Statistica matematica in prelucrarea datelor experimentale

1. Scopul lucrarii

Lucrarea isi propune sa formeze studentului deprinderi practice legate de utilizarea legilor statisticii matematice in studiul fenomenelor fizice.

2. Consideratii teoretice

Realizarea practica a unui complex de conditii corespunzatoare unui criteriu de cercetare dat se numeste experienta iar orice rezultat posibil al acesteia se numeste eveniment posibil; orice alt rezultat decat acestea se numeste eveniment imposibil. Totalitatea evenimentelor posibile ale unei experiente se numeste spectrul experientei.

Distingem urmatoarele cazuri posibile:

Caz 1^o (spectru discret finit): efectuand o experienta cu un sistem oarecare se pot obtine un numar finit de evenimente posibile, E₁, , E_n; de exemplu, aruncarea unui zar obisnuit este o experienta cu 6 evenimente.

Prin repetarea experientei de N ori, cu acelasi sistem si in aceleasi conditii, vom constata ca un eveniment oarecare E_i va aparea de N_i ori. In cadrul unei modelari matematice a fenomenelor considerate, se definesc urmatoarele marimi care dau asa numita statistica a experientei.:

frecventa absoluta de aparitie a evenimentului E_i: N_i

frecventa relativa de aparitie a lui E_i:

Avem urmatoarele relatii imediate, cunoscute sub numele de conditii de normare:

(1)

De remarcat ca repetand din nou experienta de N' ori, vom obtine o alta statistica a experientei, N'_i, f'_i.

Cu privire la aceasta repetitie, una dintre cele mai importante observatii experimentale ce stau la baza modelului matematic al fenomenelor statistice este urmatoarea, cunoscuta sub numele de axioma calculului probabilistic sau axioma stabilitatii pentru numere mari:

Consecinta imediata a acestei axiome este urmatoarea:

In mod teoretic, riguros, acesta concluzie ne spune ca exista si sunt unice limitele:

(2)

Numerele se numesc probabilitatile de aparitie ale evenimentelor respective, E_i.

Conditiile de unitaritate si normare impuse acestora sunt consecinte imediate ale analizei matematice:

(3)

Alte proprietati ale probabilitatilor sunt urmatoarele:

legea de adunare: , unde E₁ + E₂ este evenimentul compus in care, in urma experientei "apare E₁ sau E₂", iar E₁E₂ este "apare E₁ si E₂";

legea de adunare a evenimentelor incompatibile: , daca E₁E₂ = 0, adica  E₁ si E₂ nu se pot realiza simultan;

legea de inmultire: unde este evenimentul compus in care, in urma experientei "apare E₂ daca apare E₁" (evenimente conditionate)

legea de inmultire a evenimentelor independente: , daca cele doua evenimente nu se conditioneaza recipreoc in nici un fel, adica avem .

Observatie importanta:

Determinarea probabilitatilor se face in teorie pe baza construirii unor modele statistice ale sistemului supus experientei, tinandu-se cont de simetriile si asimetriile ce apar. Valoarea obtinuta este necesar a se verifica experimental; conform consideratiilor anterioare, acest lucru se face repetand experienta de un numar cat mai mare de ori si observand daca frecventele relative de aparitie se apropie tot mai mult de valorile respective, pe masura cresterii numarului de repetitii ale experientei Toate aceste aspecte se vor vedea concret in aceasta lucrare.

Sistemele a caror evolutie se supune consideratiilor anterioare prezinta numeroase caracteristici care iau diverse valori in urma efectuarii unor experiente identice; mai exact, valoarea acestora depinde de evenimentul E_i care apare. Altfel spus, fiecarui eveniment posibil ii corespunde o anumita valoare a acestei variabile, numita variabila aleatoare. In exemplul cu zarul, o astfel de variabila ar fi numarul de puncte de pe fata superioara a acestuia; corespunzator celor 6 evenimente posibile vom avea 6 valori ale acestei variabile, anume: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

In continuare vom nota cu x o variabila aleatoare oarecare si cu

(4)

valorile acesteia in cazul aparitiei fiecaruia din evenimentele posibile din spectrul experientei. Multimea poarta numele de spectrul variabilei x.

Sa consideram, din nou, repetarea de N ori a experientei si sa presupunem ca evenimentul E_i s-a inregistrat de N_i ori. Prin urmare, variabila aleatoare va lua de N_i ori valoarea x_i. Una din cele mai importante caracteristici ale variabilei aleatoare o constituie media acesteia definita prin relatia:

(5)

La limita numerelor mari, axioma ne spune ca exista si este unica limita:

(6)

care defineste asa-numita medie statistica a variabilei aleatoare x.

Observatii importante:

Media statistica si probabilitatile evenimentelor posibile nu mai depind de numarul de repetitii ale experientei; ele depind doar de sistemul supus experientei si conditiilor experimentale, fiind o caracteristica intrinseca a acestora.

In teoria probabilitatilor se arata ca aceasta este valoarea cea mai probabila a experientei, adica valoarea pe care variabila aleatoare o inregistreaza in majoritatea experientelor, si ca toate celelalte valori se grupeaza probabilistic in jurul acesteia (cu cat o valoare este mai apropiata de valoarea medie, cu atat probabilitatea sa de aparitie este mai mare). Atunci, definind valoarea cea mai probabila ca fiind valoarea reala a variabilei, rezulta imediat justificarea introducerii mediei statistice.

Urmatoarele proprietati ale mediei statistice sunt imediate:

adunarea: ,

inmultirea: , daca x si y sunt variabile independente.

In efectuarea unei experiente concrete de laborator, unde majoritatea variabilelor intalnite au caracter aleator, se pune problema preciziei rezultatului obtinut; mai precis ne vom intreba cat de aproape este acesta de valoarea reala care, asa cum am subliniat mai sus, se considera - justificat teoretic - a fi valoarea medie statistica?

Pentru a raspunde la aceasta intrebare se definesc urmatoarele marimi care ne arata cat de departata este valoarea obtinuta experimental de cea reala, determinabila teoretic:

eroarea (abaterea) relativa : (7)

eroarea (abaterea) patratica medie:

(8)

dispersia: (9)

Observatie:

Eroarea relativa este, la randul ei tot o variabila aleatoare, cu spectrul , a carei medie statistica se arata imediat ca este zero: . Din acest motiv se introduce dispersia, pentru a putea da o caracterizare mai profunda a rezultatelor obtinute (atunci cand se pune problema erorii medii ce se obtine intr-un experiment).

Cu ajutorul acestor erori, rezultatul unei experiente se scrie in asa-numita forma stiintifica:

daca efectuam o singura experienta: (10)

daca se efectueaza un numar mai mare de experiente:

(11)

Caz 2^o (spectru discret infinit): efectuand o experienta cu un sistem oarecare se pot obtine un numar infinit de evenimente posibile, E₁, , E_n, ; de exemplu, valoarea energiei fotonului emis prin dezexcitarea unui atom.

Consideratiile statistice sunt similare cu cele din cazul finit. Diferenta apare la conditia de normare unde vom avea de aceasta data o serie unitara:

(12)

Conditia de convergenta a seriei impune relatia:

(13)

Caz 3^o (spectru continuu): efectuand o experienta cu un sistem oarecare se pot obtine un numar infinit de evenimente posibile, E₁, , E_n, ; de exemplu, devierea a doua bile care se ciocnesc.

In acest caz, consideratiile sunt similare cazului al doilea, seriile corespunzatoare situatiei discrete fiind inlocuite la limitele impuse de calculul infinitezimal de integrale corespunzatoare. Tratarea in amanuntime a acestui caz, ca si a celui precedent, este laborioasa si nu face obiectul acestei lucrari.

3. Dispozitivul experimental

Dispozitivul experimental il reprezinta o urna ce contine 2500 de bile din care:

- 25 de culoare galbena

- 50 de culoare verde

- 100 de culoare albastra

- 200 de culoare rosie

- restul de culoare alba.

Urna prezinta un capac cu 100 de locasuri transparente astfel ca, prin rasturnare aceste locasuri vor fi ocupate cu 100 de bilute vizibile. Prin urmare aceasta miscare este echivalenta cu extragerea bilutelor respective, existand posibilitatea de a numara bilele colorate ce au iesit.

4. Mod de lucru

Ne propunem sa calculam teoretic probabilitatea ca la o extractie a 100 de bile sa obtinem x_r bile rosii, mediile statistice corespunzatoare si, ulterior, sa verificam experimental rezultatele obtinute.

Modelul statistic al experientei: Schema hipergeometrica (schema bilei nerevenite )

O urna contine N bile dintre care a bile sunt albe si r = N - a bile rosii. Se extrag simultan n bile (sau succesiv, dar fara a pune bila extrasa inapoi).

Se cere probabilitatea evenimentului ca din cele n bile extrase, a bile sa fie albe si r bile sa fie rosii.

Rezolvare

Simetria problemei consta in urmatoarea constatare: toate bilele de aceeasi culoare sunt perfect identice, neputandu-se face diferenta intre extragerea unei bile sau a alteia de aceeasi culoare. Ca urmare este justificata ipoteza ca extragerea unei bile rosii are aceeasi probabilitate pentru oricare din cele r bile - evenimente echiprobabile. Mai mult, aceesi probabilitate o vor avea toate evenimentele in care, la extragerea a n bile simultan, vom obtine r bile rosii, oricare ar fi acestea din cele r.

Tinand cont de echiprobabilitatea acestor evenimente si de conditia de normare, printr-un rationament ceva mai laborios se ajunge la urmatoarea expresie pentru probabilitatea cautata:

(14)

Sa definim in continuare urmatoarea variabila aleatoare legata de aceasta aplicatie: x = "numarul bilelor rosii obtinute la extragerea a 100 de bile din urna". Conform datelor dispozitivului experimental, spectrul acesteia este discret si finit, anume: . Fiecare valoare x_i din spectru se va obtine cu probabilitatea data de expresia (14) cu :

Odata calculate aceste probabilitati vom putea estima teoretic media statistica si erorile statistice teoretice, conform formulelor de definitie ale acestora: .

Verificare experimentala:

Se efectueaza 100 de extrageri - cate 20 de fiecare din cele 5 grupe de studenti - a 100 bile. Se numara bilele rosii aparute de fiecare data.

Datele obtinute se trec in urmatorul tabel:

Tabel 1: rezultatele extragerilor individuale

Dupa "reunirea" celor 5 tabele, cu datele din tabelul total se completeaza tabelul 2:

Tabel 2: frecventele absolute de aparitie a bilelor rosii

5. Prelucrarea datelor experimentale. Concluzii

Pentru realizarea lucrarii de fata este necesar sa se parcurga urmatoarele etape:

Se calculeaza frecventele relative:

Se traseaza histogramele frecventelor relative (figura de mai jos - exemplu)

Se calculeaza media variabilei aleatoare x: ; n = 100 - se observa apropierea acesteia de valoarea cea mai probabila (cea mai inalta coloana din histograma)

Se calculeaza abaterile si se trec in tabelul 3:

Tabel 3: valori si abateri relative ale variabilei aleatoare

Se calculeaza

Se calculeaza

Se interpreteaza rezultatele prin comparare cu cele teoretice