Bare de sectiune variabila

In anumite situatii (de exemplu cazul barele foarte lungi -intalnite la prajinele de foraj, sau cazul pilelor - reazemele intermediare ale podurilor) greutatea proprie a structurii are o pondere importanta in valorile fortei axiale. Utilizarea unei sectiuni constante in lungul barei ar fi neeficienta, deoarece dimensionarea ar trebui facuta in sectiune cea mai solicitata a barei, in celelalte sectiuni tensiunea ce apare scazand pe masura ce acestea sunt mai departate. La acestea ar trebui tinut cont ca, folosind o sectiune constanta, ar creste foarte mult ponderea greutatii proprii a structurii in valorile fortelor axiale. De aceea se prefera realizarea unor bare cu sectiune variabila. Eficienta realizarii unor astfel de grinzi se obtine atunci cand legea de variatie a sectiunii transversale este astfel aleasa incat in toate sectiunile transversale tensiunile normale s sunt egale. O asemenea bara se numeste bara de egala rezistenta la intindere. Trebuie specificat faptul ca o astfel de bara este realizabila doar atunci cand pe structura se poate defini o singura combinatie de incarcari. Existenta unor alte combinatii de incarcari n-ar permite realizarea unei grinzi de egala rezistenta.

Legea de variatie a sectiunii transversale se obtine punad conditia ca tensiunea din sectiu-nea situata la distanta x de punctul de aplicare al fortei concentrate P sa fie egala cu cea din sectiunea situata la distanta (fig.3.2) :

sau

Din al doilea set de relatii , prin scaderea din cea de-a doua egalitate a primei egalitati se obtine :

, sau inca : .

Aceasta ecuatie diferentiala are solutia :

, sau : .

C reprezinta o constanta de integrare care se determina din conditia ca la capatul inferior (x = 0) sectiunea sa aiba valoarea A₀ . Rezulta usor C = A₀ . Marimea lui A₀ poate fi obtinuta tinand

seama de forta P : (R fiind rezistenta materialului).

Deci legea de variatie a sectiunii transversale va fi : .

In practica este dificila realizarea unei bare cu o astfel de lege de variatie a sectiunii trans-versale , deoarece necesita o executie greoaie. Se aproximeaza forma riguroasa din punct de vedere analitic cu o bara cu sectiune variind in trepte , fiecare portiune avand sectiunea constanta (fig.3.3)

Tinand seama ca pentru fiecare tronson tensiunea maxima se produce la capatul superior , se va putea scrie succesiv :

.

Pentru tronsonul al doilea se are vedere faptul ca la baza sa actioneaza: ,

ceea ce implica : ;

,

sau , inlocuind valoarea lui P₂ :  .

Pe baza acelorasi rationamente se ajunge la formula :

, respectiv .

Daca toate tronsoanele au aceeasi lungime l , atunci se obtine :

, respectiv : .

Sistem static nedeterminat de bare concurente (fig.3.6).

Barele si sunt identice. Se cer eforturile in bare si coborarea pe verticala a nodului. Din motive de simetrie poate fi scrisa o singura ecuatie de echilibru :

Urmarind modul de deformare al structurii (fig.3.6) , se observa ca exista urmatoarea relatie intre alungirile barelor (avand in vedere ca deformatiile sunt foarte mici in raport cu lungimile barelor se va considera ca si dupa deformare unghiul dintre bare nu-si schimba valoarea si in plus se va inlocui arcul cu segmentul ) :

.

Ca si in aplicatiile anterioare se vor exprima alungirile barelor in functie de eforturile ce se dezvolta in bare :

Inlocuind acum in prima ecuatie expresia gasita , se obtin succesiv :

Efectul variatiei de temperatura in sisteme articulate static nedeterminate

In situatia incalzirii uniforme a structurii se produce o dilatare a acesteia. Alungirea specifica a barei se evalueaza cu ajutorul formulei :

(3.8)

unde: a = coeficient de dilatare termica al materialului ,

Dt = variatia in grade Celsius a temperaturii).

Atata timp cat dilatarea barei nu este impiedicata (cazul structurilor static determinate) nu apar eforturi in structura. Se observa (3.8) ca alungirea barei, ca urmare a unei variatii de temperatura, nu depinde de forma sau aria sectiunii sale transversale.

In cazul sistemelor static nedeterminate

apar in mod inevitabil eforturi suplimentare datorita dilatarilor diferite ale elementelor sistemului , sau datorita impiedicarii deformatiei , ca urmare a legaturilor dintre elemente. Se va analiza sistemul din fig.3.7.1, neincarcarcat . In plus se va considera ca toate barele sunt din acelasi material , barele inclinate avand aria , iar cea verticala aria (fig.3.7.1). Sistemului i se va aplica o crestere a temperaturii , fata de temperatura de montaj. Folosind rezultatele obtinute la paragraful anterior se vor scrie direct ecuatiile ce permit determinarea eforturilor ce se dezvolta in bare :

(3.9)

Interpretarea sistemului de mai sus este urmatoarea: toate cele trei bare se vor dilata, dar, deoarece valorile dilatarilor sunt diferite si barele sunt conectate intre ele, dilatarile nu se vor consuma integral in cazul unor bare, respectiv vor fi mai mari in cazul altora.

Pentru a exemplifica cele spuse se vor considera sistemele static determinate din fig. 3.7.2a,b. Alungirile barelor inclinate/a barei verticale vor fi:

In urma variatiei de temperatura alungirile barelor inclinate sunt mai mari decat cea a barei drepte, astfel ca pentru a nu apare eforturi in bare, cea de-a doua relatie a sistemului de ecuatii va trebui sa satisfaca relatia :

,

or o astfel de solutie implica faptul ca cele trei bare sa fie coliniare, sa aibe deci aceeasi lungime initiala sistemul devenind static determinat.

Deoarece cele trei bare lucreaza impreuna, eforturile ce se vor dezvolta in bare vor conduce la sistemul deformat din fig.3.7.1, pentru care valorile alungirilor vor fi date de relatiile:

, respectiv . (3.10)

Rezolvarea sistemului (3.9), tinand cont de (3.10), conduce la urmatoarele rezultate:

Se observa ca barele inclinate nu-si consuma in totalitate alungirea, astfel ca in ele se dezvolta eforturi de compresiune, in timp ce bara verticala este intinsa suplimentar, dezvoltand efort de intindere.

Efectul inexactitatii de executie si montaj in sistemele articulate static nedeterminate (fig.3.8).

La executarea elementelor de constructie sunt posibile mici abateri de la dimensiunile stabilite in proiect. In astfel de bare , cu erori de executie , montate intr-un sistem static nedeter-minat induc eforturi initiale. Se va analiza aparitia unor astfel de eforturi pentru sistemul de bare din figura 20 , pentru care se va presupune ca bara OB este mai lunga cu cantitatea l decat lungimea l₁ initiala. In aceasta situatie este necesara aplicarea unei forte exterioare care va produce scurtarea barei cu cantitatea l. Dupa montaj , inlaturand forta care a comprimat bara OB , bara va tinde sa revina la lungimea initiala , dar va fi impiedicata partial de barele inclinate. Conform   fig.3.8. se va

putea scrie :

si tinand cont de expresiile alungirilor in functie de eforturi :

si ,

ceea ce va conduce la sistemul :

cu solutiile: 

Bare cu sectiuni neomogene solicitate axial

Frecvent se intalnesc in practica bare alcatuite din doua sau mai multe materiale cu caracte-ristici elastice diferite. Experimental se constata ca , in domeniul de comportare elastica al acestor bare , ramane valabila ipoteza sectiunilor plane , aceasta servind la scrierea ecuatiilor de compatibi-litate a deformatiilor.

Un astfel de exemplu este stalpul de beton armat supus unei forte de compresiune (fig.3.9).

Forta de compresiune P va fi preluata de masa de beton si de armatura. Pentru a afla cat revine fiecarui material in parte se porneste de la observatia ca scurtarea barei este aceeasi atat pentru beton cat si pentru otel :

.

Acestei relatii i se adauga ecuatia de echilibru :

.

Folosind proprietatile rapoartelor, se ajunge la :

,

rezultand solutiile:

unde s-au notat :

- coeficientul de armare; - coeficientul de echivalenta