Analiza cinematica prin metode analitice

Metodele analitice sunt laborioase dar foarte precise. In cazul utilizarii calculatoarelor, aceste metode sunt recomandate. Exista mai multe metode: a contururilor independente, matriciala, etc. Se va expune metoda contururilor.

1. Principiile metodei.

Metoda consta in scrierea unor ecuatii de pozitii si apoi in derivarea lor in raport cu timpul, pentru optinerea etc.

Elementele mecanismului plan, inclusiv baza, formeaza - pe schema cinematica - unul sau mai multe poligoane plane (cu varfurile in cuplele R si/sau T) deformabile, ce se vor numi contururi.

Ecuatiile de pozitii pentru toate contururile independente ale unui mecanism formeaza un sistem compatibil determinat.

Exemplu de contur

AB l

BC l

l

CD l

DE l

EF l

FG l

GA l

Fig. 48.

Se observa ca j j a

Ecuatiile proiectiilor pe axe: .

Necunoscutele in raport cu timpul sunt de tip j si/sau l.

Dupa substitutiile si cu se observa ca sistemul ecuatiilor de pozitii este neliniar.

Pentru v si a unghiulare relative, se utilizeaza relatiile lui Euler:

Rezolvarea directa a sistemelor neliniare este anevoioasa, chiar in cazul mecanismelor simple. Cu metode iterative sau cu softuri specializate rezolvarile se simplifica foarte mult, desi este necesar un volum foarte mare de calcul. Cu ajutorul calculatorului, acest lucru nu mai este un impediment.

Un contur poate fi rezolvat independent daca contine numai 2 parametrii de pozitie (j si/sau l) de tip scalar necunoscuti.

La un mecanism complex ce contine N contururi independente, printre care si contururi cu mai mult de 2 parametrii de tip scalar necunoscuti, problema globala revine la a rezolva un sistem de 2N ecuatii ce contin 2N necunoscute de tip scalar.

Pentru usurinta calculului se rezolva mai intai cele P conture cu cate 2 necunoscute scalare fiecare si apoi se formeaza un sistem de 2(N-P) ecuatii cu tot atatea necunoscute.

Se observa ca rezolvarea conturelor - problema pozitiilor - este echivalenta cu problema determinarii traiectoriilor.

Pentru obtinerea mai usoara a v si a, nu se deriveaza solutiile sistemului de ecuatii de pozitii, ci se deriveaza mai intai sistemul de ecuatii de pozitii, noul sistem rezolvandu-se mai apoi.

2. Analiza cinematica cu metoda analitica a mecanismului patrulater.

Contine diada RRR.

Inainte de rezolvare trebuie analizata - functie de dimensiunile mecanismului - posibilitatea sau imposibilitatea rotirii complete a elementelor articulate la baza. Ele sunt denumite manivela in cazul rotirii complete si balansier in cazul rotirii partiale (oscilatiei). Elementul cu miscare plana, deci cel nearticulat la baza, este denumit (la toate mecanismele plane) biela.

Aceasta problema se numeste conditiile de existenta ale manivelei si a fost rezolvata de Grashoff. El a demonstrat ca existenta manivelei este implicata de relatia

.

Fig. 49.

OA = l₁; AB = l₂; BC = l₃; CO = l₄.

Exista urmatoarele mecanisme:

manivela-balansier: l_max+l_min p cu l_min = l₁;

dublu manivela: l_max+l_min p cu l_min = l₄;

dublu balansier: l_max+l_min p cu l_min = l₂;

dublu balansier: l_max+l_min > p cu l_min = indiferent.

T

Fig. 50.

Ecuatia implicita de gradul 6 a curbei de biela descrisa de punctul T: U² + V² = W² cu

Prin derivarea sistemului ecuatiilor de pozitii, se obtine succesiv sistemul ecuatiilor de viteze, acceleratii, etc.

3. Analiza cinematica cu metoda analitica a mecanismului

biela-manivela sau manivela-piston (diada RRT- TRR).

Se noteaza cu e - excentricitatea.

Daca e T mecanism biela manivela excentric.

Daca e = 0 T mecanism biela manivela centric.

Fig. 51.

Notatii:

Se dezvolta s cu formula binomului generalizata:

Caz particular: e = 0 T k = 0 inlocuirea puterilor sistemului in functie de cosinusul arcelor multiple T

cu:

4. Analiza cinematica cu metoda analitica a mecanismului

ce contine diada RTR.

Fig. 52.

5. Analiza cinematica cu metoda analitica a mecanismului

ce contine diada TRT.

Fig. 53.

6. Analiza cinematica cu metoda analitica a mecanismului

ce contine diada RTT-TTR.

Fig. 54.