Legea generalizata a lui Hooke

Legea generalizata a lui Hooke

Legea lui Hooke in forma cea mai simpla exprima legatura intre tensiuni si deformatii specifice pentru starea liniara de tensiuni si pentru cea de forfecare pura :

;

Tensiunile normale σ produc deformarea materialului pe directia in care actioneaza conform legii lui Hooke si in acelasi timp produc deformatii si in directii perpendiculare, conform relatiei:

ε_t= - με,

μ fiind coeficientul lui Poisson. Tensiunile tangentiale σ produc deformatii unghiulare numai in planele in care actioneaza.

Se considera in continuare, ca in fig.15, un element detasat dintr-un corp solid solicitat spatial, materialul fiind omogen si izotrop. Pe fetele elementului actioneaza tensiunile normale σ_x, σ_y si σ_z si totodata tensiunile tangentiale τ_xy, τ_xz, τ_yz.

In directia Ox, materialul va suferi o lungire datorata tensiuni σ_x si totodata doua contractii pe seama tensiunilor σ_y si σ_z, actionand pe directii perpendiculare. Deformatia rezultata se obtine cu ajutorul principiului suprapunerii de efecte:

Rationand asemanator si pentru celelalte directii se obtin inca doua relatii si deci,

  (50)

Relatiile (50) exprimand legatura dintre tensiunile normale si deformatiile specifice in cazul starii generale de tensiuni constituie legea generalizata a lui Hooke.

Lunecarile specifice produse de tensiunile tangentiale in planele paralele in care actioneaza, se exprima prin legea simpla a lui Hooke:

; ; (51)

Pentru starea plana de tensiuni (σ_z=0), legea generalizata a lui Hooke capata forma:

(52)

sau,

(53)

In urma deformatiilor lineare si unghiulare pe care le sufera elementul din fig.15, va rezulta si o variatie a volumului sau. Astfel daca inainte de deformare muchiile paralelipipedului erau dx, dy, dz, dupa deformare acestea devin dx +ε_xdx, dy + ε_ydy, dz + ε_zdz.

Variatia de volum va fi:

Facand calculele si neglijand infinitii mici de ordin superior rezulta:

Variatia specifica de volum va fi :

(54)

sau, tinand seama de legea generalizata a lui Hooke:

(55)

Relatia (55) se cunoaste sub denumirea de ecuatia lui Poisson. Se observa ca pentru μ=0,5 (cazul materialelor ideal plastice) deformatia volumica este nula, corpul prin deformare modificandu-si numai forma.

In cazul particular al materialului supus la compresiune hidrostatica:

rezulta :

(56)

Din punct de vedere fizic este necesar ca pentru p>0, ε_v>0 si pentru p<0, ε_v<0. Aceste conditii sunt indeplinite numai daca μ≤0,5.