Aplicatii la teorema impulsului

APLICATII LA TEOREMA IMPULSULUI

Se considera curgerea stationara a unui fluid printr-o tubulatura ca in figura de mai jos. Sa se determine forta care actioneaza asupra tubulaturii la curgerea lichidului intre sectiunile 1 si 2.

Fig.

Pentru inceput, alegem volumul de control desenat cu linie intrerupta. Cum miscarea fluidului intre sectiunile 1 si 2 este stationara, teorema impulsului pentru acest caz se scrie:

Presupunind ca distributia de viteze si presiuni este constanta pe sectiunea de intrare A₁ si de iesire A₂, rezultantele fortelor de suprafata pe directiile x si y se scriu:

Termenul reprezinta greutatea fluidului din volumul de control. Pentru multe probleme acest termen se neglijeaza in comparatie cu alte forte, in particular pentru cazul curgerii gazelor.

Debitul de impuls prin suprafata de control devine:

Mai departe, teorema impulsului in proiectie pe cele doua axe devine:

Din cele doua ecuatii le scoatem pe F_px si F_py explicit:

In baza principiului "actiunii si reactiunii" forta cu care fluidul actioneaza asupra tubulaturii va fi egala si de semn contrar cu forta cu care tubulatura actioneaza asupra fluidului din volumul de control, adica:

Consideram curgerea permanenta a unui jet de apa printr-o tubulatura de diametru constant ca in figura urmatoare. Se cere sa se calculeze forta care acioneaza asupra piesei de sprijin a tubulaturii.

Fig.

Consideram pesiunea apei din jet ca fiin egala cu presiunea atmosferica si aplicand teorema impulsului pentru volumul de control (VC) si suprafata de control (SC) din figura de mai sus, gasim:

Daca in problema anterioara piesa de sprijin se misca in directia axei x cu viteza V_x mai mica decat viteza jetului V, sa se calculeze forta care actioneaza asupra piesei de sprijin.

Fig.

Sa se calculeze forta ce actioneaza asupra unei placi plane inclinate cu unghiul , datorita atacului unui jet de apa orizontal avand sectiunea transversala A si viteza V. Aplicatie numerica: , .

Fig.

Consideram volumul de control ca in fig. , unde fluidul inra prin sectiunea 1 si iese prin sectiunile 2 si 3. Conform ecuatiei de continuitate, debitul masic de fluid care intra in volumul de control este egal cu cel care iese, adica:

sau

cu observatia ca . Scriind ecuatia lui Bernoulli pentru doua puncte de pe o linie de curent, unul situat la intrarea si celalalt la iesirea din volumul de control, adica:

considerand . Daca admitem ca presiunea pe suprafata de intrare A₁ si pe suprafata de iesire A₂ si A₃ sunt egale cu presiunea atmosferica, atunci . Utilizand acest rezultat si tinand cont de ecuatia de continuitate obtinem .

Sa aplicam in continuare teorema impulsului pentru acest caz si in raport cu sistemul de axe precizat in figura.

In continuare, vom scrie teorema impulsului, fortele de frecare care apar la contactul fluidului cu placa.

Mai departe, din prima ecuatie rezulta si, cupland cu ecuatia de continuitate, gasim:

,

In baza principiului actiunii si reactiunii, forta cu care fluidul actioneaza asupra placii plane, va avea componentele egale in modul cu F_x si F_y, dar semnele contrare acestora. Prin urmare:

O tubulatura este alcatuita din doua portiuni cilindrice cu diametrele de 2m si 1m racordate printr-o portiune tronconica cu lungimea de 5m. Prin interior curge apa cu debitul . Sa se calculeze acceleratia particulelor de fluid din axa tubulaturii in functie de distanta x.

Fig.

Variatia diametrului pe zona tronconica este liniara data de ecuatia:

Din ecuatia de continuitate

Rezulta:

Acceleratia particulei de lichid pentru cazul miscarii unidimensionale in directia axei x va fi , iar in cazul miscarii permanente , adica

Pentru , .

Un motor cu reactie este supus unor teste in regim static pe un banc de probe. Viteza de intrare a aerului in motor este de , iar viteza de iesire a gazului este de . Pe suprafetele de intrare si iesire presiunea este egala cu presiunea atmosferica. Raportul dintre gazele rezultate in urma arderii combustibilului in motor si aerul necesar arderii este de . Suprafetele de intrare si iesire au aria de . Densitatea aerului este de. Sa se calculeze forta care ationeaza in suruburile de prindere ale motorului pe bancul de probe.

Fig.

Considerand volumul de control desenat cu linie intrerupta ca in figura si scriind teorema impulsului, considerand suprafata 1 ca suprafata de intrare si suprafata 2 ca suprafata de iesire, obtinem:

unde este forta externa totala ce actioneaza asupra motorului, incluzand fortele de presiune pe suprafetele 1 si 2, reactiunea din suburile de montare pe bancul de probe este debitul de aer, iar este debitul de gaz rezultat in urma arderii combustibilului in motor. Pe de alta parte, din ecuatia de continuitate rezulta ca debitul de aer , care intra in volumul de control, se regaseste la iesire. Ca urmare, putem scrie:

Cum si , rezulta:

Debitul aerului este , iar forta

.

Pompa centrifuga din figura de mai jos are un debit Q. Apa intra in pompa pe directie axiala. Diametrul rotorului pompei este D. Sa se calculeze puterea necesara functionarii pompei la o turatie .

Fig.

Puterea ceruta este produsul dintre momentul la rotor M si viteza unghiulara . . Cunoscand turatia n in rpm, se poate calcula in cu formula . Momentul M se calculeaza aplicand teorema momentului impulsului ca in figura de mai jos.

Fig.

Presupunand o distributie uniforma de viteze pe suprafetele de intrare si iesire , avem:

unde este debitul masic de lichid prin pompa. Cum pe suprafeta de intrare curentul de lichid are numai viteza axiala, si ca atare:

Aplicatie numerica:

Se considera o racheta pentru explorarea spatiului in trei trepe. Primele doua trepte vor transporta racheta la o asemenea distanta fata de pamant, astfel incat atractia gravitationala sa fie neglijabila. Se neglijeaza, de asemenea, frecarea cu atmosfera. A treia treapta a rachetei va fi lansata atunci cand treapta a doua si-a atins inaltimea maxima si, implicit, viteza fata de pamant este nula. Motorul celei de a treia trepte este astfel proiectat incat viteza jetului de gaz evacuat din motor are o valoare constanta . Care este viteza finala a celei de a treia trepte a rachetei?

Fig.

Consideram volumul de control de forma unui cilindru, care se extinde de la pamant pana mult in fata rachetei. Volumul de control va contine racheta, combustibilul si tot materialul evacuat. Impulsul sistemului format din racheta, combustibilul si materialul evacuat ramane constant, in conditiile in care nu exista forta exterioara care actioneaza asupra volumului de control:

Notam:

masa rachetei (treapta a treia)

masa combustibilului din racheta la un moment dat

masa initiala a combustibilului din racheta

rta de modificare a masei combustibilului din racheta

viteza rachetei

viteza jetului de gaz evacuat de motorul rachetei

impulsul rachetei la momentul t

impulsul combustibilului evacuat pana la momentul t.

Impulsul sistemului care se conserva in timp este:

Mai departe:

Dupa un calcul matematic elementar obtinem:

Dar si, ca atare, relatia anterioara se poate scrie:

Aceasta ecuatie diferentiala poate fi integrata de la la pana la , atunci cand intregul combustibil s-a consumat . Viteza finala este viteza celei de a treia trepte a rachetei:

si

.