Reducerea sistemelor de forte paralele

Reducerea sistemelor de forte paralele.

Un sistem de forte ce actioneaza asupra unui solid, are caracter particular de forte paralele daca suporturile tuturor fortelor sunt paralele cu o directie fixa din spatiu.

Daca directia fixa din spatiu are versorul u, atunci toate fortele vor avea acelasi versor. In acest fel, fiecare forta poate fi scrisa sub forma:

in care F_i este marimea vectorului forta reprezentativa.

Fortele se considera pozitive daca au acelasi sens cu cel al versorului u si sunt negative daca au sens contrar.

Torsorul de reducere al sistemului de forte paralele reprezentat in figura 2.20 va fi:

(2.55)

Se observa ca torsorul sistemului de forte este format din doi vectori perpendiculari, deoarece , adica:

(2.56)

Prin urmare, proiectia vectorului moment rezultant pe directia vectorului rezultant este nula, deci M_R =0. Inseamna ca si sistemul de forte paralele se reduce, de asemenea, la o rezultanta unica fata de punctul situat pe axa centrala. Daca punctul P apartine axei centrale atunci M_P =0 si conform teoriei momentelor, rezulta:

(2.57)

daca  T

Si in aceasta relatie se regaseste expresia matematica a teoremei lui Varignon ca si in cazul sistemelor de forte concurente si coplanare.

Pentru determinarea ecuatiei axei centrale, si in acest caz se va pleca de la expresia teoremei lui Varignon (2.58), in care se vor utiliza elementele torsorului de reducere in raport cu punctul O relatia(2.55).

Se obtine:

(2.59)

care se poate scrie si sub forma:

(

sau:

(2.60)

Relatia (2.60) este un produs vectorial de doi vectori si trebuie sa fie egal cu zero. Ori un asemenea produs vectorial este nul numai atunci cand doi vectori sunt coliniari, sau cand unul din cei ei este nul. Presupunand colinearitatea celor doi vectori din relatia (2.60), si punand conditia de coliniaritate, rezulta:

(2.61)

din care se obtine:

(2.62)

Expresia vectoriala (2.62) arata ca vectorul de pozitie al unui punct de pe axa centrala este o suma intre un vector independent de orientare a fortelor r_c, dat de relatia:

(2.63)

si un vector coliniar cu orientare comuna a fortelor, adica situat chiar pe axa centrala sau paralel cu aceasta:

(2.64)

Rezulta ca, in cazul fortelor paralele, exista un punct C, dat de catre vectorul de pozitie r_C (2.63), prin care trece axa centrala, care poarta numele de centru al fortelor paralele. Acesta depinde de marimea fortelor si de pozitiile punctelor de aplicatie. Coordonatele acestui punct C fata de un sistem Oxyz, se obtin prin proiecta relatiilor (2.63):

(2.65)

Proprietatile centrului fortelor paralele sunt:

a. Centrul fortelor paralele nu depinde de orientarea fortelor; daca toate fortele se rotesc, in acelasi sens, cu acelasi unghi in jurull punctelor lor de aplicatie, pozitia centrului fortelor paralele ramane neschimbata.

b. Centrul fortelor paralele nu se schimba daca toate fortele se maresc sau se micsoreaza in aceeasi proportie.

c. Pozitia centrului fortelor paralele depinde de marimea fortelor din sistem si pozitia punctelor de aplicatie a acestora, deci C poate fi considerat ca punct de aplicatie al rezultantei fortelor paralele.

Aplicatia 2.8

O placa dreptunghiulara OABD, de dimensiuni 2,1x2,4 m² este actionata de patru forte verticale F₁(=P); F₂(=2P); F₃(=3P);F₄(=4P). In ce puncte trebuie suspendata placa astfel incat aceasta sa ramana in echilibru in pozitie orizontala?

R: Ca placa sa ramana in pozitie orizontala este necesar ca aceasta sa fie suspendata in centrul fortelor paralele, ca un candelabru. Coordonatele centrului fortelor paralele C se determina cu relatiile: