DINAMICA FLUIDELOR VASCOASE

DINAMICA FLUIDELOR VASCOASE

Dinamica fluidelor vascoase este capitolul Mecanicii fluidelor care studiaza legile miscarii laminare si turbulente a fluidelor reale.

1. Aspecte generale

Modelul fluidului perfect, studiat in capitolul 5, este aplicabil in anumite zone ale miscarii fluidelor cu vascozitate relativ mica, cum sunt, in natura, apa si aerul.

In functie de importanta efectelor vascozitatii, miscarile fluidelor reale pot fi clasificate in externe si interne. Miscarile externe sunt cele care au loc in jurul corpurilor (rachete, avioane, nave maritime etc.), in conditiile in care alte frontiere (cum ar fi suprafata pamantului) se afla la distante mari fata de corpurile respective. Miscarile interne sunt miscarile fluidelor care se desfasoara in domenii cu frontierele inchise (conducte, ajutaje, canale etc.). In cazul fluidelor cu vascozitate foarte mica, efectul vascozitatii se face simtit doar in vecinatatea frontierelor domeniului miscarii, unde valorile gradientilor de viteza sunt mari. Aceasta zona a miscarii vascoase se numeste strat limita. In general, miscarile externe pot fi tratate ca miscari fara frecare in intregul lor domeniu, cu exceptia stratului limita.

In cadrul miscarilor interne, de regula, stratul limita se extinde in intregul domeniu ocupat de fluid, iar miscarea este in intregime vascoasa. In tuburile capilare, miscarea este integral vascoasa chiar si atunci cand fluidul are vascozitate foarte mica, iar tuburile sunt foarte scurte.

Miscarea vascoasa poate fi laminara sau turbulenta, dupa cum straturile de fluid aluneca unele peste altele sau alunecarea lor este impiedicata de prezenta unor componente pulsatorii ale vitezei, dezvoltate in toate directiile spatiului ocupat de fluid.

Distinctia dintre regimul laminar si cel turbulent a fost facuta, pentru prima data, de catre Osborne Reynolds, in anul 1883. El a demonstrat experimental ca, la viteze suficient de mici, fluidul curge laminar si fara curenti turbionari, in timp ce la viteze mai mari apar curentii turbionari si miscarea capata, la scara microscopica, un caracter aleator. Reynolds a aratat, de asemenea, ca trecerea de la miscarea laminara la miscarea turbulenta este caracterizata cantitativ prin marimea adimensionala

(1)

unde l este o lungime ce caracterizeaza frontiera domeniului miscarii. Acest criteriu de similitudine restransa a fost numit ulterior numarul Reynolds.

Pe cale experimentala s-a stabilit ca, in cazul conductelor, miscarea este laminara daca Re 2.300, tranzitorie in domeniul 2.300 < Re 3.000 si turbulenta pentru Re > 3.000.

2. Miscarea laminara

In cadrul miscarii laminare nu exista componente ale vitezei (in afara de cele ale miscarii moleculare browniene) care sa fie normale la directia miscarii. Aceasta caracteristica este consecinta faptului ca vascozitatea este constanta. In conditii neizoterme, variatia vascozitatii dupa normala la directia miscarii conduce la aparitia componentelor transversale ale vitezei care, insa, au valori mici si, ca urmare, nu afecteaza substantial caracterul laminar al miscarii. De asemenea, in cazul fluidelor nenewtoniene apar componente transversale ale vitezei din cauza variatiei consistentei fluidului pe normala la directia vitezei, fara a determina insa convertirea miscarii laminare intr-una turbulenta.

Ecuatiile microscopice ale miscarii laminare se obtin la fel ca cele aferente miscarii unui fluid perfect, prin inlocuirea fortelor de presiune cu tensiunile ale caror componente sunt determinate de prezenta vascozitatii.

2.1. Ecuatiile Navier-Stokes

Din domeniul unui fluid vascos aflat in miscare laminara se detaseaza un volum de control de forma paralelipipedica, cu dimensiunile infinitezimale dx, dy, dz, ca in figurile 3.5 si 5.1. De aceasta data insa, fortele superficiale, care exprima actiunea restului masei de fluid asupra fluidului din domeniul de control, notate cu , , , , , , vor avea atat componente normale cat si componente tangentiale, iar componentele normale pot fi rezultante atat ale fortelor de compresiune cat si ale fortelor de intindere, deoarece fluidul vascos este capabil sa preia si eforturi de intindere.

In aceste conditii, legea a doua a mecanicii, aplicata sistemului de forte care actioneaza asupra paralelipipedului considerat, se exprima astfel

(2)

Daca se noteaza cu t_ij (i = x, y, z; j = x, y, z) componentele tensorului tensiune in punctul P (figura 1), unde primul indice corespunde axei carteziene cu care normala la fata respectiva a paralelipipedului este paralela, iar cel de-al doilea indice semnifica axa cu care componenta respectiva este paralela, se pot scrie expresiile fortelor superficiale astfel

(3)

Introducand in relatia (2) expresiile (3.13), (5.1) si (3), apoi efectuand reducerile si simplificarile corespunzatoare, se obtine egalitatea

(4)

care reprezinta ecuatia microscopica a impulsului pentru miscarea laminara a fluidelor vascoase si este echivalenta cu urmatoarele ecuatii scalare:

(5)

obtinute prin proiectarea ecuatiei (4) pe axele carteziene si rearanjarea termenilor, odata cu folosirea variabilelor lui Euler in cadrul expresiilor derivatei substantiale a vitezei.

Componentele tensorului tensiune care au cei doi indici identici corespund tensiunilor normale si pot fi exprimate sub forma

t_xx s_x - p , t_yy s_y - p , t_zz s_z - p , (6)

unde s este efortul unitar normal de intindere, iar p este presiunea si reprezinta efortul unitar normal de compresiune, pentru care s-a adoptat semnul minus in comparatie cu sensul lui s

Celelalte componente ale tensiunii (pentru care cei doi indici sunt diferiti) reprezinta eforturile unitare tangentiale.

Eforturile unitare normale de intindere si eforturile unitare tangentiale sunt legate de componentele gradientului de viteza prin intermediul legii lui Stokes pentru vascozitate, care, in cazul miscarii laminare unidimensionale vascoase, se reduce la legea Iui Newton, exprimata prin relatia (2.33).

Conform legii lui Stokes, intre tensiuni si deformatii exista relatiile

(7)

unde m este coeficientul de vascozitate dinamica, iar

(8)

se numeste al doilea coeficient de vascozitate.

Introducand expresiile (6), (7) si (8) in relatiile (5) se obtin ecuatiile microscopice ale miscarii laminare a fluidelor compresibile vascoase sub forma

(9)

in care D este operatorul lui Laplace.

In cazul miscarii laminare a fluidelor vascoase incompresibile si, ca urmare, ecuatiile (9) se reduc la

(10)

si poarta numele de ecuatiile Navier - Stokes.

2.2. Miscarea laminara intr-un tub de sectiune circulara

Se considera miscarea stationara laminara a unui lichid vascos incompresibil intr-un tub orizontal avand diametrul d si lungimea l.

Alegand sistemul de axe carteziene ca in figura 2 rezulta v_x = v, v_y = v_z = 0, X = Y = 0, Z = -g (in campul gravitational terestru), = 0 (pentru miscarea stationara), iar ecuatia de continuitate (4.26) se reduce la = 0. In aceste conditii ecuatiile (10) se particularizeaza astfel

(11)

A doua ecuatie (11) arata ca presiunea nu depinde de y, iar din prima si a treia ecuatie rezulta ca

p = -r g z + f(x) + c₁  . (12)

In prima ecuatie (11) membrul stang are variabilele independente y si z iar membrul drept variaza in raport cu x, ceea ce este posibil doar daca ecuatia este egala cu o constanta, adica

(13)

(14)

Din relatia (12) rezulta ca

iar ecuatia (14) devine

si are solutie

(15)

care, substituita in egalitatea (12), duce la

(16)

unde c c c

Inlocuind conditiile la limite

(17)

unde p₁, p₂ sunt valorile presiunii la capetele tubului, in ecuatia (16), se obtin expresiile constantelor de integrare care aduc legea variatiei presiunii la forma

(18)

sau, avand in vedere ca termenul r g z este neglijabil,

(19)

Ecuatia (8.19) arata ca presiunea lichidului din conducta scade liniar cu distanta x.

Daca se trece de la coordonatele carteziene y, z la coordonatele polare r, q, ecuatia de tip Poisson (13) se reduce la o ecuatie diferentiala cu variabile separabile.

Folosind relatiile

(20)

se poate scrie

(21)

unde s-a tinut seama ca

(22)

iar v = v(r) (viteza nu depinde decat de variabila r).

Derivand relatiile (21) in raport cu y, respectiv z si utilizand expresiile (22) se obtin formulele

(23)

care insumate dau relatia

(24)

Apeland la relatiile (16) si (18) rezulta expresia

(25)

care, impreuna cu relatia (24), transforma ecuatia (13) sub forma

(26)

prin a carei integrare succesiva se obtine solutia

(27)

Punand acestei solutii conditiile:

v finit la r = 0 ,

v = 0 la r = d/2 ,

rezulta expresiile constantelor de integrare

si, in final, legea de variatie a vitezei lichidului se exprima prin ecuatia

(28)

al carei grafic este un paraboloid cu inaltimea egala cu viteza maxima

(29)

Pentru un element de suprafata inelar, cuprins intre razele r si r + dr, avand aria dA = 2prdr, viteza poate fi admisa constanta si, ca urmare, debitul de lichid care traverseaza aceasta suprafata elementara se exprima prin ecuatia diferentiala

(30)

care, dupa inlocuirea vitezei data de relatia (28) si integrare pe suprafata cercului de diametru d, duce pentru debitul tubului la relatia

(31)

Legea proportionalitatii dintre debit si gradientul de presiune (p₁ - p₂)/l, exprimata de ecuatia (31), este cunoscuta sub numele de legea Hagen-Poiseuille si este formulata in functie de viteza medie v_m = 4Q/(pd ) astfel

(32)

Compararea relatiilor (29) si (32) duce la concluzia ca v_max = 2v_m. Tensorul tensiune are o singura componenta tangentiala care, conform relatiilor (2.33) si (28), este data de formula

(33)

ce arata ca efortul unitar tangential t variaza liniar de la valoarea zero in axa tubului la valoarea

(34)

pe peretele interior al tubului.

3. Miscarea turbulenta

Miscarea turbulenta se caracterizeaza prin prezenta unor componente fluctuante ale vitezei, orientate in toate directiile spatiului, si este conceputa ca fiind rezultatul suprapunerii unei miscari pulsatorii la nivelul macroparticulelor peste miscarea principala. Pulsatiile macroparticulelor sunt generate de neregularitatile peretilor; ele apar si la miscarea laminara, dar sunt amortizate de vascozitatea fluidului.

La miscarea turbulenta intr-o conducta de sectiune constanta, valorile medii temporale ale componentelor vitezei normale la directia miscarii sunt nule. Incepand de la o anumita distanta de peretele conductei, turbulenta se manifesta la fel pe toate directiile (izotrop), in timp ce langa perete se constata o anizotropie a fluctuatiilor vitezei, reflectata prin scaderea mai accentuata a componentelor vitezei fluctuante normale la perete, fata de cele paralele cu peretele.

Complicatiile deosebite asociate miscarii turbulente sunt legate in special de formularea si rezolvarea ecuatiilor fundamentale ale acesteia. Desi in literatura de specialitate se fac referiri la inaplicabilitatea ecuatiilor Navier-Stokes la miscarea turbulenta, consideratiile teoretice confirma aplicabilitatea acestora, atat in cazul miscarii laminare, cat si in cazul miscarii turbulente. Solutionarea acestor ecuatii pentru miscarea turbulenta depinde de detaliile de moment privind datele initiale si la limite, detalii care, in practica, nu sunt niciodata cunoscute. Ca urmare, pentru descrierea datelor initiale si la limite, precum si a campului de viteze rezultat s-au folosit metode statistice.

Toate teoriile statistice ale turbulentei au ca obiectiv determinarea functiilor de distributie a probabilitatii care ar conduce la probabilitatea aparitiei anumitor combinatii de viteze in punctele domeniului miscarii la orice timp. Abordarea statistica este adecvata intelegerii complete a turbulentei, dar aplicarea practica a teoriilor statistice in cazul problemelor ingineresti este foarte dificila si, de aceea, in practica se foloseste cu succes o teorie cu suport fizic, bazata pe conceptul lungimii de amestec.

Extinderea ecuatiilor Navier-Stokes la miscarea turbulenta se bazeaza pe exprimarea vitezei si presiunii ca suma componentelor acestora din miscarea fundamentala si din miscarea pulsatorie

(35)

(36)

unde si sunt componentele vitezei, respectiv presiunii in miscarea fundamentala, iar , p' sunt componentele acelorasi marimi in miscarea pulsatorie. Marimile si sunt valori medii temporale intr-un punct, definite sub forma

(37)

unde durata de mediere t_m trebuie sa fie suficient de mare pentru a asigura invariabilitatea in timp a valorilor medii si . Conform relatiilor (35).(37), valorile medii temporale si sunt nule.

Tinand seama de egalitatea

valabila in asociere cu ecuatia de continuitate (4.29) scrisa, pentru un fluid incompresibil, sub forma

(38)

prima ecuatie (10) poate fi scrisa astfel

(39)

Folosind urmatoarele valori medii temporale

(40)

(41)

din relatia (39) se obtine, prin procesul de mediere temporala, ecuatia

(42)

care, spre deosebire de relatia (39) transformata prin inlocuirea valorilor instantanee cu valorile medii temporale, contine in plus ultimii termeni, definiti pe baza componentelor fluctuante ale vitezei. Ecuatia (42), impreuna cu relatiile similare ce pot fi obtinute pentru directiile y si z, formeaza ecuatiile fundamentale ale miscarii turbulente.

Termenii , (i = x, y, z; j = x, y, z) se numesc tensiunile lui Reynolds si au semnificatia fizica a transferului de impuls de la miscarea pulsatorie la miscarea fundamentala.

Inlocuind expresiile (35) in ecuatia (38) si aplicand procesul de mediere temporala a termenilor acestei ecuatii, se obtine ecuatia de continuitate a miscarii turbulente a fluidelor incompresibile sub forma

(43)

Comparand ecuatiile miscarii turbulente, reprezentate prin relatia (42), cu ecuatiile (5) aferente miscarii laminare, se obtin expresiile

(44)

(45)

ceea ce arata ca, in cazul miscarii turbulente, tensiunile de forfecare au o componenta vascoasa si una turbulenta. Tensiunile vascoase sunt predominante in vecinatatea peretilor, in zona numita substrat laminar, iar componentele datorate miscarii pulsatorii sunt preponderente in restul masei fluidului.

Ecuatia (42) se exprima in termeni de tensiune in membrul drept astfel

(46)

Rezolvarea ecuatiilor miscarii turbulente prezentate mai sus este imposibila, chiar in principiu, fara a dispune de informatii suplimentare. Astfel, in cazul miscarii turbulente tridimensionale, nu este posibil ca, din patru ecuatii (trei de miscare si una de continuitate), sa se determine sapte necunoscute (), fara a se utiliza date experimentale care sa lege tensiunile lui Reynolds de componentele vitezei medii temporale ale miscarii fundamentale.

Una din cele mai simple metode de exprimare a tensiunilor lui Reynolds se bazeaza pe transferul de impuls si a fost preconizata in anul 1925 de catre Prandtl, fiind cunoscuta de atunci sub numele de teoria lungimii de amestec.

In mod obisnuit, aceasta teorie se aplica turbulentei bidimensionale dintr-o miscare medie unidimensionala si se bazeaza pe presupunerea ca o particula de fluid care se deplaseaza (pe directie transversala miscarii predominante) din punctul de ordonata y₁ in punctul definit prin y₂ transporta valoarea medie pe directia x a impulsului apartinand particulelor situate la nivelul y₁. In acest rationament s-a considerat frontiera plana, axa Oy normala la frontiera, iar axa Ox continuta in frontiera plana si avand directia si sensul miscarii.

Excesul instantaneu de impuls mediu pe directia x in punctul de ordonata y₂ se poate exprima sub forma

(47)

care, dupa multiplicare cu si mediere temporala, duce la expresia

corespunzatoare uneia din componentele tensiunilor lui Reynolds.

Admitand ca intre si exista o corelatie completa, se poate scrie

(48)

si, in baza relatiei (47), adusa prin ridicare la patrat, impartire cu r si mediere temporala la forma

(49)

se obtine relatia

(50)

care, introdusa in ecuatia (45), duce la formula

(51)

unde l este lungimea de amestec a lui Prandtl, definita astfel

(52)

Deoarece semnul lui depinde de semnul derivatei , relatia (51) se foloseste sub forma

(53)

unde are dimensiunile vascozitatii cinematice si se numeste deseori vascozitatea cinematica turbulenta.

Pentru evaluarea tensiunii turbulente este necesara cunoasterea lungimii de amestec. Cel mai simplu procedeu de determinare a acestei lungimi are la baza presupunerea ca l este proportionala cu distanta de la perete, adica

l = c y , (54)

unde c este o constanta universala care are valoarea aproximativ egala cu 0,4. In literatura de specialitate au fost prezentate si alte relatii empirice (von Kármán - 1930, Van Driest - 1956, Gill si Scher - 1961), care se bazeaza pe legarea lungimii l de factori geometrici, de viteza sau de gradientul de viteza specifici miscarii. Toate aceste relatii au fost umbrite de succesul pe care I-a avut relatia (54).

Cu ajutorul relatiilor (53) si (54) se poate integra, in principiu, ecuatia (46), pentru a se obtine profilul vitezei medii temporale si energia disipata in cadrul miscarii turbulente.

4. Ecuatia energiei

Spre deosebire de paragraful 5.4, unde s-a prezentat ecuatia energiei ca forma de exprimare matematica a principiului conservarii energiei mecanice aplicat unui fluid perfect in miscare, in acest paragraf se va tine seama ca, fluidul fiind vascos, o parte din energia mecanica se transforma in caldura, iar caldura se propaga in mediul inconjurator, conform legilor termodinamicii, si constituie energia disipata sau pierderea de energie a fluidului.

Prima lege a termodinamicii are la baza experienta macroscopica si arata ca energia se conserva, in conditiile luarii in considerare a energiei care intra, care iese si care se acumuleaza intr-un sistem sau volum de control. Din acest punct de vedere, este avantajos ca energia sa fie clasificata in energie inmagazinata si energie de tranzit. Energia asociata cu masa considerata constituie energia inmagazinata, iar energia care trece de la un sistem la altul se numeste energie de tranzit. Energia inmagazinata intr-un element de masa poate fi formata din: energia asociata cu miscarea masei (energie cinetica), energie asociata cu pozitia masei in campul extern (energie potentiala) si energie moleculara si atomica asociata cu campul intern al masei (energie interna). Energia de tranzit poate fi formata din caldura si din lucru mecanic. Caldura este energia care trece de la o masa la alta cand intre cele doua mase exista o diferenta de temperatura.

Energia inmagazinata este o functie de punct si, ca urmare, toate schimbarile de energie inmagazinata in timpul unui proces depind de valorile acesteia in punctele initial si final. Energia de tranzit este o functie de drum si, in consecinta, variatia sa depinde atat de punctele extreme, cat si de drumul parcurs intre aceste doua puncte.

Aplicand prima lege a termodinamicii unui tub de curent prin care se misca stationar un fluid vascos incompresibil, care nu produce lucru mecanic, se obtine relatia

(55)

unde u este energia interna, iar dQ/dm - cantitatea de caldura transferata in mediul inconjurator pe unitatea de masa. Deoarece, in practica transportului fluidelor prin conducte, cresterea energiei interne duce la cresterea energiei cedate mediului exterior, membrul drept al ecuatiei (55) se numeste pierdere de energie mecanica sau energie disipata si se exprima ca inaltime coloana de fluid sub forma

(56)

Daca fluidul este perfect, h_d = 0 si ecuatia (55) se reduce la forma (5.26) a ecuatiei lui Bernoulli. In cazul in care conducta prezinta, spre exemplu, o variatie brusca de sectiune, apare o pierdere locala de energie, definita prin relatia (5.43), iar h_d se poate scrie sub forma

(57)

unde h_L este pierderea longitudinala de energie, iar h_l - pierderea locala.

Tinand seama de formula (56), relatia (55) poate fi scrisa sub forma

(58)

si reprezinta ecuatia lui Bernoulli pentru un tub de curent de fluid vascos.

Ecuatia (58), ca si relatia (5.25), se preteaza la o interpretare geometrica, in cadrul careia se pune in evidenta o noua linie caracteristica fata de cele definite in contextul ecuatiei (5.25). Aceasta se numeste linie energetica si rezulta prin scaderea valorilor termenului h_d din cota liniei de sarcina hidraulica, de-a lungul tubului de curent. In cazul tubului de curent. linia de pozitie este reprezentata de axa tubului, Linia energetica este o curba care coboara continuu, in timp ce linia piezometrica urca sau coboara, in functie de aria suprafetei sectiunii transversale a tubului, putand sa coboare sub linia de pozitie daca sectiunea transversala este, in acea zona, suficient de mica pentru a determina scaderea presiunii sub valoarea celei din exterior.

5. Probleme

5.1. Problema rezolvata

1. Sa se stabileasca regimul de miscare a titeiului, cu densitatea r = 830 kg/m³ si vascozitatea dinamica m = 10 cP, printr-o conducta cu sectiunea transversala de forma unui trapez isoscel, cu dimensiunile B = 3 cm, b = 2 cm, h = 2 cm, daca debitul de titei transportat prin conducta este Q = 2,5 dm³/s.

Rezolvare

Regimul de miscare poate fi stabilit prin calcularea valorii numarului Reynolds, definit de ecuatia (1), in care lungimea caracteristica l este diametrul echivalent hidraulic d_h, adica

unde d_h = 4R_h = 4A/P_u, A fiind aria suprafetei sectiunii transversale prin conducta, iar P_u - perimetrul udat al sectiunii.

In cazul de fata, A = (B + b)h/2, P_u = , deci

Datele problemei inlocuite in ecuatiile de mai sus duc la valorile

Intrucat Re > 3.000, miscarea este turbulenta.

5.2. Probleme propuse

2. Printr-o conducta cu sectiunea transversala de forma patrata, avand latura a, se transporta titei cu densitatea r = 880 kg/m³ si vascozitatea cinematica n = 4 cSt, la debitul Q = 0,2 dm³/s, in regim laminar limita. Se cere sa se calculeze latura sectiunii conductei.

3. Dintr-un rezervor deschis se scurge apa printr-o conducta orizontala, cu diametrul d = 20 mm si lungimea l = 3 km. Cunoscand: sarcina hidraulica la intrarea in conducta h = 2 m, densitatea si vascozitatea apei r = 10³ kg/m³, m = 1 cP si admitand ca presiunea la capatul final al conductei este cea atmosferica, se cere debitul de apa.

4. Printr-o conducta orizontala, cu diametrul d = 5 mm si lungimea l = 10 m, se transporta ulei cu densitatea r = 904 kg/m³ si vascozitatea dinamica m = 35 cP, la debitul Q = 5 cm³/s. Se cere sa se calculeze urmatoarele:

a) presiunea de pompare, stiind ca presiunea la capatul final al conductei este egala cu cea atmosferica;

b) viteza medie a uleiului in conducta;

c) forta de frecare pe peretele conductei.