amplitudinea oscilatiei: (a) amplificatoare cu TB; (b) amplificatoare cu TU

La semnal mic, atat timp cat tranzistoarele schemei lucreaza in RAN, amplificarea este aproximativ egala cu a (V = 0). Pe masura ce amplitudinea semnalului creste si tranzistoarele nu mai lucreaza in RAN, amplificarea pe fundamentala va scadea. Amplitudinea de oscilatie in regim permanent se poate determina grafic, folosind relatia (5.17).

Se intuieste faptul ca in acest caz oscilatiile se autoamorseaza, deoarece modulul amplificarii de semnal mic este mai mare decat cel necesar pentru sustinerea oscilatiilor. De asemenea, se observa ca amplificatoarele ce prezinta o astfel de dependenta a amplificarii de amplitudinea semnalului asigura stabilitatea dinamica a oscilatiilor. Daca apare o perturbatie a amplitudinii oscilatiei care conduce la cresterea acesteia, modulul amplificarii devine mai mic si amplitudinea semnalului scade. Daca insa perturbatia actioneaza in sensul scaderii amplitudinii semnalului, modulul amplificarii creste, conducand deci la cresterea amplitudinii. În concluzie, daca apare o perturbatie a amplitudinii oscilatiei, atunci amplitudinea revine la V_osc dupa disparitia perturbatiei.

(b) Situatia prezentata in figura 5.3.b poate aparea in cazul unor amplificatoare realizate cu tranzistoare unipolare. La acest tip de amplificatoare, cand amplitudinea semnalului creste, componenta medie a curentului de drena creste, conducand la cresterea transconductantelor medii pe fundamentala ale tranzistoarelor, deci la cresterea amplificarii. Atunci cand amplitudinea semnalului creste astfel incat sa conduca la deschiderea jonctiunii poarta-canal, amplificarea va scadea. Intersectia curbei de amplificare cu dreapta descrisa de relatia (5.17) este formata din doua puncte M₁ si M₂. Punctul de functionare M₁ nu este stabil, oscilatiile stingandu-se daca amplitudinea scade accidental sau cresc pana la V_osc daca amplitudinea creste accidental. Punctul de functionare M₂ corespunde unor oscilatii stabile, deoarece forma amplificarii in aceasta regiune asigura stabilitatea dinamica a oscilatiilor.

Fata de cazul anterior, in acest caz autoamorsarea nu mai este posibila, deoarece amplificarea de semnal mic a (V = 0) are o valoare prea redusa pentru a putea sustine oscilatiile. Oscilatiile se pot amorsa numai prin excitatie externa, cu un semnal care are frecventa apropiata de cea proprie oscilatorului si amplitudinea cel putin egala cu abscisa punctului de functionare M₁.

Studiul regimului tranzitoriu al circuitului, adica rezolvarea ecuatiilor diferentiale ale circuitului, face posibila determinarea conditiilor de amorsare, limitare si stabilitate la perturbatii a oscilatiilor. Sistemul de ecuatii diferentiale ce caracterizeaza circuitul este redus, prin eliminarea variabilelor si considerarea numai a fundamentalei semnalului de iesire, la o unica ecuatie diferentiala, care de regula este ordinara, liniara si are coeficienti constanti. Solutia generala a acestei ecuatii este o combinatie liniara a solutiilor particulare de tipul , unde

, (5.18)

numere complexe, sunt solutiile ecuatiei caracteristice.

Prezenta retelei de reactie selective face ca radacinile ecuatiei sa fie complex-conjugate, adica ecuatia caracteristica sa fie de forma:

(5.19)

Aceasta conduce la o solutie generala de forma:

(5.20)

În consecinta, oscilatiile cresc pentru si scad pentru , regimul permanent de oscilatie obtinandu-se pentru .

Relatia lui Barkhausen poate fi scrisa astfel

(5.21)

si poate fi descompusa in doua relatii

si (5.22)

din care rezulta

si . (5.23)

Astfel, pentru autoamorsarea oscilatiilor rezulta conditia:

, (5.24)

iar in regim permanent, amplitudinea de oscilatie se determina din relatia

(5.25)

si frecventa de oscilatie se determina din relatia

(5.26)

Conditia de stabilitate dinamica a oscilatiilor este

(5.27)

(C) Teoria neliniara permite in principiu determinarea formei de unda exacte. Din punct de vedere matematic, este necesara rezolvarea ecuatiei diferentiale neliniare a circuitului, problema pentru care nu exista metode standard. O solutie analitica este cel mai adesea imposibila, chiar cu pretul unor simplificari in schema analizata si in caracteristicile dispozitivelor electronice folosite.