INVARIANTI AI UNUI SISTEM DE FORTE

INVARIANTI AI UNUI SISTEM DE FORTE

Din cele aratate in paragraful precedent rezulta ca nu ambele elemente ale torsorului de reducere ale unui sistem de forte se schimba odata cu schimbarea polului de reducere. Astfel, vectorul rezultant ramane neschimbat, deoarece nu contine nici un element care sa depinda de pozitia punctului sau de aplicatie, sau ale punctelor de aplicatie ale fortelor componente:

.

Acest vector nu depinde nici de sistemul de referinta ales. Se spune ca:

primul variant al sistemului de forte este vectorul rezultant

Pentru a cerceta daca mai exista si alte marimi independente de polul de reducere, se va considera din nou sistemul de forte aplicate asupra unui solid rigid, dat prin forta reprezentativa al carui torsor de reducere in raport cu punctul O este

.

Daca se schimba polul de reducere, in O₁ (fig. 2.14), primul element al torsorului ramane neschimbat in timp ce al doilea element se schimba conform teoremei momentelor:

.

Daca se inmulteste scalar aceasta relatie cu vectorul rezultant

(2.32)

si daca se observa ca produsul mixt , (cei trei vectori fiind coplanari), rezulta:

constant (2.33)

care la randul sau este un invariant.

al doilea variant al sistemului de forte, denumit si invariantul scalar sau automomentul, este produsul scalar dintre vectorul rezultant si vectorul moment rezultant.

Analitic, acest produs scalar devine

sau:

constant (2.34)

care mai este denumit si trinom invariant.

Produsul scalar (2.33) mai permite si o alta dezvoltare si anume

(2.35)

care este o alta formulare al celui de-al doilea invariant: proiectia vectorului moment rezultant al unui sistem de forte calculat in raport cu un punct oarecare O, pe directia vectorului rezultant este constanta, indiferent de punctul de reducere al sistemului de forte.

Marimea acestei proiectii se obtine din (2.35), dupa inmultirea acestei relatii cu modulul vectorului rezultant :

(2.36).

Dar:   ,

si

(2.37)