Analiza cinematica

ANALIZA CINEMATICA

1 Notiuni introductive

Analiza cinematica a mecanismelor are ca scop studierea miscarii elementelor cinematice sau a unor puncte de pe ele, care pot fi chiar cuplele cinematice, fara a se considera fortele care provoaca miscarea. Analiza cinematica se aplica la mecanisme ale caror dimensiuni sunt cunoscute si sunt, de regula, reprezentate la scara in conformitate cu STAS 1543-75. Din analiza cinematica rezulta parametrii cinematici, atat pentru elemente, cat si pentru punctele stabilite, in functie de miscarea si pozitia elementului conducator. Acesti parametri cinematici sunt: pozitia elementului sau a punctului considerat; traiectoria descrisa de un anumit punct luat in studiu; viteza si acceleratia unghiulara a elementelor; viteza si acceleratia absoluta a punctelor considerate. Acesti parametri cinematici se determina pentru un ciclu cinematic.

Analiza cinematica se poate realiza prin diverse metode, mai simple cu o precizie scazuta insa suficienta pentru scopul propus sau mai complicate cu o precizie foarte buna, atunci cand este absolut necesara. De regula, metodele precise se realizeaza, cu succes, numai pe calculator. Principalele metode utilizate sunt: metode grafice; metode grafo-analitice, dintre care cea mai cunoscuta este de metoda poligoanelor de viteze si acceleratii; metoda analitica sau a contururilor vectoriale; metode speciale, dintre care se mentioneaza metoda functiilor de transfer si metoda matriciala.

2 Metode grafice

Aceste metode, permit determinarea parametrilor cinematici,direct, prin constructii grafice fara a se utiliza relatii de calcul intre parametrii determinati. Din randul acestor metode, mai interesana este metoda diagramelor.

Precizia la metodele grafice este mica si eroarea de estimare este de: 2% pentru traiectorii; 5% pentru viteze; 10% pentru acceleratii. Totusi, aceste precizii sunt suficiente pentru unele analize, care pot fi realizate numai pentru puncte cu miscare absoluta de rotatie sau de translatie.

Cu toate aceste dezavantaje, metodele grafice se mai utilizeaza oferind unele avantaje certe, cum ar fi: determinarea vitezelor si a acceleratiilor se realizeaza prin procedee asemanatoare, fara dificultati; nu necesita cunostinte deosebite in domeniul mecanismelor si a metodelor complicate de calcul matematic; dezvolta intuitia, fiind o metoda didactica foarte eficienta.

1. Metoda diagramelor

Aceasta metoda, cunoscuta sub denumirea de metoda derivarii grafice, se bazeaza pe faptul ca derivata unei functii este egala cu tangenta trigonometrica a unghiului format de sensul pozitiv al axei abscizelor cu tangenta geomerica, dusa la curba finctiei respective. In analiza cinematica a unui mecanism se porneste de la diagrama spatiului unui punct de pe elementul de lucru. De regula, se considera derivata in functie de pozitia unghiulara a elementului conducator. In aceste conditii, prin derivarea spatiului rezulta viteza redusa cu dimensiune liniara, respectiv acceleratia redusa, conform relatiilor urmatoare:

(1)

(2)

Principiul metodei consta in determinarea, pe cale grafica, a unor corespondente intre marimile parametrilor cinematici si elementele mecanismului real, exprimate prin marimile reprezentative de pe desen cu ajutorul scarilor:

- scara lungimilor

- scara spatiului unghiular

- scara timpului

- scara vitezelor

- scara acceleratiilor

Din figura 1, executata la scara, se deduc relatiile de legatura mentionate mai sus, prin corectia relatiilor (1), (2) cu scarile respective, dupa cum urmeaza:

(3)

dar, dinrezulta ca , iar din .

In aceste conditii, relatia (3) capata forma:

(4)

Elementul de legatura, in aceasta situatie, este scara vitezelor , exprimata sub forma:

(5)

Daca se imparte la relatia (5) se obtine scara vitezelor reduse din expresia (1).

In mod asemanator se poate deduce scara acceleratiilor daca se considera expresia din si din diagrama vitezei, obtinandu-se relatia (6)

(6)

In aceste conditii, acceleratia in punctul I, se determina astfel:

(7)

Fig.1

2 Metoda centrului instantaneu de rotatie ( C.I.R)

El se bucura de unele proprietati, cum ar fi:

vitezele tuturor punctelor de pe un element, de exemplu AB din Fig.2, in raport cu C.I.R. sunt perpendiculare pe razele vectoare ale acestor puncte, iar valorile lor sunt proportionale cu razele respective;

centrele instantanee de rotatie a trei elemente, aflate in miscare plan-paralela, sunt coliniare, Fig.3;

la un mecanism cu n elemente, exista un numar de C.I.R egal cu numarul combinarilor de n elemente luate cate doua;

cand elementul sau planul de referinta este fix, C.I.R este absolut;

locul geometric al C.I.R se numeste curba polara si este considerata baza daca C.I.R este absolut si ruleta cand C.I.R apartine unui plan mobil.

Fig.2 Fig.3

Daca se considera Fig,2, determinarea vitezei punctului M presupune cunoscute:

viteza punctului A si directia vitezei punctului B sau viteza punctului A si marimea vitezei unghiulare a alementului AB.

In aceste conditii se procedeaza astfel:

- se determina pozitia centrului instantaneu de rotatie a elementului AB si care este punctul I, obtinut din intersectia directiei perpendicularei AI pe directia vitezei punctului A, cu directia perpendicularei IB pe directia vitezei punctului B. Odata cunoscuta pozitia centrului instantaneu de rotatie se poate determina viteza punctului B sau a orcarui punct de pe elementul AB, spre exemplu punctul M. Pentru punctul B, calculul se rezuma la;

(8)

(9)

respectiv pentru punctul M ,

(10)

-se determina vitezele care intereseaza, direct cu relatiile (9), (10).

In aplicarea metodei centrului instantaneu de rotatie, CIR, apar cateva cazuri particulare:

vitezele celor doua pencte (A si B) sunt paralele, de unde rezulta ca CIR este la infinit si prin urmare elementul are o miscare de translatie permanenta sau instantanee;

dreapta AB este normala pe directiile celor doua viteze (), situatie in care pozitia CIR este nedeterminata Fig.4a daca nu sunt cunoscute marimile vitezeloe celor doua puncte, in caz contrar pot sa apara cazurile din Fig.4b, respectiv, Fig.4c.

Fig.4

Daca se considera Fig.3, metoda CIR se aplica astfel:

; ; ; (11)

3 Metoda rabaterii

Aceasta metoda se bazeaza pe o teorema care demonstreaza ca :

In Fig.5 a si b se prezinta doua exemple: Fig.5a, se arata principiul metodei care poate fi considerat ca o varianta a metodei CIR si consa in parcurgera etapelor:

- se rabate intr-o directie arbitrara viteza cunoscuta a punctului A cu , la o anumita scara a vitezelor , reprezentata de segmentul , rezultand punctul ;

- din se duce o paralela la AB care intersecteaza in punctul perpendiculara ridicata din B pe suportul vitezei acestui punct;

a)                               b)

Fig.5

- se rabate segmentul in sens opus obtinandu-se punctul b pe suportul vitezei punctului B.

Marimea vitezei cautate este :

(12)

Constructia grafica se justifica prin asemanarea triunghiurilorsi in care I este centrul instantaneu de rotatie. Din rapoartele care se pot scrie si din unele propritati ale proportiilor, rezulta:

de unde,

(13)

In Fig.5b, se aplica aceasta metoda la mecanismul manivela-piston, rezultand viteza punctului C, utilizand relatia (13) cu notatiile corespunzatoare.

3 Metoda grafo-analitica

Mai este cunoscuta si ca metoda ecuatiilor vectoriale si consta in rezolvarea gra-fica a ecuatiilor vectoriale, de tip Euler, pentru viteze si acceleratii cu aplicabilitate la elemente legate prin cuple de rotatie, de translatie de clasa cinci si prin cuple superioare de clasa patru. Metoda prezinta unele avantaje:

precizie sufucient de buna;

se poate aplica la toate punctele mobile ale mecanismului plan si la unele mecanisme spatiale;

sunt folosite calcule analitice simple.

Cu taote aceste avantaje, metoda are o serie de neajunsuri care, in ultimul timp, au facut ca ea sa fie mai putin utilizata desi din punct de vedere didactic conduce la formarea unei viziuni mai clare asupra modului cum actioneaza vitezele si in mod deosebit acceleratiile asupra mecanismelor. Dintre desavantaje se mentioneaza:

volum mare de lucru;

nu poate fi utilizata la toate mecanismele.

Pentru rezolvarea parametrilor cinematici, prin aceasta metoda, se procedeaza astfel:

se stabilesc punctele pentru care se doreste analiza cinematica si pozitiile necesare ale elementului conducator;

se descompune mecanismul in grupe structurale;

se deseneaza mecanismul la scara, in toate pozitiile stabilite pentru elementul conducator tinandu-se cont de rezultatele unei ,eventuale, analize pozitionale;

se scriu ecuatiile de tip Euler si se rezolva grafic la o scara aleasa in mod convenabil, care poate fi schimbata de la pozitie la pozitie si chiar la aceeasi pozitie la grupe diferite in functie de marimea vectorilor care trebuie desenati;

rezolvarea incepe cu elementul conducator si se termina cu ultima grupa introdusa la generarea mecanismului.

3.1Ecuatii de tip I

Aceste ecuatii sunt specifice elementelor legate prin cupla de rotatie si reprezinta ecuatia de miscare a unui punct fata de alt punct care apartine aceluias element, Fig.6 si are forma:

viteze;

(14)

Se cunosc:A,B elementului AB; pozitia punctului AB; - ca marime, directie, sens, punct de aplicatie, necunoscuta;

Pentru rezolvarea unei ecuatii vectoriale in care un vector are cunoscuta numai directia acceleratii, mai trebuie asociata cu o alta ecuatie de tip I,II sau III .

acceleratii;

(15)

Pe langa elementele cunoscute prezentate la viteza, se mai cunosc urmatoarele:

Fig.6

Avand in vedere ca acceleratia unghiulara -este necunoscuta, pentru rezolvare mai trebuie o ecuatie de tip I, II sau III.

3.2 Ecuatii de tip II

Fig.7

Se aplica atunci cand doua puncte au aceeasi pozitie dar sunt situate pe elemente diferite care au o miscare de translatie, unul fata de celalalt, Fig.7:

viteze;

Se cunosc urmatoarele date:ca pozitie; ; ; - vector cunoscut sau se poate determina prin calcul daca se cunoaste miscarea elementului 1. Aceasta miscare este cunoscuta daca se cunoaste miscarea unui punct de pe elementul 1 si viteza unghiulara a acestui element, sau se cunoaste miscarea a doua puncte de pe acest element.

Pentru vectorul necunoscut se poate scrie:

Ecuatia (16) se poate rezolva prin asociere cu o alta ecuatie de tip I, II sau III.

acceleratii;

Acceleratia punctului este cunoscuta sau se poate calcula, asa cum s-a precizat la viteze. Acceleratia corriolis pote fi determinata , dupa cum urmeaza:

Se observa ca acceleratia relativa este necunoscuta dar cunoasterea directiei sugereaza ideea ca ecuatia se poate rezolva grafic prin asocierea ei cu o alta ecuatie de tip I, II sau II.

3.3 Ecuatia de tip III

Este specifica cuplelor superioare de casa patru, de exemplu la came, insa se poate intalni si la mecanismele cu bare, motiv pentru care se prezinta aici. Punctele de contact se caracterizeaza prin doua miscari, o rotatie si o translatie, aceeasi pozitie dar apartinand unor elemente diferite, Fig.8. 

viteze;

(18)

Pentru rezolvarea ecuatiei (18) elementele cunoscute sunt:

ca pozitie;; ; ;

-cunoscuta sau se poate determina cunos- candu-se miscarea elementului 1;

Fiind cunoscuta numai directia, ecuatia (18) poate fi rezolvata grafic daca se asociaza cu o alta ecuatie de tip I, II sau III.

acceleratii;

In rezolvarea grafica a acestei ecuatii se mai cunosc:

- cunoscuta sau se poate determina cunoscandu-se miscarea elementului 1;

Asociind aceasta ecuatie cu o alta ecuatie de tip I, II sau III se poate rezolva grafic.

3.4 Metoda asemanarii

Sunt situatii in care sistemele de doua ecuatii vectoriale conduc la nedeterminari, facand imposibila rezolvarea lor. In aceste conditii, se poate aplica cu succes metoda asemanarii, atat la viteze cat si la acceleratii. Principiul metodei este urmatorul:

viteze;

In Fig.9a, pentru determinarea vitezei punctului C sunt date vitezele punctelor A si B. Aplicand metoda CIR sau metoda grafo-analitica utilizand doua ecuatii de tip I, rezulta poligonul de viteze din Fig.9b.

Din analiza Fig.9 se constata ca poligonul de viteze formeaza o figura (abc) asemenea cu figura corpului (ABC), rotita cu in sensul vitezei unghiulare . Datorita asemanarii, rezulta o proprietate a planului vitezelor, cunoscuta ca o teorema de asemanare, utilizata la determinarea vitezei oricarui punct din planul mobil daca sunt cunoscute vitezele a doua puncte. Ea se aplica astfel:

(20)

de unde,

(21)

Vectorul astfel obtinut se masoara pe o directie perpendiculara pe AC si care trece prin punctul a din poligonul de viteze rezultand pozitia punctului c. In aceste conditii viteza punctuli C se determina din poligon astfel:

(22)

acceleratii;

Pentru punctul C din Fig.10a, se determina acceleratia utilizand doua ecuatii de tip

I construind poligonul de acceleratii din Fig.10b. Se constata ca pentru fiecare punct din figura elementului mobil ii corespunde un punct din poligonul acceleratiilor (de exemplu, punctului A ii corespunde punctul a' ). Pentru triunghiul ABC corespunde triunghiul a'b'c'rotit cu unghiul in sensul acceleratiei unghiulare e

Vectorii care au originea in polul acceleratiilor reprezinta acceleratiile absolute la scara , aleasa in mod convenabil (de exemplu, vectorul reprezinta acceleratia

punctului A). Vectorii care nu au originea in pol sunt acceleratii relative, cu urmatoarele marimi:

(23)

Aceste acceleratii sunt reprezentate in poligon de vectorii:

(24)

Inlocuind expresiile scalare ale acceleratiilor relative si efectuand o serie de calcule se ajunge la rapoartele:

(25)

Relatiile (25) confirma faptul ca figura geometrica a elementului cinematic este asemenea cu corespondentul ei din poligonul acceleratiilor.Polul acceleratiilor are momentan acceleratie nula si corespunde centrului instantaneu al acceleratiilor J. Prin urmare si la acceleratii se poate utiliza metoda asemanarii, cu particularitatile sale, la determinarea acceleratiilor.

3.5 Aplicatii

I. Fie mecanismul patrulater ABCD din Fig.11, pentru care se cunosc: desenul la scara pentru o anumita pozitiie unghiulara a elementului conducator 1; viteza unghiulara a elementului conducator . Se cere sa se determine vitezele si acceleratiile punctelor situate in centrul cuplelor de rotatie (A,B,C.D), respectiv vitezele si acceleratiile unghiulare ale tuturor elementelor.

Pentru rezolvare, se parcurg urmatoarele etape:

Se face analiza structurala pentru a constata daca schema este corecta si consta in; stabilirea corecta a numarului de elemente, stabilirea corecta a numarului de cuple cinematice si clasele lor, stabilirea familiei mecanismului, determinarea gradului de mobilitate, descompunerea mecanismului in grupe structurale.

pentru fiecare element conducator (daca sunt mai multe) si pentru fiecare grupa structurala (daca sunt mai multe), se scriu ecuatiile vectoriale, de viteze si acceleratii, specifice fiecariu caz.

Se stabilese scara vitezelor , respectiv scara acceleratiilor si se transforma cu aceste scari toate marimile cinematice cunoscute in vectori reprezentativi cu unitati de lungime.

Se rezolva grafic ecuatiile vectoriale prin construirea poligoanelor pentru toate entititile structurale incepand cu elementul conducator, respectandu-se modul de formare a mecanismului.

Din poligoane se determina marimile cinematice necunoscute ( vitezele si acceleratiile punctelor stabilite, vitezele si acceleratiile unghiulare ale elementelor, sensurile vitezelor si acceleratiilor unghiulare)

Parcurgand etapele de mai sus, se constata ca mecanismul are un singur element conducator AB si o singura grupa structurala BCD, de clasa 2, ordin 2, aspect 1. In aceste conditii, ecuatiile vectoriale specifice fiecarei entitati sunt:

element conducator legat prin cupla de rotatie la care se alica ecuatiile de tip I;

viteze acceleratii

Pentru rezolvarea acestor ecuatii se cunosc, din datele problemei, urmatoarele: A cupla de rotatie caracterizata de v_A=0 si a_A=0 ; w =constant si deci e =0; lungimea l_AB

data in [m].

1. Se calculeaza marimile necesare rezolvarii vitezei:

Din polul vitezi p_v , stbilit arbitrar Fig.11b, se duce o perpendiculara pe directia elementului conducator AB. Din pol, in sensul dat de viteza unghiulara, se masoara si se deseneaza vectorul reprezentativ al vitezei punctului B.

3. Se calculeaza marimile necesare rezolvarii acceleratiilor:

4. Din polul acceleratiilor p_a ,stbilit arbitrar Fig.11c, se duce o paralela la AB si in sensul de la B la A se masoara si se deseneaza vectorul reprezentativ al acceleratiei normale a punctului B fata de A care este tocmai acceleratia absoluta a punctului B.

5. Rezolvarea cinematica a elementului conducator este terminata intrucat acceleratia tangentiala este nula fiind .

Grupa BCD in care sunt doua elemente legate prin cupla C de rotatie, situatie in care se vor utiliza doua ecuatii de tip I, cate una pentru fiecare element. Intrucat cupla D este de rotatie, fixata la batiu (elementul 4), miscarea centrului ei este nula (). Singurul punct, care intereseaza, cu miscare necunoscuta este centrul cuplei de rotatie C, pentru care se dau urmatoarel relatiile de calcul:

viteze acceleratii

Avand in vedere discutiile de la ecuatiile de tip I, se prezinta etapele in rezolvarea acestei probleme:

1. Vitezele punctelor B si D sunt cunoscute, asa cum s-a precizat mai sus, rezolvata la elementul conducator si reprezentata in poligonul vitezelor prin vectorul reprezentativ , iar .

Vitezele relative, din ambele ecuatii, sunt necunoscute ca marime si sens insa au cunoscute directiile perpendiculare pe BC, respectiv, pe CD. In conformitate cu sistemul de ecuatii vactoriale de viteze, se duce o perpendiculara la BC prin varful vectorului

si o alta perpendiculara pe DC, prin polul vitezelor, Fig.11b. La intersectia acestor perpendiculare se gaseste punctul c_. Segmentul este tocmai viteza reprezentativa

a punctului C si se masoara in [mm].

3. Se calculeaza viteza punctului C,

si viteza relativa a punctului C fata de B, dupa ce se masoara segmentul bc,

.

4. Se calculeaza vitezele unghiulare ale elementelor BC si CD,

, respectiv,

5. Se stabilesc sensurile acestor viteze unghiulare pe baza datelor din poligon, astfel:

- se deplaseaza vectorul in punctul C, de pe mecanism, si se stabileste sensul lui ca fiind rotatia imaginara produsa de acest vector asupra elementului BC (Fig.11).

- se deplaseaza vectorul in punctul C si se stabileste sensul lui ca fiind o rotatie imaginara a elementului CD in sensul dat de vectorul respectiv.

6.Cu aceste operatii analiza vitezelor pentru aceasta pozitie s-a terminat, rezolvan-du-se toate solicitarile .

7. Se continua analiza cu determinarea acceleratiilor, stiind ca acceleratia punctului B s-a determinat la elementul conducator si ca acceleratia lui D este nula, din aceleasi motive ca in cazul vitezelor.

8. Se calculeaza acceleratiile normale, atat pentru elementul CB cat si pentru elementul CD, cu relatiile date la prezentarea ecuatiilor tip:

9.Se calculeaza vectorii reprezentativi la scara acceleratiilor :

10. Se duce o paralela la CB, prin varful vectorului si in sensul de la C la B se deseneaza vectorul acceleratiei normale , apoi prin pol se duce o paralela la CD si in sensul de la C la D se deseneaza vectorul reprezentativ al acceleratiei normale a punctului C fata de D, .

11. Pentru componentele tangentiale se cunosc numai directiile perpendiculare pe BC, respectiv, pe CD care se traseaza prin varfurile acceleratiilor normale. La intersectia acestor directii se gaseste solutia problemei, adica acceleratia punctului C care este reprezentata in poligon prin segmentul .

1 Se calculeaza marimile acceleratiilor necunoscute, apoi acceleratiile unghiulare:

;

13. Se stabilesc sensurile acceleratiilor unghiulare, dupa procedeul stabilit la vitezele unghiulare, cu precizarea ca se transleaza vectorii acceleratiilor tangentiale in punctul C de pe mecanism.

14. Analiza cinematica ceruta in enunt este rezolvata. Daca se doreste si miscarea altor puncte, se procedeaza in acelasi mod utilizand ecuatiile tip sau alte metode, cum ar fi metada asemanarii care, de regula, se aplca cand ecuatiile tip conduc la nedeterminari. Nedeterminarile apar cand directiile vectorilor necunoscuti sunt paraleli si deci nu se intersecteaza pentru a rezulta solutia dorita.

II. Fie meanismul manivela piston ABCD din Fig.1 Se cere sa se determine vitezele si acceleratiile punctelor A,B,C,D,G si vitezele si acceleratiile unghiulare. Se cunosc: desenul la scara pentru o anumita pozitie unghiulara a elementului conducator AB; viteza unghiulara a elementului conducator este constanta. Din efectuarea analizei

structurale rezulta ca mecanismul are un singur element conducator, notat cu AB si o grupa cinematica de clasa 2, ordin 2, aspect 2 notata cu BCD avand o cupla de translatie D. Se mentioneaza ca grupa este degenerata , elementul 3 are lungime zero.

Analiza cinematica a elementului conducator:

viteze acceleratii

Rezolvarea vitezelor conduce la vectorul din Fig.12b, respectiv, vectorul din Fig.12c.

Analiza cinematica a grupei BCD:

viteze acceleratii

Se poate observa ca la ecuatiile de tip II intervin puncte cu aceeasi pozitie situate pe elemente diferite, motiv pentru care apar inici diferiti. Indicii arata elementul pe care se gasesc punctele considerate la scrierea ecuatiilor.

Din rezolvarea grafica a acestor ecuatii rezulta viteza punctului C, Fig.12b si acceleratia lui, Fig.12c.

Problema cere sa se determine si parametrii cinematici ai punctului G care reprezinta centrul de masa al elementului Acceleratia acestui punct este necasara la analiza cinetostatica. Daca s-ar recurge la metoda ecuatiilor vectoriale ar rezulta o nedeterminare. Rezolvarea se face prin metoda asemanarii, astfel:

viteze acceleratii

De notat ca miscarea punctului D este identica cu cea a punctului C intrucat ambele puncte apartin unui element care are numai miscare de translatie.

III. Fie mecanismul culisa oscilanta ABCD din Fig.13. Se cere analiza cinematica a mecanismului dat, in ipoteza ca elementul conducator are viteza unghiulara constanta. Din analiza structurala se constata ca mecanismul are un singur element conducator AB,

o grupa structurala BCD, in care cupla interna C este de translatie, motiv pentru care se va utiliza, in rezolvare, o ecuatie de tip I asociata cu una de tip II. Pentru elementul conducator, rezolvarea este identica cu aplicatiile anterioare, motiv pentru care nu se mai insista. Si aici, apar notatii cu diversi indici care atentioneaza, fie prezenta unei cuple de translatie, fie proiectiile unor puncte ajutatoare in rezolvarea problemei. Semnul de identitate se refera numai la faptul ca punctele respective au aceeasi pozitie.

Analiza cinematica a grupei BCD

viteze acceleratii

In Fig.13b se prezinta poligonul de viteze, iar in Fig.13c poligonul de acceleratii. In Fig.13d se prezinta modul de determinare a sensului acceleratiei corriolis in functie de sensul vitezei relative. Poligoanele sunt utilizate pentru determinarea marimilor vec-torilor necunoscuti si pentru stabilirea sensurilor vitezelor si acceleratiilor unghiulare, asa cum s-a procedat la aplicatia I.

IV. Fie mecanismul de tangenta din Fig.14. Se cere analiza cinematica prin metoda grafo-analitica. Din analiza structurala rezulta prezenta unui element conducator si a unei grupe structurale de clasa 2, ordin 2, aspect 4, care contine doua cuple de translatie B, D si o cupla de rotatie situata intre cuplele de translatie. Pentru rezolvare se utilizeaza

asocierea a doua ecuatii de tip II . Se prezinta numai ecuatiile utilizate la rezolvarea grupei cinematice BCD.

Analiza cinematica a grupei BCD

viteze acceleratii

De prcizat ca prezenta elementului de marime zero face ca in zona celor doua cuple B si C sa apara mai multe puncte cu diversi indici. Astfel, cuplei B ii asociem punctele: B₂ care indica faptul ca acest punct apartine elementului 2; B₁ care reprezinta proiectia punctului B pe elementul 1. Pentru cupla C de rotatie se poate face aceeasi discutie: C₂

arata ca punctul C apartine elementului 2; C₁ reprezinta proiectia cuplei pe elementul 1;

C₃ arata ca elementele cuplei de rotatie au aceeasi miscare, indiferent de pozitia lor, asa ca punctul C este identic cu punctul care se afla pe elementul 3; C₄ reprezinta proiectia

cuple pe planul legat de elementul 4. Trebuie remarcat ca, asocierile se fac in asa fel ca punctele atrase in asociere sa fie cu miscare cunoscuta. Astfel, punctul C₄ este fix, iar punctul C₁ apartine elementului conducator care are miscarea cunoscuta.

Daca se analizeaza relatiile scrise pentru cinematica grupei se poate constata: viteza punctului C₁ este cunoscuta de la analiza elementului conducator, care poate fi realizata pentru orice punct intereseaza; viteza relativa a punctului C₂ fata de punctul C₁ este necunoscuta dar are directia paralela cu ghidajul, adica elementul AB; viteza punctului C₄ este zero, fiind un punct dintr-un plan fix; viteza relativa a punctului C₃ fata de C₄ este necunoscuta dar are directia paralela cu ghidajul elementului 3, adica cu CD. O discutie asemanatoare se poate face si pentru acceleratii, din care sa rezulte date care sa ajute la rezolvarea problemei. Astfel: acceleratia punctului C₁ se considera cunoscuta; acceleratia corriolis, a punctului C₂ fata de C₁, se poate calcula si se considera cunoscuta, iar in Fig.14d se arata metoda prin care se determina sensul si directia ei; acceleratia relativa a punctului C₂ fata de C₁ este necunoscuta dar are directia paralela cu ghidajul; acceleratia punctului C₄ este nula; acceleratia corriolis C₃ fata de C₄ este nula pentru ca ghidajul (elementul 4) nu se roteste; acceleratia relativa a punctului C₃ fata de C₄ este necunoscuta dar are directia paralela cu ghidajul (elementul 4 sau tija CD).

Cu aceste explicatii se pot construi poligoanele de viteze si acceleratii din care sa se determine marimile necunoscute.

V. Se da mecanismul de sinus in Fig.15a si se prezinta, pe scurt, analiza cidematica a mecanismului.

Din analiza structurala rezulta o grupa cinematica de clasa 2, ordin 2, aspect 5 care are doua cuple de translatie, consecutive. Datorita elementului 2 de marime zero punctele specifice cuplei B se suprapun cu cele ale cuplei C, motiv pentru care s-a pus semnul de identitate numai pentru pozitiile lor.

viteze acceleratii

Urmarind explicatiile de la aplicatiile anterioare si cele de la ecuatiil tip, se ajunge la urmatoarele concluzii: viteza punctului B₂ este cunoscuta din analiza cinematica a elementului conducator si este identica cu viteza punctului B₁ ca fiind puncte ale unei cuple de rotatie; viteza relativa a punctului B₃ fata de punctul B₂ este necunoscuta insa directia ei este paralela cu ghidajul cuplei de translatie C (segmentul 33'); viteza punctului B₄ este nula intucat acest punct apartine unui plan fix. Pentru acceleratii se poate face aceleasi comentarii tinandu-se cont de particularitatile acceleratiilor. In Fig.15b se da poligonul vitezelor, in Fig.15c sunt acceleratiile, iar in Fig.15d stabilirea directiei si a sensului acceleratiei corriolis a punctului B₃ fata de B₂ .

Trebuie sa se observe ca ecuatiile se scriu in asa fel sa se poata determina miscarea punctelor sau elementelor interioare ale grupei in functie de miscarea punctelor sau elementelor de legatura (exterioare).

VI. Se considera un mecanism de seping care contine o grupa de clasa trei. La acest exemplu, datorita complxitatii poligoanelor, sunt notati numai vectorii mai importanti direct cu notatia completa si nu cu simbolurile conventionale.

La aceste grupe de clasa trei se utilizeaza proiectia S a unui centru instantaneu de rotatie, pe un plan legat de elementul interior de rang trei . Se poate demonstra ca viteza acestui punct sete nula si care usureaza rezolvarea problemei. Cu ajutorul acestui punct particular, grupa de clasa trei se descompune in grupe fictive de clasa doi care se rezolva mai usor, asa cum s-a prezentat in aplicatiile I-V.

Grupele fictive se vor stabili in asa fel incat ele sa nu contina elementele care formeaza CIR si elementul fictiv care contine punctul S. In cazul dat, CIR se formeaza la intrsectia prelungirii elementului 4 (DE) cu elementul 5 (GG'). De notat ca elementul 5 are o cupla de translatie, motiv pentru care ''prelungirea'' se realizeaza cu o perpen-diculara pe directia de translare si care trece prin cupla de rotatie F a elementului 5. In aceste conditii, grupele fictive sunt: SB₃B₂; B₃DE; B₃FG. Pentru aceste grupe, ecuatiile de viteze si acceleratii sunt:

viteze acceleratii

grupa fictiva SB₃B₂

grupa fictiva B₃DE

grupa fictiva B₃FG 

Se atrage atentia ca pot fi considerate si alte variante precum si alte metode. De exemplu, cunoscandu-se miscarea punctelor B₃ si D care apartin elementului 3, pentru miscarea lui F se poate aplica si metoda asemanarii, asa cum s-a procedat la poligonul acceleratiilor, unde varfurile acceleratiilor punctelor F, B₃ si D sunt coliniare si determina segmente proportionale cu segmentele DB_3, respectiv, B₃F.