Angrenaje conice concurente

Transmit miscarea de rotatie intre arbori a caror axe se intersecteaza inchizind intre ele un unghi .Rotile angrenajului au forma conica si de aceea angrenajele se numesc conice.

Suprafete si cercuri de rostogolire

Suprafetele de rostogolire sunt doua conuri care au virful comun in punctul de intersectie O a celor doua axe si sunt tangente de-a lungul generatoarei OP (fig.nr.1).

Fig.1

Din figura rezulta: (1)

Unde sunt semiunghiurile conurilor de rostogolire. Unghiul dintre axe poate fi mai mic,egal sau mai mare decit 90⁰.

Prezinta interes un caz special cind conul de rostogolire al unei roti devine un disc -(fig.nr.2).

Fig.2

Angrenajul poarta numele de angrenaj cu roata plana. Datorita formei sale angrenajul conic poate fi introdus intr-o sfera (fig.3).

Fig.3

In planele siperpendiculare pe axele conurilor se disting doua cercuri cu centrele in si si de raze si numite cercuri de rostogolire iar punctul P punctul de rostogolire sau polul angrenarii. Conform figurii se poate scrie:

Raportul de transmitere

Vitezele periferice ale punctului de rostogolire P de pe cele doua roti fiind egale, raportul de transmitere va fi:

In cazul angrenajului zero si zero deplasat conurile de rostogolire coincid cu cele de divizare si prin urmare:

unde si sunt semiunghiurile conurilor de divizare. Intrucit , scriind si inlocuind in ( ) se obtine:

In mod similar se obtine:

Pentru angrenajul ortogonal () se obtine:

, respectiv

Profilul rotilor dintate conice

Fie angrenajul conic introdus intr-o sfera (fig.4)

Fig.4

Se disting cercurile mari pe sfera A-A pe care se afla centrele bazelor conurilor de rostogolire a rotilor O₁ respectiv O₂. Cercurile de baza corespunzatoare celor doua conuri de rostogolire(C_T1,C_T2) sunt tangente in polul angrenarii P. Se disting si conurile de baza C_b1,C_b2 la care este simultan tangent in punctele T₁ respectiv T₂ planul N-N descris de cercul mare de pe sfera C_N . Rostogolind fara alunecare planul N-N peste unul din conurile de baza, un punct al acestuia descrie pe sfera o evolventa sferica. Situatia se repeta si la raze mai mici astfel incit se poate determina o suprafata infasuratoarea acestor evolvente sferice care constituie flancul dintelui rotii conice.

Roata plana de referinta. Roata plana generatoare

Pentru a putea genera evolventa sferica cu ajutorul unei roti plane, prin analogie cu generarea evolventei plane cu profilul de re­ferinta, trebuie mai intii definita forma evolventei sferice cind una din roti, de exemplu roata 2, devine o roata plana. In acest caz, cercul de rostogolire C_r2 se confunda cu cercul C_Q, iar cercul de ba­za C_b2 (C^'_b2) devine paralel cu C_Q (fig.5). Prin P si O se duce planul auxiliar N^' perpendicular pe planul N, care determina pe sfera cercul C^'_N. Cercul C^'_N intersecteaza cercurile C_b2 si C^'_b2 in punctele A si A' .

Evolventa sferica pentru roata plana va fi descrisa de punctul P al arcului T₂ T₂' cind acesta se rostogoleste fara alunecare, ca in figura ( ), pe cercul C_b2 sau pe C^'_b2

Din triunghiul dreptunghic sferic APT₂, stiind ca ipotenuza AT₂ este mai mare decit cateta PT₂, se deduce ca la rostogolirea arcului PT₂ pe cercul C_b2, punctul P ajunge in B, astfel incit AT₂ >BT₂ . La fel pentru triunghiul PT^'₂A^' se poate deduce ca A^'T^'₂ > B^'T^'₂

Fig.5

Prin urmare, profilul BB^' al dintelui rotii plane se compune din doua arce de evolventa sferica avind curburi contrare, racordate in punctul P. Capul dintelui corespunde unei danturi interioare, iar pi­ciorul - unei danturi exterioare (fig5).

Materializarea flancului dintelui rotii plane cu profil de evolventa sferica prin muchii aschietoare, in vederea prelucrarii prin rulare a rotilor conice, este foarte dificila. Faptul acesta a determinat inlocuirea profilului de evolventa sferica a dintelui rotii pla ne printr-un profil rectiliniu, usor de realizat practic (fig.6.b) Inlocuirea de profil atrage dupa sine o transformare a liniei de angrenare. Linia de angrenare devine dintr-un cerc mare al sferei o curba numita lemniscata sferica asa cum se poate arata usor aplicind constructia lui Reuleux pentru determinarea liniei de angrenare ( figura 7)

Fig.6

Dantura rotilor se numeste octoidala, datorita formei de opt a liniei de angrenare.(fig.7)

Doua roti dintate cu dantura octoidala angreneaza corect din punct de vedere teoretic atit timp cit liniile lor de angrenare (cele doua lemniscate sferice) se suprapun perfect. Aceasta se intixpla da­ca conurile de divizare coincid cu conurile de rostogolire.

Fig.7

Prin urmare, aceste angrenaje sint sensibile la modificarea unghiului dintre axe. Din aceasta cauza angrenajele conice se realizeaza practic numai sub forma angrenajelor zero sau zero deplasate.

Studiul rotii plane eu modificarile aduse mai sus, prezinta inca dificultati din cauza suprafetei sferice pe care este trasat profi­lul, deoarece suprafata sferica nu se poate desfasura in plan.Tredgold a introdus o aproximatie,inlocuind suprafata sferica,pe care apare profilul dintilor rotii plane, cu un cilindru frontal (suplimentar) tangent la sfera dupa cercul CQ, deci cu aceeasi raza cu sfera (fig.19.8).Profilul rectiliniu al dintelui danturii octoidale a rotii plane este pe sfera un segment din cercul C^'_N care rezulta din intersectia sferei cu planul ce trece prin centrul sferei si este perpendicular pe planul cercului C_N. Din intersectia acestui plan cu cilindrul fron­tal rezulta o elipsa E_N' tot asa cum se obtine o elipsa E_N pentru cer­cul C_N.Desfasurind cilindrul frontal, elipsa E^'_N devine o sinusoida sl astfel profilul dintelui pe cilindrul frontal este un aegment dintr-o sinusoida.

Cum inaltimea dintelui in raport cu amplitudinea sinusoi­dei este mica se poate inlocui,in acest interval, cu o precizie sa­tisfacatoare, segmentul de sinusoida cu un segment de dreapta. La fel, in zona delimitata de inaltimea dintelui, lemniscata L si cercul C_N se suprapun in masura suficienta pentru ca, fara a face o eroare prea mare, sa se inlocuiasca in final curbele L si E de pe desfasurata ci­lindrului frontal cu un segment de dreapta. Astfel rezulta pe desfa­surata cilindrului frontal o cremaliera similara cremalierei angrena­jelor cilindrice.

Roata plana cu dantura octoidala avind aceeasi proprietate ca si cremaliera angrenajelor cilindrice (daca doua roti conice angreneaza separat cu o aceeasi roata plana, angreneaza si intre ele,putind forma deci un angrenaj) este folosita pen­tru definirea danturilor conice, sub forma rotii plane de referinta.

Fig.8

Elementele geometrice ale rotii plane de referinta sint precizate in STAS 6844-63. In figura 8 este redat profilul dintelui rotii plane de refe­rinta de pe cilindrul exterior desfasu­rat in plan, iar in figura 9 secti­unile axiala si transversala a rotilor plane de referinta cu dinti drepti ei cu dinti inclinati.

Prin analogie cu angrenajele cilindrice, linia profilului rotii plane de referinta pe care grosimea dintelui este egala cu largimea golului si fata de care se masoara inaltimea capului si piciorului

dintelui, ae numeste linie de referinta (fig.8).

Planul care contine linia de referinta si este perpendicular pe axa rotii plane con­stituie planul de referinta (fig.9)

Fig.9

Marimile normalizate ale rotii plane de referinta sint aceleasi ca si la cremaliera angrenajelor cilindrice. Roata plana fictiva care se potriveste in roata plana de refe rinta - capul dintelui uneia corespunzind piciorului dintelui celeilalte si invers - este roata plana generatoare.

Angrenajul echivalent.

Dificultatile studiului geometriei sl cinematicii angrenajelor conice pe o suprafata sferica au impus o metoda aproximativa de profilare a dintilor rotilor conice. Se observa ca suprafetele frontale ale dintilor situate intre cercurile de virf si de fund, formeaza pe sfera niste zone sferice .

Deoarece latimea acestor zone sferice este extrem de mica in comparatie cu raza RQ a sferei pe oare se gasesc, zonele sferice se pot inlocui, cu o precizie satisfacatoa­re, prin niste trunchiuri de con tangente la sfera in punctele apartinind cercurilor C_d1 si C_d2 (aproximatia lui Tredgold).

Daca cele doua conuri de divizare se reprezinta prin pro­iectiile lor pe plane­le care contin axele acestor conuri (triun­ghiurile OAP si OPB , figura 10), conuri­le pe suprafetele ca­rora se vor gasi su­prafetele frontale ale dintilor pot fi con­struite in modul urma­tor:

Fig.10

Se proiecteaza co­nurile de virf si de fund ale rotii l, rezultind triunghiurile bOb si respectiv aOa. In ca­zul profilarii exacte a dintilor suprafata frontala se proiecteaza pe planele considerate sub

forma unor arce de cerc ab, situate pe proiec­tiile sferei de raza RQ.

Deoarece conurile pe care trebuie sa se gaseasca suprafetele frontale aproximative ale dintilor trebuie sa fie tangente la sfera dupa cercurile de divizare, pentru determinarea proiectiilor acestor conuri, se duc din punctele A, P si B perpendiculare pe razele OA, OP si respectiv OB. La intersectia cu axele rotilor se obtin punctele 0_e si O_e care sint virfurile conurilor cautate. Proiectia conului ro­tii l este triunghiul APO_e , iar proiectia conului rotii 2, triun­ghiul BPO_e .

Sectiunile corespunzatoare partilor frontale ale danturii se proiecteaza prin segmentele a^' b^' care se gasesc pe laturile triunghiurilor construite. Este usor de observat ca cu cit raportul dintre raza sferei si modulul danturii este mai mare, cu atit eroarea ce se comite inlocuind forma sferica a suprafetei frontale a dintilor prin-tr-un trunchi de con va fi mai mica. Conurile cu virfurile in _e si O_e se numesc conuri frontale sau suplimentare. Constructia profilelor suprafetelor frontale ale dintilor se poate face acum cu aceleasi procedee ca si in cazul rotilor dintate cilindrice, deoarece conurile frontale se pot desfasura in plan.

Fig.11

Desfasurind aceste conuri si construind pe cercurile de raze 0_e P si O_e P profilele dintilor, in acelasi mod ca la rotile cilindrice, se obtine un angrenaj cilindric paralel, care este angrenajul echivalent al angrenajului conic (fig.11).

Angrenajul echivalent are dantura dreapta sau inclinata, cores­punzator danturii angrenajului conic. Elementele angrenajului echiva­lent cu dantura inclinata ae numesc elemente frontale.

Intrucit la o roata dintata conica marimea razei de divizare de­pinde de pozitia punctului P pe generatoarea de divizare, rezulta ca ae pot construi o infinitate de angrenaje echivalente (exterior, in­terior, mediu etc.). Dantura angrenajului echivalent are acelasi pas (modul) ca si angrenajul conic pe cercurile de divizare care sint ba­zele conurilor frontale desfasurate. Pentru a evita eventualele con­fuzii, se indica totdeauna modulul maxim m pentru angrenajul cu dan­tura dreapta - cel standardizat - sl modulul maxim frontal m^ pentru angrenajul cu dantura inclinata.

Cu precizarile de mai sus, se calculeaza elementele angrenajului echivalent, in baza relatiilor stabilite pentru angrenajele cilindri­ce. Altfel, din triunghiurile O₁PO_e si O₂PO_e (fig.19.3) rezulta ra­zele de divizare echivalente:

;

Exprimind razele de divizare Rd ale rotilor angrenajului conic in functie de modulul maxim si de numerele da dinti, razele de divi­zare echivalente devin:

  ;

Angrenajul echivalent avind acelasi modul ca si angrenajul conic se poate scrie:

;

unde z_e si z_e sint numerele de dinti ai rotilor dintate echivalente. Din relatiile ( ) si ( ) rezulta:

;

Raportul de transmitere al angrenajului echivalent este:

care in cazul angrenajului conic ortogonal devine:

Razele cercurilor de baza echivalente sunt:

;

pentru angrenajul conic cu dantura dreapta si

in cazul angrenajului conic cu dantura inclinata sau curba.

Distanta dintre axele angrenajului echivalent rezulta ca suma a razelor de divizare echivalente

Toate concluziile care au rezultat din studiul angrenajului cilindric se aplica si la angrenajul echivalent al angrenajului conic.

Angrenajul conic cu dantura dreapta

Calculul geometric al angrenajului conic cu dantura dreapta

Calculul geometric are drept scop determinarea marimilor geome­trice necesare pentru realizarea angrenajului, a unor marimi pentru verificarea dimensionala si a unor coeficienti de calitate ai angre­najului, cum sunt gradul de acoperire si ascutirea dintilor. Acest calcul se efectueaza pe baza marimilor normalizate ale rotii plane (m, a , f₀ si w₀ ), a parametrilor principali ai angrenajului ( d_A , z₁, z₂, x si x ) avind in vedere clasa de precizie a acestuia.

Calculul geometric al angrenajului se executa dupa ce, in pre­alabil, se face un calcul de rezistenta pentru determinarea modulului maxim. In paralel cu determinarea modulului, rezulta latimea danturii B si numerele de dinti z₁ si z₂, care permit alegerea deplasarilor specifice ale profilelor x si x In functie de clasa de precizie se stabilesc tolerantele angrenajului si se calculeaza marimile nece­sare controlului dimensional.

La alegerea rotii plane de referinta trebuie sa se tina sema de particularitatile masinii pe care se va realiza dantura. Se prefera unghiul de referinta a = 2o°. Sint insa si masini (Gleason) la care se poate folosi unghiul de angrenare a = 14°30'. Coeficientul de inaltime a capului dintelui se ia de obicei f₀ =1, iar coeficientul jocului la capul dintelui depinde de tipul masinii de danturat. De exemplu , w₀ = 0,188 pentru masinile Gleason si w₀ = 0,1236 in cazul masinilor Heidenreich - Harbeck, Bilgram si Reinecker.

Modificarea danturii conice.

Modificarea danturii angrenajului conic este impusa in general de aceleasi cauze ca si la angrenajul cilindric, cu exceptia realiza­rii unei distante dintre axe date.Datorita particularitatilor tehnologice a generarii danturii co­nice,( de regula cu scule independente pentru cele doua flancuri ale dintelui), la dantura conica se disting doua feluri de deplasari ale profilului: deplasare radiala si deplasare tangentiala.

Fig.12

1°. Deplasarea radiala a profilului. S-a aratat in capitolul pre­cedent ca profilul dintelui rotii conice de pe conul frontal (suplimentar) exterior desfasurat in plan este aproximativ identic cu profi­lul unei roti dintate cilindrice evolventice, care are raza de divizare egala cu lungimea generatoarei conului frontal (fig.7). De asemenea, profilul dintelui rotii plane pe cilindrul frontal exterior corespunde cremalierei de referinta a rotilor dintate cilindrice (fi­gura12).

Daca profilul dintelui rotii plane generatoare pe cilindrul fron­tal exterior este asezat in asa fel incit linia de referinta a profi­lului este cuprinsa in planul de divizare al rotii plane (fig.12 ), se genereaza o dantura conica zero.

In acest caz rezulta ca:

- inaltimea capului de divizare a dintelui si cea a piciorului dintelui sint respectiv egale cu cele de referinta:

;

-diametrul de virf al rotii este:

-iar diametrul de fund:

- arcul de divizare al dintelui (arcul dintelui) este egal cu arcul de divizare al golului (arcul golului) si egal cu jumatatea pa­sului de referinta:

Dantura conica cu profil deplasat ia nastere atunci cind linia de referinta a profilului rotii plane pe cilindrul frontal exterior este deplasata fata de planul de divizare. In cazul unei deplasari pozitive (fig.2o.2) rezulta :

inaltimea capului de divizare a dintelui

si inaltimea piciorului de divizare

diametrul de virf al rotii deplasate este

iar diametrul de fund

arcul dintelui s_d este diferit de arcul golului t_d si are va­loarea

Fig.13

Deplasarea tangentiala a profilului.

Aceasta deplasare con­sta in mutarea laterala a unuia din flancurile dintilor rotii plane generatoare. Astfel, prin deplasarea laterala a flancului intr-un sens (fig.12,a), dintele devine mai gros decit cel nedeplasat, iar prin deplasarea in sens contrar (fig.12,b), dintele devine mai subtire.

Fig.12

Ca doua roti conice sa poata angrena, fara modificarea unghiului dintre axe, este necesar ca deplasarea tangentiala pozitiva (care duce la ingrosarea dintelui) a unei roti conice sa fie riguros egala cu deplasarea tengentiala negativa (care duce la subtierea dintelui) a rotii conice conjugate. De obicei deplasarea tangentiala pozitiva se aplica rotii cu numar de dinti mai mic (pinionului).

Prin deplasarea tangentiala a profilului, se muta profilul din­telui, dar el ramine neschimbat ca forma, in timp ce la deplasarea radiala se foloseste o alta portiune a evolventei (respectiv a pro­filului octoidal). De aceea deplasarea tangentiala poate imbunatati numai rezistenta la incovoiere a dintilor dar nu schimba nimic in conditiile geometrice ale angrenajului (subtaiere, interferenta, grad de acoperire, ascutire etc.).

Deplasarea tangentiala a profilului se aplica si in cazul cind nu se face o deplasare radiala. De exemplu, folosind materiale di­ferite pentru pinion si roata, se pot realiza danturi de aceeasi re­zistenta la incovoiere.

Citeodata, se aplica simultan deplasarea radiala si tangentiala a profilului, realizindu-se o dantura imbunatatita din mai multe puncte de vedere. In cazul in care se aplica danturii atit o deplasare radiala cit si o deplasare tangentiala, arcul de divizare al dintelui devine:

unde prin t s-a notat deplasarea tangentiala specifica.

Modificarea danturii rotilor dintate conice poate fi realizata si prin modificarea unghiului de referinta al rotii plane.

Numarul de dinti ai pinionului

Stabilirea numarului de dinti ai pinionului se poate face dupa criteriul evitarii subtaierii. Numarul minim de dinti care asigura prelucrarea fara subtaiere a unei danturi zero se stabileste pe baza angrenajului echivalent, in func­tie de numarul de dinti echivalent. Conform teoriei angrenajelor cilindrice cu dantura exterioara dreapta, numarul minim de dinti care ce poate admite in cazul danturilor zero cu evitarea subtaierii este

Pentru unghiul de referinta a = 20° si f₀ = l se se obtine z_emin = 17. In practica se admite z_emin = 14, avind in vedere ca si la acest numar de dinti subtaierea inca nu este suparatoare.

Tinind seama de relatia ( ) rezulta numarul minim de dinti realizabil fara subtaiere la o dantura conica dreapta nedeplasata.

Fig.13

(teoretic) ; (practic)

In figura 13 este data variatia numarului minim de dinti in functie de semiunghiul conului de divizare d_d Curba AA' reprezinta cazul teoretic, iar curba BB^' cazul admis inca in practica. Deci, daca numarul de dinti z ales se afla pe linia AA^' sau deasupra acestei linii se poate realiza o dantura zero. Daca nu­marul de dinti z se afla sub li­nia BB', pinionul nu poate fi prelucrat ca pinion zero decit cu subtaiere, pentru evitarea careia trebuie sa se aplice profilului o deplasare pozitiva.

Deplasarea minima pentru evitarea subtaierii, conform teoriei angrenajelor cilindrice cu dantura exterioara dreapta este

(teoretic); (practic)

valoare ce poate fi determinata direct pe baza nomogramei (), in functie de z_e

Prin deplasarea pozitiva a profilului se micsoreaza arcul dinte­lui pe cercul de virf. Deplasarea specifica pozitiva a profilului pen­tru care arcul dintelui pe cercul de virf are o anumita valoare, re­zulta din nomograma din fig.13, in functie de numarul echivalent de dinti. In mod practic, arcul dintelui pe cercul de virf trebuie sa fie s_e > 0,25 m.Asa cum s-a aratat, angrenajele conice se realizeaza in general sub forma angrenajelor zero si zero deplasate. Conform teoriei angre­najelor cilindrice, pentru realizarea unui angrenaj conic zero depla­sat trebuie indeplinita conditia

care cu luarea in considerare a relatiilor (19.2o) devine:

sau

In cazul angrenajului ortogonal conditia devine

La alegerea numarului de dinti ai pinionului trebuie avute in vedere insa atit conditiile tehnologice cit si conditiile de rezis­tenta si de durabilitate a angrenajului. Pe baza experientei acumula­te firmele producatoare de masini de danturat au intocmit recomandari pentru alegerea numarului de dinti ai pinionului, cit si pentru de­plasarile specifice ale profilului.

Firma Gleason recomanda utilizarea valorilor din tabelul l pentru numarul de dinti ai pinionului, in cazul cind se utilizeaza sistemul de deplasari propus de fabrica, redat in tab. 3

G. Niemann recomanda sa se aleaga numarul minim de dinti ai pi­nionului conform tabelului 2, atit pentru dantura dreapta cit si pentru dantura curba

Tabelul 1

Numarul minim de dinti pentru dantura dreapta (dupa Gleason)

G. Niemann recomanda sa se aleaga numarul minim de dinti ai pi­nionului conform tabelului 2, atit pentru dantura dreapta cit si pentru dantura curba.

Tabelul 2

Numarul de dinti ai pinionului (dupa G. Nieman)

Sisteme de deplasari specifice.

In ceea ce priveste deplasa­rile specifice ale profilului, firma Gleason recomanda numai depla­sari radiale plus pentru pinion si deplasari minus de aceeasi valoare pentru roata, stabilite astfel incit rezistenta la incovoiere a din­telui rotii si pinionului aa aiba aceeasi valoare (tabelul.3).

Tabelul3

Deplasarile pentru , si dantura dreapta (dupa Gleason)

Particularitatile jocului la capul dintelui

Dupa felul jocului la capul dintelui angrenajele conice pot fi cu joc la capul dintelui variabil si cu joc la capul dintelui constant.

Jocul la capul dintelui variabil

In cazul angrenajelor cu joc variabil, conurile de divizare, conurile de virf si cele de fund ale ambelor roti au virful comun, in punctul O, de intersectie a axelor (fig.14) Dimensiunile dintilor nu sint aceleasi de-a lungul lor.

Fig.14

Spre virful conului scade atit inaltimea piciorului dintelui cit si inaltimea capului, in aceeasi proportie scazind si jocul la capul dintelui. Con­form figurii 14 rezulta :

unghiul capului de divizare al dintelui

,

unghiul piciorului de divizare al dintelui

,

Semiunghiurile conurilor de virf, care sunt necesare la strunjirea rotilor conice

,

semiunghiurile conurilor de fund, care sunt necesare la monta­rea rotilor pe masina de danturat

,

In figura 15 este reprezentata o roata dintata conica a unui angrenaj cu joc la capul dintelui variabil.

Fig.15

Distanta I_S este numita distanta de sprijinire. Relatia pentru calculul acestei marimi rezulta din figura 15:

in care distanta Ic se alege constructiv.

Se observa ca pozitia fiecarei roti fata de roata conjugata este determinata in doua directii (fig.15) radiala (sagetile 1) si axi­ala (sagetile 2). Deplasarile axiale si radiale duc la modificarea jo­cului la capul dintelui. Daca roata se deplaseaza axial spre punctul de inter­sectie al axelor sau radial in sensul sagetilor l', jocul se micso­reaza. Deplasarea fiind aceeasi pentru orice punct al rotii, micsora­rea jocului de-a lungul dintelui este constanta. Cum jocul initial

Fig.14

Fig.15

Fig.16