Centru de inertie(mecanica) – Centre de masa

Centru de inertie(mecanica) – Centre de masa

(S) (S’)

O

O

Fie N puncte materiale de masa m_i in miscare fata de sistemul (S’) in viteza si fata de (S) cu viteza .

Deoarece intre si exista relatia:

sau . (1)

intre viteze exista relatia:

(2)

unde se numeste viteza de transport (a sistemului S’ fata de S)

Din punct de vedere dinamic fiecare punct material are impulsul fata de S’ si fata de S.

Impulsul total al sistemului este:

(3)

(4)

Inlocuind (2) in (4), rezulta:

. (5)

cu masa totala a sistemului.

Exista intotdeauna un sistem S’ astfel incat sa fie nul () si deci un punct in raport cu care . In acest caz, cu (5) se obtine:

, (6a)

dar, cu (4),

. (6b)

Inlocuind si cu relatiile de definitie ale lor, se obtine:

(7a)

Sau daca nu sunt coordonate in timp,

(7b)

Relatia (7b) se interpreteaza astfel: viteza unui sistem de puncte materiale, ca intreg, este viteza de deplasare in spatiu a unui punct al carui vector este dat de relattia (7b).

Acest punct se numeste centru de inertie mecanica (centru de masa).

Impulsul sistemului in raport cu acest punct este nul .

Energia cinetica in raport cu S si S’. Energia interna a sistemului.

in S este (8)

in S este (9)

Intre aceste energii exista relatia:

; (10)

cu

adica energia cinetica nu se sumeaza (, desi vitezele, se sumeaza vectorial)

In raport cu sistemul de referinta pentru care , rezulta:

(11)

si este energia interna a sistemului (Este energia sistemuluiin raport cu sistemul legat de centrul de inertie mecanica (centru de masa)

Aplicatie Sa se arate ca momentul fortelor de greutate in raport cu centru de masa este nul. Sistemul de puncte materiale este intr-un camp gravitational exterior si uniform.

2

O

Fie doua puncte materiale m₁ si m₂ aflate in pozitiile date de vectorii de pozitie si fata de reperul laboratorului (fix)

Functia Lagrange a sistemului format este:

. (1)

Daca (2)

(3a)

adica O este centru de masa (inertie) atunci          

(3b)

Din (2) si (3b), rezulta

si , (4)

si                     si (5)

Inlocuind (2) si (5) in (1), rezulta:

(6)

Rezulta ca miscarea a doua puncte materiale care interactioneaza prin campuri conservative este echivalenta cu miscarea unui punct material de masa , numita masa redusa, in campul exterior si conservativ de energie .

Miscarea in camp central (Formalismul Moulton)

Camp centrral: camp in care

(1)

sau      (2)

oricare forta este paralela ci dorectia vector si deci momentul fortelor si daca

(3)

Functia Hamilton a sistemului este:

(4a)

(4b)

cu si cu masa redusa (5)

Ecuatiile Hamilton sunt:

, (6a)

, (6b)

, (6c)

- (6d)

Inlocuind (4b) in (6a), rezulta:

sau (7)

Din (5) si (7), rezulta:

(8)

Deoarece, in mecanica clasica , rezulta:

(9a)

sau (9b)

sau                  (Legea a doua a lui Kepleer) (9c)

cu viteza areolara(AREOLARA = viteza cu care vectorul matura aria)

Inlocuind (4b) in (6c), rezulta:

(10)

care este o ecuatie diferentiala de ordinul doi.

Pentru a afla r(t) ne folosim de legea conservarii energiei

(11)

(12)

Din (11) si (12), rezulta:

(13a)