ELEMENTE GENERALE ALE CINEMATICII PUNCTULUI MATERIAL

ELEMENTE GENERALE ALE CINEMATICII PUNCTULUI MATERIAL

1. Formularea problemei . Generalitati

Cinematica este partea Mecanicii care studiaza miscarea mecanica a sistemelor materiale, fara a tine seama de masele acestora si de fortele care actioneaza asupra lor.

Notiunile fundamentale care intervin in studiul cinematicii sunt cele de spatiu si timp.

A studia miscarea unui sistem inseamna sa putem determina in orice moment pozitia lui in spatiu. Dar determinarea pozitiei se face numai in raport cu un corp, numit reper. Prin urmare, doi observatori care folosesc doua repere diferite, vor descrie miscarea aceluiasi obiect, in general, in mod diferit, si din punctul de vedere al cinematicii ambii observatori vor avea deopotriva dreptate. Descrierea diferita se datoreste faptului ca reperele folosite de cei doi observatori sunt mobile. Un sistem de referinta fix, sau cum se mai spune absolut, nu exista.

Conventional se admite sistemul de referinta fix, caruia I se mai spune absolut, iar miscarea raportata la el se numeste miscare absoluta, in timp ce miscarea in raport cu un reper mobil (oricare reper care nu este solidar cu cel absolut) se numeste miscare relativa.

In cele ce urmeaza se va studia mai intai miscarea punctelor si a corpului considerat nedeformabil in raport cu un reper fix si apoi cu unul mobil.

Dupa cum s-a mai aratat, cinematica este acea parte a mecanicii care studiaza miscarea corpurilor numai din punct de vedere geometric, adica a evolutiei in timp a pozitiei, vitezei si acceleratiei acestora, fara insa a tine cont de cauza care produce aceasta miscare.

A cunoaste miscarea unui punct material (sau corp asimilabil unui punct material) fata de un sistem de referinta fix, inseamna a-i cunoaste pozitia in orice moment precum si principalele caracteristici ale acestei miscari: viteza si acceleratia. Pozitia punctului este cunoscuta atunci cand se cunoaste vectorul de pozitie , ca o functie de timp, raportat la un punct fix 0 (fig.1):

(1)

Functia (1), se mai numeste ecuatia vectoriala a traiectoriei si, ca sa poata defini miscarea unui punct material, pentru intervalul de timp in care este valabila, trebuie sa indeplineasca o serie de conditii, si anume:

sa fie o functie continua, adica punctul poate trece de la o pozitie la alta numai printr-o infinitate de pozitii intermediare;

sa fie o functie uniforma, deoarece punctul nu poate avea la un moment dat decat o singura pozitie;

sa fie finita ca modul, deoarece in caz contrar departatrea punctului nu ar fi determinata;

sa fie de cel putin doua ori derivabila.

Deoarece un punct material sau geometric, are in spatiu trei grade de libertate, definirea vectorului de pozitie (t) poate fi facuta cu ajutorul a trei functii scalare de timp, care depind de sistemul de referinta ales.

De exemplu, in coordonate carteziene, vectorul de pozitie

este cunoscut numai daca se cunosc functiile:

(2)

Cu aceste considerente, se poate formula problema cinematicii punctului material: cunoscandu-se miscarea unui punct fata de un sistem de referinta dat, sa se determine traiectoria, viteza si acceleratia punctului in orice moment "t".

2. Viteza medie. Viteza instantanee. Vectorul viteza

Se presupune un punct material care la momentul t se afla in pozitia M pe traiectoria sa, iar in momentul (t+Dt) se gaseste in pozitia M₁ (fig.2,a).

In acest interval de timp, el a parcurs spatiul Ds arc(MM₁).

Se defineste notiunea de viteza medie pe intervalul de timp raportul:

(3)

Se constata ca viteza medie depinde de marimea intervalului de timp Dt, respectiv de marimea intervalului de spatiu Ds dintre pozitiile M si M₁. De exemplu, pentru un automobil care circula de la Sibiu la Bucuresti, punctele M si M₁ ar putea fi Sibiu, respectiv Ramnicu Valcea, sau chiar Sibiu, respectiv Bucuresti. Aceasta indicatie de viteza medie este destul de vaga pentru viteza automobilului, deoarece pe parcursul traseului, viteza citita instantaneu pe cadranul vitezometrului de la bord poate fi diferita, chiar in limite destul de largi.

Pentru a mari precizia informatiei referitoare la miscarea automobilului, se va proceda la micsorarea intervalului de timp Dt printr-o trecere la limita, presupunand functia s=s(t) ca fiind continua si derivabila. Din (3) se poate scrie:

(4)

Marimea scalara din (4) caracterizeaza viteza de variatie a spatiului in raport cu timpul, la momentul t.

In acelasi mod, cum s-a introdus scalarul "viteza medie", se poate introduce o marime vectoriala asemanatoare. Dupa cum se observa in figura 2., in intervalul de timp Dt, vectorul de pozitie variaza cu . Raportand la timpul Dt aceasta marime, se obtine vectorul viteza medie:

(5)

Se observa ca acest vector viteza medie este orientat dupa coarda intrucat difera de prin scalarul 1/Dt. In procesul trecerii la limita, cand Dt devine tot mai mic, directia corzii tinde spre cea a tangentei la traiectorie in punctul M. Pe de alta parte, atunci cand intervalul de timp Dt tinde spre zero, valoarea vitezei tinde spre cea instantanee, asa ca, in acest fel se poate defini si vectorul viteza instantanee, sau mai scurt, vectorul viteza, ca fiind:

(6)

ultima notatie fiind specifica mecanicii; a fost introdusa de catre Newton pentru simplificarea notatiei derivatelor diferitelor marimi in raport cu timpul, numarul de puncte plasate deasupra acestor simboluri definiind ordinul de derivare.

Reluind relatia (6), rezulta:

(7)

in care

, este versorul tangentei in M,

, este raportul dintre arc si coarda limita,

este scalarul vitezei instantanee.

Din (7) rezuta in final:

(8)

care este vectorul viteza, o marime vectoriala atasata punctului in miscare, orientata pe tangenta la traiectorie si egala in modul cu derivata spatiului parcurs in raport cu timpul. Atunci cand miscarea este data prin ecuatia vectoriala a traiectoriei este mai util sa se interpreteze viteza ca fiind vectorul derivata a vectorului de pozitie in raport cu timpul. Unitatea de masura a vitezei in Sistemul International rezultata din ecuatia de definitie (4) sieste m/s.

Fie o clasa de vectori veritabili ca directie in raport cu un parametru scalar si avand toti aceiasi origine. Se defineste notiunea de hodograf, curba loc geometric al extremitatilor vectorilor acestor clase. Deci, traiectoria unui punct poate fi considerata ca fiind hodograful vectorului de pozitie.

3. Acceleratia medie. Acceleratia instantanee. Vectorul acceleratie

Considerand doua pozitii vecine in miscarea unui punct pe traiectoria sa M la momentul t si M₁ la momentul (t+Dt). Vitezele corespunzatoare acestor momente vor fi si orientate dupa tangentele din M si respectiv M₁ la traiectorie. Diferenta vectoriala a vitezelor este variatia vectorului viteza in intervalul de timp Dt (fig.3).

Se defineste vectorul acceleratie medie:

(9)

si arata masura in care variaza viteza in cadrul intervalului finit de timp Dt.

Daca acest interval tinde spre zero, atunci aceasta marime devine vectorul acceleratie instantanee:

(10)

Conform regulii de derivare enuntata anterior, se poate interpreta acceleratia ca fiind la randul sau o "viteza", in sensul ca este viteza cu care vectorul vitezei din hodograful vitezelor se deplaseaza pe aceasta curba (fig.3.b).

Deci, acceleratia instantanee este derivata de ordinul intai a vectorului viteza, sau derivata de ordinul al doilea al vectorului de pozitie, calculata in raport cu timpul.

Unitatea de masura in SI a acceleratiei rezulta din formula de definitie:

adica [m/s²], cu multiplii si submultiplii sai.