Bazele matematice ale modelelor de cascada intranucleara

Bazele matematice ale modelelor de cascada intranucleara

Se considera ca modelele de cascada intranucleara reprezinta un "truc" numeric pentru rezolvarea ecuatiei Boltzmann, in ipoteza unor fluide diluate (de obicei, gaze). Prin aceasta, modelele de cascada intranucleara sunt legate de teoriile de transport.

Pentru rezolvare se are in vedere construirea unor functii de distributie. Aceste functii merg de la functii de distributie uniparticula, la functii de distributie de A particule. Aceste functii respecta conditii de normare legate de numarul de nucleoni implicati in ciocnirea considerata. De aceea, modelele de cascada intranucleara necesita abordarea unor probleme specifice teoriei mai multor corpuri. Trebuie subliniat aici ca stabilirea numarului de "corpuri" implicate (a numarului corect de grade de libertate, altfel spus) este o alta problema de interes in modelele de cascada intranucleara. Energia de ciocnire poate fi un suport in stabilirea numarului de grade de libertate [luarea in considerare a structurii nucleare (nucleoni, mezoni) sau a structurii subnucleare (cuarci si gluoni)]. Alte probleme de interes - in stransa legatura cu energia de ciocnire - sunt cele referitoare la modul de tratare (clasic, cuantic, teorie de camp - de exemplu) si la tipul de echilibru termodinamic considerat (global, local sau stare de neechilibru).

Tratarea unui sistem de A nucleoni care interactioneaza se poate face folosind potentiale de interactie in cadrul teoriei Schrödinger. Fie un hamiltonian de A corpuri de forma:

. (III.51)

T_j sunt energiile cinetice ale particulelor din sistem, iar V_jk sunt potentialele de interactie biparticula.

Introducand matricile de densitate pentru sisteme de n corpuri, r_n, se poate scrie un sistem de ecuatii echivalente cu ecuatia Schrödinger, anume:

, (III.52)

, (III.53)

. (III.54)

Trebuie mentionat faptul ca simbolul Tr_(k) indica faptul ca urma este considerata pe gradele de llibertate ale celei de a k-a particule. Pentru fiecare matrice de densitate r_k au fost indicate explicit gradele de libertate.

În functie de posibilitatile de calcul avute la dispozitie, de numarul de nucleoni implicati in ciocnire, de energia de ciocnire si de precizia dorita ierarhia data de ecuatiile (III.52)-(III.54) este trunchiata corespunzator. Ce a mai folosita dintre truncheri este urmatoarea:

, (III.55)

unde A₁₂ este operatorul de antisimetrizare. Ecuatia (III.52) se poate scrie, in aceasta alegere, astfel:

. (III.56)

O alta alegere pentru trunchiere este aceea in care se neglijeaza r si se presupune ca matricea de densitate pentru sisteme de doua corpuri, r , este - la un anumit timp t_o - produsul matricilor de densitate pentru sisteme de un singur corp, r . La un moment de timp ulterior, t, matricea de densitate pentru sisteme de doua copruri, r , va include corelatii care sunt datorate numai interactiei. Solutia pentru matrice de densitate pentru sisteme de doua corpuri, la timpul t, se poate scrie in forma urmatoare:

. (III.57)

Luand in considerare relatia (III.55), aproximatia ca r (1,2,t_o) este necorelata si considerand r numai in ordinul intai al dezvoltarii in raport cu V₁₂ se obtine:

. (III.58)

În relatia de mai sus s-a folosit limita pentru a se putea introduce teoria imprastierii, precum si conditii la margine pentru unda de iesire ("outgoing"), prin energia e. E₁₂ poate fi privita va energia starii necorelate asupra careia actioneaza operatorul .

Aproximatia data de relatia (III.58) se aplica numai in limita cuplajului slab. Aceasta limita implica potentiale foarte mici si timpi de ciocnire mult mai mici decat timpul asociat drumului liber mediu dintre ciocniri. Pe baza acestor consideratii ecuatia (III.52) se poate scrie astfel:

(III.59)

În relatia de mai sus campul mediu este dat de expresia urmatoare:

. (III.60)

Deoarece functiile Green care apar in ecuatiile de mai sus se pot exprima prin relatii de forma:

, (III.61)

ecuatia (III.58) se poate scrie - tinand seama numai de partea imaginara si de reperzentarea Wigner a matricilor de densitate - in forma urmatoare:

(III.62)

În ecuatia (III.62) s-a folosit notatiile:

, (III.63)

. (III.64)

. (III.65)

S-a folosit, de asemenea, campul mediu Hartree-Fock in reprezentarea Wigner, anume:

. (III.66)

În relatiile anterioare au fost neglijate derivatele de ordin superior in campul nuclear mediu. În plus, relatia (III.62) reprezinta o ecuatie de transport pentru sisteme nucleare. O astfel de ecuatie este considerata o ecuatie "buna", chiar daca se considera de catre unii autori ca in cazul materiei nucleare situatia se afla peste limita de dilutie considerata in obtinerea acestei ecuatii. Se are in vedere faptul ca in interactii tari particulele care se ciocnesc in mod repetat una cu cealalta, in timp ce energia lor se poate modifica datorita fondului creat de particulele care nu sunt implicate intr-o anumita interactie, in acord cu teoria Brueckner a materiei nucleare. Pentru a lua in considerare efectele mediului asupra imprastierii particulelor si pentru pastra marimile in limita localizarii temporale se foloseste matricea Brueckner, G

. (III.67)

Ea inlocuieste interactia simpla V₁₂ si include energiile uniparticula care se schimba de la punct la punct:

, (III.68

unde Q_ij este operatorul Pauli care actioneaza asupra starilor intermediare i,j.

Pentru rezolvarea acestei probleme au mai fost propusa flosirea aproximatiilor de denistate locala În acest caz se poate scrie

, (III.69)

, (III.70)

. (III.71

Campul nuclear uniparticula U_B se calculeaya pentru o materie nucleara uniforma la densitate r si temperatura T, in acord cu teoria Brueckner a materiei nucleare

Ecuatiile de transport pentru sisteme nucleare, date de relatiile (III.62), (III.67)-(III.71), au fost obtinute, exceptand procesele de producere de particule, in urmatoarele ipoteze: (a) interactii descrise de potentiale; (b) imprastieri de doua corpuri; (c) absenta corelatiilor de ordin superior; (d) perechile de nucleoni care se ciocnesc nu sunt corelate. În cazul tratarii cuantice nu se iau in considerare efectele de retardare. Nu toate ipotezele pot fi pastrate cu cresterea energiei. De exemplu, ipoteza (c) nu este valabila la densitati mari si energii incidente mari. Pentru rezolvarea unor situatii de acest tip s-au propus de-a lungul timpului diferite solutii. În anumite situatii se pot introdece timpi relativi care determina termenul de ciocnire sa devina nelocal De asemenea, se poate introduce o functie de distributie cu caracter mai general. Astfel, in afara dependentelor obisnuite - de pozitie, de impuls si de timp - se poate introduce dependenta de frecventa, n. Se foloseste si conceptul de cuasiparticula, deoarece pentru aceasta energia nu este complet determinata la orice timp t, dar este centrata in jurul valorii . Bazele fizice ale conceptului de cuasiparticula sunt legate de faptul ca intre ciocniri particulele nu au viteze atat de mari pentru a considera comportari asimptotice ale acestora.

De aceea, se poate afirma ca in modelele de cascada intranucleara se pot folosi ecuatii de transport pentru sisteme nucleare. La tratarea problememlor specifice fiecarei ciocniri nucleare trebuie luate in considerare, in primul rand, aspectele legate de efectele campului nuclear mediu si de efectele de compresie asociate acestuia. Cu alte cuvinte, trebuie considerata cu atentie dinamica ciocnirilor nucleare la energii intermediare si inalte. În general, tratarea campului nuclear mediu implica folosirea de traiectorii diverse intre doua ciocniri succesive, de la traiectorii liniare la traiectorii curbilinii. Acest lucru este posibil in tratari de tipul teoriei Vlasov-Uenling-Uhlenbeck sau teoriei Vlasov-Landau

Exista, de asemenea, dificultati specifice fiecarei metode de simulare folosite pentru rezolvarea ecuatiei de transport. Evaluarea termenului de ciocnire prin metode Monte Carlo implica, in general, un numar mare de ciocniri. De aceea, in unele variante de model de cascada intranucleara in care folosesc cuasiparticule se inlocuieste un nucleon prin N particule - cu pondere 1/N - care interactioneaza cu o sectiune eficace s/N, in loc de s

O alta problema importanta a modelelor de cascada intranucleara este stabilirea functilor de distributie de mai multe corpuri. Pentru aceasta este necesara folosirea unor ecuatii de transport mai complicate si a unor simulari adecvate. Ele pot avea legaturi directe cu unele marimi fizice de interes. De exemplu, functia de distributie de doua corpuri, cu impuls relativ mic, poate oferi informatii asupra unor posibile efecte de formare de sisteme nucleare de mai multi nucleoni ("clusterizare") sau a unor corelatii dinamice.