Echilibrul consumatorului. Linia bugetara - probleme

Echilibrul consumatorului. Linia bugetara - probleme

Problema 1

Venitul pe care il are la dispozitie un cumparator pentru achizitionarea de produse x si y este de 60 u.m. Cunoscand faptul ca preturile unitare ale celor doua produse sunt 12 u.m., respectiv 6 u.m., atunci:

1) Sa se scrie ecuatia liniei bugetului.

2) În cazul in care tot venitul este alocat cumpararii de produs x, care este cantitatea care va putea fi achizitionata din acest produs?

3) Daca tot venitul este folosit pentru achizitionarea de produs y, care este cantitatea care va putea fi cumparata din acest produs?

4) În conditiile initiale, sa se reprezinte grafic linia bugetului.

5) Daca pretul produsului x scade modifica pana la valoarea p_x = 6, sa se traseze grafic noua linie a bugetului.

6) Daca venitul cumparatorului scade de la 60 u.m. la 36 u.m. sa se reprezinte linia bugetara in ambele situatii de preturi (cu p_x = 12, respectiv p_x = 6).

Rezolvare:

1) Cunoscand faptul ca ecuatia generala a liniei bugetului este: V_d = xp_x + yp_y

unde:

V_d - venitul disponibil;

x, p_x - cantitatile achizitionate, respectiv pretul produsului x;

y, p_y- cantitatile achizitionate, respectiv pretul produsului y.

rezulta ca, in cazul nostru, relatia de mai sus devine:

60 = 12x + 6y

2) În cazul in care tot venitul este alocat cumpararii de produs x, cantitatea de produs y achizitionata este egala cu zero, iar cea de produs x este egala cu 5:

y = 0 → 60 = 12x → x = 5

3) Daca tot venitul este folosit pentru achizitionarea de produs y, atunci cantitatea de produs x cumparata este egala cu zero, iar cea de produs y este egala cu 10:

x = 0 → 60 = 6y → y = 10

4) si 5) Initial, dreapta bugetului era descrisa de ecuatia: 60 = 12x + 6y. Aceasta dreapta trece prin punctele (0, 10) si (5, 0), in care x =0, respective y = 0 .

În situatia in care pretul produsului x se modifica, noua ecuatia a liniei bugetului este: 60 = 6x + 6y. Aceasta dreapta trece prin punctele (0, 5) si (5, 0).

Reprezentarea grafica a celor doua linii bugetare este prezentata in figura de mai jos:

6) Daca venitul cumparatorului scade de la 60 u.m. la 36 u.m. ecuatiile liniilor bugetare in cele doua situatii de pret sunt:

36 = 12x + 6y, respectiv: 36 = 6x + 6y,

Aceste drepte trec prin punctele de coordonate (0, 10) si (3, 0), respectiv (0, 10) si (10, 0).

Problema 2

Venitul de care dispune un individ pentru cumpararea de produse x si y este de 50 u.m. Daca preturile unitare ale celor doua produse sunt 10 u.m., respectiv 5 u.m., iar functia de utilitate este descrisa de ecuatia U(x,y) = x(y-2), sa se stabileasca punctul de echilibru al consumatorului.

Rezolvare:

Echilibrul consumatorului reflecta combinatia optima a cantitatilor consumate din cele doua produse, care conduce la maximizarea utilitatii totale in conditiile impuse de restrictia bugetara. Realizarea acestui echilibru se produce atunci cand este satisfacuta urmatoarea relatie:

→

Cunoscand faptul ca: U(x, y) = x(y-2), rezulta ca:

U_mx = = y - 2

U_my = = x

În aceste conditii, prima relatie mai poate fi scrisa si astfel:

→ , sau:

5(y - 2) = 10x → 10x - 5y + 10 = 0

Ecuatia liniei bugetare este urmatoarea:

V_d = xp_x + yp_y

unde:

V_d - venitul disponibil;

x, p_x - cantitatile achizitionate, respectiv pretul produsului x;

y, p_y- cantitatile achizitionate, respectiv pretul produsului y.

Înlocuind cu datele corespunzatoare, ecuatia dreptei bugetare devine:

50 = 10x + 5y → 10x + 5y - 50 = 0

Împreuna cu ecuatia care descrie echilibrul consumatorului, formam un sistem de 2 ecuatii cu 2 necunoscute x si y:

10x + 5y - 50 = 0

10x - 5y + 10 = 0

20x - 40 = 0 → x = 2

10y - 60 = 0 → y = 6

În aceste conditii, punctul de coordonate (2, 6) reprezinta punctul de echilibru al consumatorului

Problema 3

Presupunem ca venitul de 500 u.m. al unui consumator, este destinat achizitionarii a doua produse x₁ si x₂, al caror preturi unitare sunt 25 u.m., respectiv 50 u.m. Ulterior pretul produsului x₁ se dubleaza.

1) Sa se traseze dreapta bugetara corespunzatoare situatiei initiale si cea rezultata ca urmarii dublarii pretului produsului x₁.

2) Daca initial consumatorul isi cheltuieste integral venitul prin achizitia a 10 unitati de produs x₁ si a 5 unitati produs x₂, sa se determine venitul suplimentar pe care trebuie sa-l aiba la dispozitie pentru a cumpara acelasi numar de unitati din ambele produse, ca urmare a dublarii pretului produsului x₁. Sa se traseze dreapta bugetara in aceasta ultima situatie (a suplimentarii venitului).

Rezolvare

În situatia initiala ecuatia dreptei bugetare a fost urmatoarea:

V_d0 = x₁p_x1 + x₂p_x2

unde:

V_d0 - venitul disponibil initial;

x₁, p_x1 - cantitatile achizitionate, respectiv pretul produsului x₁;

x₂, p_x2 - cantitatile achizitionate, respectiv pretul produsului x₂.

Pornind de la aceasta ecuatie putem exprima x₁ in functie de x₂:

x₂ =

Deci: x₂ = 10 - 0,5x₁ (varianta initiala);

x₂ = 10 - x₁ (varianta dupa modificarea pretului)

Dreptele bugetare pentru cele doua situatii sunt prezentate in figura urmatoare:

2) Initial, consumatorul isi cheltuia cele 500 u.m. aferente venitului pe 10 unitati de produs x₁ si pe 5 unitati produs x₂: 500 = 10 x 25 + 5 x 50

Dupa dublarea pretului produsului x₁ venitul suplimentar V_s pe care trebuie sa-l aibe la dispozitie cumparatorul pentru a achizitiona acelasi numar de unitati din ambele produse se calculeaza plecand de la relatia:

V_n = V_d0 + V_s = x₁p'_x1 + x₂p_x2

unde:

V_n - venitul necesar;

p'_x1 - noul pret al produsului x₁.

500 + V_s = 10 x 50 + 5 x 50 → V_s = 750 - 500 = 250 u.m.

În conditiile modificarii pretului produsului x₁ si venitului consumatorului V_n, ecuatia noii drepte bugetare devine:

x₂ = → x₂ = 15 - x₁

Problema 4

Venitul alocat de un cumparator achizitionarii de produse x si y este de 400 u.m. În conditiile in care preturi unitare ale celor doua produse sunt 4 u.m., respectiv 10 u.m., iar functia de utilitate este descrisa de ecuatia U = xy, sa se stabileasca:

1) care sunt cantitatile optime consumate din cele doua produse care conduc la obtinerea unei utilitati maxime pentru consumator;

2) care este rata marginala de substituire intre cele doua produse in conditiile de echilibru ale consumatorului.

Rezolvare:

1) Maximizarea functiei de utilitate a consumatorului este cea care asigura combinatia optima a cantitatilor consumate din cele doua produse. Aceasta se realizeaza atunci cand prima derivata a acestei functii este egala cu zero iar a doua derivata este negativa:

U - maxim, cand U' = 0 si U" < 0.

Plecam de la urmatorul sistem de ecuatii:

U = xy → U = xy

V_d = xp_x + yp_y  400 = 4x + 10y

Daca din a doua ecuatia il scoatem pe y si il inlocuim in prima ecuatie, obtinem:

y = 40 -→ U(x) = x(40 -) = 40x -

În continuare, calculam derivatele de ordin 1 si 2 a utilitatii in functie de variabila x:

U'(x) = 40 -

U"(x) = -

Prin egalarea primei derivate cu zero obtinem cantitatile optime consumate din produsele x si y care asigura maximizarea utilitatii consumatorului.

U'(x) = 40 - = 0 → x = 50

Cum: y = 40 - → y = 40 - = 20

O alta modalitate de determinare a combinatiei optime de bunuri care asigura maximizarea utilitatii consumatorului face apel la multiplicatorul lui Lagrange.

Aceasta metoda are la baza functia Lagrange L, care combina functia de utilitate si restrictia bugetara prin intermediul unui parametru λ, denumit multiplicator. În cazul nostru, forma acestei functii este urmatoarea:

L = U(x, y) + λ[V_d - (xp_x + yp_y)]

Pentru stabilirea combinatiei optime de bunuri, care asigura maximizarea utilitatii consumatorului, se calculeaza, intr-o prima faza, derivatele partiale ale functiei L in raport cu x, y si λ, dupa care se egaleaza aceste derivate cu zero:

= U' - λp_x =0

= U' - λp_y = 0

= V_d - (xp_x + yp_y) = 0

În cazul nostru, relatiile de mai sus capata urmatoarea forma:

= y - 4λ =0 → y = 4λ

= x - 10λ = 0 → x = 10λ

= 400 - 4x - 10y = 0

Daca, in ultima relatie, exprimam x si y in functie de λ, obtinem:

400 = 40 λ + 40 λ → λ = 5

Prin urmare, combinatia optima este:

x = 50 si y = 20

2) Rata marginala de substituire RMS_yx intre cele doua produse se determina cu urmatoarea relatie:

RMS_yx =

În punctul de echilibru, conditia de maximizare a satisfactiei consumatorului este urmatoarea:

→

În aceste conditii, obtinem:

RMS_yx = = = =

Semnificatia acestei rate marginale de substitutie este urmatoarea: in punctul de echilibru, pentru a creste consumul cu o unitate de produs y este necesar sa se renunte la 2,5 unitati din produsul x.

Problema

Venitul de care dispune un cumparator pentru achizitionarea de produse x si y este de 50 u.m. Daca preturile unitare ale celor doua produse sunt 4 u.m., respectiv 5 u.m., iar daca functia de utilitate este descrisa de ecuatia U(x,y) = x(y-2), se cere:

1) Sa se stabileasca punctul de echilibru al consumatorului.

2) În conditiile in care pretul unitar al produsului x scade de 4 u.m. la 2 u.m., sa se stabileasca noul punct de echilibru al consumatorului si sa se precizeze cat din modificarea cantitatii de produs x achizitionate este datorata efectului de substitutie si cat efectului de venit.

Rezolvare:

Realizarea echilibru consumatorului se produce atunci cand este indeplinita urmatoarea relatie:

→

Cunoscand faptul ca: U(x, y) = x(y-2), rezulta ca:

U_mx = = y - 2

U_my = = x

În aceste conditii, prima relatie devine:

→ , sau:

5(y - 2) = 4x → 4x - 5y + 10 = 0

Cunoscand faptul ca ecuatia liniei bugetare este urmatoarea:

50 = 4x + 5y → 4x + 5y - 50 = 0,

pentru determinarea punctului de echilibru E₁ trebuie sa rezolvam urmatorul sistem de ecuatii:

4x + 5y - 50 = 0

4x - 5y + 10 = 0

8x - 40 = 0 → x = 5

10y - 60 = 0 → y = 6 → E₁(5, 6)

2) Pentru determinarea punctului de echilibru E₂ in situatia reducerii pretului produsului x vom proceda, in mod similar, ca la punctul 1.

→ , sau:

5(y - 2) = 2x → 2x - 5y + 10 = 0

În acest caz, ecuatia liniei bugetare are urmatoarea forma:

50 = 2x + 5y → 2x + 5y - 50 = 0

Sistemul de ecuatii care ne permite determinarea, in acest caz, a punctului de echilibru al consumatorului este urmatorul:

2x + 5y - 50 = 0

2x - 5y + 10 = 0

4x - 40 = 0 → x = 10

10y - 60 = 0 → y = 6 → E₂(10, 6)

Deci, fata de situatia initiala, cererea individului pentru produsul x a crescut cu 5 unitati (de la 5 la 10 unitati). Efectul total de modificare a cererii pentru produsul x este datorat atat efectului de substitutie cat si celui de venit.

Efectul de substituire (sau de substitutie) este determinat de variatia pretului unui bun in conditiile in care pretul ramane constat.

Efectul de substituire conduce la schimbarea liniei bugetului si a combinatiei optime dintre cele doua marfuri dar preferintele consumatorului raman neschimbate si se regasesc pe aceeasi curba de indiferenta.

Deci, pentru determinarea efectului de substitutie, pornim de la conditia ca respectivul consumator se situeaza pe aceiasi curba de indiferenta:

U = x(y - 2) = 5(6 - 2) = 20

O a doua conditie rezulta din relatia de echilibru aferenta situatiei aparute dupa modificarea pretului produsului x:

→

Rezolvand urmatorul sistem:

x(y - 2) = 20 x(y - 2) = 20

2x - 5y + 10 = 0 ,

obtinem coordonatele punctului E' care reflecta efectul de substitutie:

x = 7 si y = 4,8

Efectul de substitutie E_s, definit ca variatie a cererii pentru produsul x determinata numai de variatia pretului sau, este dat de diferenta dintre cantitatea ceruta din bunul respectiv in punctul E' si cea ceruta in punctul initial de echilibru E₁.

E_s = 7,07 = 2,07

Variatia cantitatii cerute din produsul x ca urmare a cresterii nivelului utilitatii datorate reducerii pretului respectivului produs reprezinta efectul de venit E_v, care se calculeaza de diferenta dintre cantitatea ceruta din bunul respectiv in punctul E₂ si cea ceruta in punctul E':

E_v = 10 - 7,07 = 2,93

Problema

Functia de utilitate a unui consumator este descrisa de urmatoarea ecuatiei:

U(x,y) = 4x²y

1) Tinand cont de restrictia bugetara: V_d = xp_x + yp_y, sa se calculeze functiile de cerere pentru cele doua produse x si y.

2) Daca se ia in calcul si impozitul pe venit, rata acestuia fiind egala cu τ, sa se rescrie cele doua functii de cerere.

3) Sa se calculeze echilibrul consumatorului in situatia in care: p_x = 2, p_y = 5, V_d = 30 si τ = 20%.

Rezolvare:

1) Calcularea functiilor de cerere implica luarea in considerare a doua conditii:

- maximizarea utilitatii totale;

- incadrarea in venitul disponibil (restrictia bugetara).

Astfel, vom forma urmatorul sistem de ecuatii:

U - max

V_d = xp_x + yp_y

Pentru rezolvarea acestui sistem vom face apel la multiplicatorul lui Lagrange. Pentru aceasta vom defini functia lui Lagrange in maniera urmatoare:

L = L = U(x, y) + V_d - (xp_x + yp_y)] = 4x²y + λ[V_d - (xp_x + yp_y)]

Calculand derivatele partiale ale functiei L in raport cu x, y si λ si egaland aceste derivate cu zero, obtinem:

= U' - λp_x = 0 → 8xy = λp_x

= U' - λp_y = 0 → 4x² = λp_y

= V_d - (xp_x + yp_y) = 0

Pentru a obtine functiile de cerere pentru cele doua produse trebuie sa exprimam x, respectiv y, numai in functie de preturile lor si de venit.

Daca impartim prima relatie la a doua, rezulta:

→ → x =

Introducand aceasta valoare a lui x in ce-a de-a treia conditie de optim, obtinem functia de cerere aferenta produsului y:

V_d = p_x + yp_y → 3yp_y = V_d → y =

Functia de cerere aferenta produsului x are urmatoarea forma:

V_d = xp_x + p_y → 3V_d = 3xp_x + V_d → x =

2) Daca se ia in calcul si impozitul pe venit, atunci restrictia bugetara devine:

V_d - τV_d = xp_x + yp_y,

În aceste conditii, sistemul de ecuatii pe care trebuie sa-l avem in vedere are urmatoarea forma:

U - max

V_d - τV_d = xp_x + yp_y

Apelam, din nou, la functia Lagrange, pe care o definim in maniera urmatoare:

L = L = U(x, y) + λ[V_d - τV_d - (xp_x + yp_y)] = 4x²y + λ[V_d - τV_d - (xp_x + yp_y)]

Calculam derivatele partiale ale functiei L in raport cu x, y si λ si le egalam cu zero:

= U' - λp_x = 0 → 8xy = λp_x

= U' - λp_y = 0 → 4x² = λp_y

= V_d - τV_d = xp_x + yp_y = 0

Împartind prima relatia la a doua, rezulta:

→ → x =

În final, exprimam x, respectiv y, numai in functie de preturile lor si de venit:

V_d - τV_d =p_x + yp_y → V_d(1- τ) = 3yp_y → y =

V_d - τV_d = xp_x + p_y → V_d(1- τ) = xp_x + →

→ 3xp_x = 3 V_d(1 - τ) - V_d(1 - τ) → x =

3) În situatia in care: p_x = 2, p_y = 5, V_d = 30 si τ = 20%, echilibrul consumatorului este definit de punctul E, de coordonate (x, y):

x = = = 8

y = = = 1,6 → E(8, 1,6)

Utilitatea maxima este stabilita la nivelul: U = 4x²y = 4 x 8² x 1,6 = 409,6

Productia si oferta. Costurile de productie

Problema

O intreprindere este caracterizata de urmatoarea situatie privind evolutia costului variabil total in functie de productia realizata:

Cunoscand faptul ca costurile fixe totale C_f au o valoare de 300 u.m., sa se determine:

Costul total si costul mediul total;

Costul marginal;

Costul variabil mediu.

Rezolvare:

1) Costul total C_t se calculeaza ca suma intre costurile fixe si cele variabile:

C_t = C_f + C_v

Costul mediu (unitar) total Cu exprima costurile globale pe unitatea de produs:

C_u =

2) Costul marginal C_m exprima sporul de cost total necesar obtinerii unei unitati suplimentare de productie. Relatia de calcul pentru determinarea acestui cost este urmatoarea:

C_m =

3) Costul mediu variabil C_uv se calculeaza prin raportarea costului variabil la volumul productiei:

C_uv =

Valorile calculate ale costurilor totale, medii totale, marginale si variabile medii sunt sintetizate in tabelul urmator:

Problema

O intreprindere este caracterizata de urmatoarea functie a costurilor totale:

C_t = 5Q³ + 4Q² + 3Q + 2

in care: Q - volumul productiei.

Costul variabil si costul fix total;

Costurile medii.

Costul marginale.

Rezolvare

1) Costul total C_t se determina ca suma intre costurile fixe si cele variabile:

C_t = C_f + C_v = 5Q³ + 4Q² + 3Q + 2

Costul variabil C_v este o marime dependenta de volumul productiei, in timp ce costul fix C_f este independent de acest volum:

C_v = f(Q) C_v = 5Q³ + 4Q² + 3Q

C_f = 2

2) Costul mediu total Cu exprima costurile globale pe unitatea de produs:

C_u = C_u = = 5Q² + 4Q + 3 +

În mod similar, se calculeaza si costul mediu variabil C_uv si cel mediu fix C_uf:

C_uv = C_u = = 5Q² + 4Q + 3

C_uf = C_uf =

3) Costul marginal C_m se poate determina prin derivarea functiei costului:

C_m = C'_t

În cazul nostru, costurile marginale totale C_m, variabile C_mv si fixe C_mf prezinta urmatoarele valori:

C_m = C'_t C_m = 15Q² + 8Q + 3

C_mv = C'_v C_m = 15Q² + 8Q + 3

C_mf = 0

Problema

O intreprindere este caracterizata de urmatoarea functie a costurilor totale:

C_t = 10 + 4Q

Sa se calculeze nivelul productiei care asigura maximum de beneficiu, pretul la care se vinde respectivul produs si profitul total in situatia in care intreprinderea se confrunta cu o curba a cererii descrisa de ecuatia: p = 20 - 0,8Q

Rezolvare

Relatia de calcul a profitului sau beneficiului total P_t este urmatoarea:

P_t = V_t - C_t

in care: V_t, C_t - veniturile, respectiv costurile totale inregistrate de catre intreprindere.

Conditia de maximizare a beneficiului este aceea ca prima derivata a functiei profitului sa fie egala cu zero:

P_t → max, cand: P'_t = V'_t - C'_t = 0

Deci: P_t → max, cand: V'_t - C'_t, adica cand: V_m = C_m

unde: V_m, C_m - veniturile, respectiv cheltuielile marginale.

Venitul total se determina ca produs intre pretul produsului p si cantitatea Q vanduta din respectivul produs:

V_t = p x Q

Venitul marginal V_m exprima sporul de venit total obtinut pe seama vanzarii unei unitati suplimentare de productie:

V_m = = V_t'

V_t = p x Q = (20 - 0,8Q)Q → V_t = 20Q - 0,8Q² V_m = 20 - 1,6Q

C_t = 10 + 4Q C_m = C'_t = 4 u.m.

În cazul nostru, conditia de maximizare devine:

V_m = C_m → 20 - 1,6Q = → 20 - 1,6Q = 4 → 1,6Q = 16 → Q = 10 buc.

Pretul la care se vinde respectivul produs in conditii de profit maxim rezulta din ecuatia cererii:

p = 20 - 0,8Q → p - 0,8 x 10 = 12 u.m.

În aceste conditii, beneficiul (profitul) total obtinut este:

P_t = V_t - C_t = p x Q - 10 4Q = 12 x 10 - 10 - 4 x 10 → P_t = 70 u.m.