CINEMATICA RIGIDULUI

1. MISCAREA GENERALA A RIGIDULUI

Miscarea rigidului este determinata cand se cunosc expresiile generale, ca functii de timp, pentru vectorul de pozitie, viteza si acceleratia unui punct oarecare M al rigidului, in raport cu un punct O₁, presupus fix.

Pentru efectuarea studiului se alege un sistem de referinta admis fix , de versori si un sistem de referinta mobil solidar cu corpul in miscare, de versori (fig.1). Alegerea punctului O ca origine a sistemului mobil este arbitrara.

Vectorul de pozitie al punctului M, fata de sistemul fix este iar fata de sistemul mobil este . Pozitia originii sistemului mobil fata de sistemul fix este definita de vectorul . Se poate scrie relatia:

(1)

Ecuatia (1) poate fi exprimata si ca o ecuatie vectoriala functie de timp:

(2)

Vectorul este o functie vectoriala de timp, continua, uniforma si derivabila de cel putin doua ori.

Vectorul are modulul constant si directia variabila, deoarece distanta dintre punctele O si M nu se modifica, conform ipotezei rigiditatii corpului. In consecinta, proiectiile x, y, z ale acestui vector, pe axele sistemului de referinta mobil sunt constante. Versorii sunt functii vectoriale de timp deoarece isi schimba in timp pozitia, odata cu axele pe care le caracterizeaza.

Un vector functie de timp se exprima cu ajutorul a 3 functii scalare de timp (proiectiile pe axele sistemului cartezian). Prin umare, conform relatiei (2) vectorul se exprima cu 12 functii scalare de timp, care provin de la marimile vectoriale: . Cele 12 functii scalare nu sunt independente, deoarece pot fi scrise 6 relatii specifice, datorita faptului ca versorii sunt versorii unui sistem de axe triortogonal.

(3)

(4)

Rezulta ca vectorul poate fi exprimat cu ajutorul a 6 functii scalare de timp, independente: 3 provin de la vectorul , care defineste pozitia originii sistemului de referinta mobil, in raport cu cel fix iar 3 provin de la versorii , care dau orientarea sistemului mobil fata de cel fix.

S-a demonstrat astfel si pe cale cinematica, faptul ca un rigid liber in spatiu are 6 grade de libertate.

1.2. DISTRIBUTIA DE VITEZE

Pentru calculul vitezei punctului M, arbitrar ales se deriveaza in raport cu timpul relatia (1):

(5)

unde:

(6)

reprezinta viteza originii O a sistemului mobil, din miscarea fata de sistemul fix.

(7)

reprezinta viteza punctului M, solidar cu sistemul mobil.

Pentru calculul derivatelor in raport cu timpul ale versorilor se deriveaza in raport cu timpul, mai intai, relatiile (3) si (4).

(8)

(9)

Pentru expresiile scalare care intervin in (9) se introduce conventia de a fi considerate ca proiectii pe axele sistemului , ale unui vector arbitrar .

(10)

Pentru scrierea derivatelor versorilor in raport cu timpul se are in vedere scrierea, in general, a unui vector prin proiectii pe axele de versori corespunzatori.

(11)

Avand in vedere, relatia (11) si rezultatele din (8), respectiv (10), derivatele versorilor se pot scrie astfel:

(12)

numite relatiile Poisson.

Putem exprima derivata vectorului , introducand relatiile Poisson (12) in relatia (7).

(13)

Introducand relatiile (6) si (13) in relatia (5) rezulta:

(14)

Relatia (14) se numeste relatia Euler pentru distributia de viteze a rigidului. Distributia de viteze se exprima cu ajutorul a doua functii vectoriale de timp, si .

Componentele pe axele sistemului mobil, ale vitezei se obtin din dezvoltarea relatiei (14)

(15)

1.3. DISTRIBUTIA DE ACCELERATII

Pentru calculul acceleratiei a punctului M apartinand rigidului, care efectueaza o miscare generala, se deriveaza in raport cu timpul, viteza acestuia data de relatia (14).

(20)

Acceleratia punctului O fata de reperul fix este:

(21)

Notand cu - un vector arbitrar, obtinut ca derivata in raport cu timpul a vectorului si introducand relatia (13), rezulta

(22)

Ecuatia (22) este cunoscuta si sub numele de formula Euler pentru distributia de acceleratii

Componentele acceleratiei pe axele reperului mobil se determina exprimand analitic produsele vectoriale din relatia Euler (22), in care vectorii si , au expresiile:

, (23)

Rezulta:

(24)

2.3. MISCAREA RIGIDULUI CU AXA FIXA (DE ROTATIE)

Un rigid executa o miscare de rotatie (sau miscare de rigid cu axa fixa), daca doua puncte ale sale (adica o axa) raman fixe in spatiu in tot timpul miscarii. Dreapta determinata de cele doua puncte fixe O₁ si O₂ ale rigidului poarta numele de axa de rotatie (fig.4.a). Punctele rigidului in miscare de rotatie descriu cercuri dispuse in plane perpendiculare pe axa de rotatie O₁O₂, cu centrele pe axa de rotatie.

Pentru simplificarea studiului, originile celor doua sisteme de referinta se considera in acelasi punct, si axele coincid cu axa de rotatie.

Pozitia rigidului in timp poate fi complet precizata cu ajutorul unghiului , unghi format de axa Ox a sistemului mobil cu axa O₁x₁ a sistemului fix si care constituie legea de miscare a rigidului. Rigidul in miscare de rotatie are un singur grad de libertate.

Aceasta miscare particulara se obtine din miscarea generala a rigidului cu simplificarile mentionate mai sus:

(36)

In consecinta:

(37)

Cum componenta vectorului , pe directia Oz este definita de relatia:

(38)

este necesar sa se calculeze derivata in raport cu timpul a versorului :

Variatia in timp, ca directie, a versorilor si (fig.4.b) este:

(39)

Derivata in raport cu timpul a versorului este:

(40)

si:

(41)

rezulta:

(42)

Se poate da un sens fizic vectorului : este un vector care caracterizeaza miscarea de rotatie a rigidului, fapt pentru care este numit vector viteza unghiulara. Are ca suport axa de rotatie, sensul fiind dat de regula surubului drept, iar modulul, dat de derivata in raport cu timpul a legii de miscare, .

In mod analog se poate demonstra ca:

(43)

(44)

Si in acest caz se poate da un sens fizic vectorului . Intrucat reprezinta derivata in raport cu timpul a vectorului viteza unghiulara , el se umeste vector acceleratie unghiulara. Are ca suport axa de rotatie, sensul dat de regula surubului drept si modulul dat de derivata vitezei unghiulare, .

2.3.1. DISTRIBUTIA DE VITEZE

Distributia de viteze se stabileste pornind de la formula generala Euler (14) si tinand seama de particularitatile acestei miscari date de relatia (36):

(45)

Expresia analitica a vitezei se obtine din relatia (45), exprimand vectorii prin componentele pe axe:

(46)

Rezulta componentele pe axe ale vitezei:

(47)

Proprietatile campului de viteze

punctele situate pe axa de rotatie au viteze nule.

vitezele sunt continute in plane perpendiculare pe axa de rotatie, deoarece v_z=0.

vitezele punctelor situate pe o dreapta perpendiculara pe axa de rotatie sunt perpendiculare pe aceasta dreapta si modulele lor sunt direct proportionale cu distanta de la punct la axa de rotatie (fig.5.a).

2.3.2. DISTRIBUTIA DE ACCELERATII

Daca in formula Euler (22) privind distributia de acceleratii se fac particularizarile specifice miscarii de rotatie (36) se obtine:

(48)

care reprezinta campul de acceleratii al unui rigid in miscare de rotatie.

Expresiile analitice ale acceleratiei se obtin din relatia (48), exprimand vectorii prin componentele pe axe:

(49)

Rezulta componentele pe axe ale acceleratiei:

(50)

Proprietatile campului de acceleratii sunt analoage cu cele ale campului de viteze, cu singura deosebire ca acceleratiile sunt inclinate fata de o dreapta perpendiculara pe axa de rotatie (fig.5.b) sub acelasi unghi j, dat de relatia:

Observatii

1.     Studiul vitezelor si acceleratiilor poate fi efectuat si cand se considera , insa nici una dintre axele triedrului nu constituie axa de rotatie. In acest caz vectorii viteza si acceleratie unghiulara au expresiile:

(51)

2.     Daca , miscarea se numeste uniforma, iar daca , miscarea se numeste uniform variata. Daca , miscarea se numeste accelerata, iar daca , miscarea se numeste incetinita (decelerata).

3.     In tehnica, pentru masinile rotative se da turatia n exprimata in rot/min. Legatura dintre viteza unghiulara si turatie este data de relatia:

(52)

2.3.3. TRANSMITEREA MISCARII DE ROTATIE

Transmiterea miscarii de rotatie se realizeaza prin:

roti dintate si roti cu frictiune

curele si lanturi

Se considera doua roti (dintate sau cu frictiune) cu axele paralele: roata motoare O₁, de raza R₁ cu viteza unghiulara w₁ si roata condusa O₂, de raza R₂ cu viteza unghiulara w₂ (fig.6).

Se defineste raportul de transmitere al miscarii ca fiind raportul vitezelor unghiulare ale rotii motoare si celei conduse:

(53)

Raportul de transmitere al miscarii poate fi exprimat si functie de turatiile celor doua roti. Avand in vedere relatia dintre viteza unghiulara, exprimata in rad/s sau s^-1 si turatia exprimata in rot/min - , rezulta:

(54)

Conditia de transmitere a miscarii (sa nu existe alunecare intre cele doua roti) este ca viteza punctului de contact dintre roti, exprimata din miscarea fiecareia sa fie aceasi:

(55)

Raportul vitezelor unghiulare ale celor doua roti pote fi exprimat si functie de raportul razelor acestora:

(56)

Raportul de transmitere al miscarii este:

(57)

Pentru rotile dintate, raportul de transmitere al miscarii poate fi exprimat si in functie de numarul de dinti ale celor doua roti. Conditia de angrenare este ca modulul celor doua roti dintate, definit de relatia (58) sa fie acelasi:

(58)

unde p este pasul danturii, definit ca fiind lungimea arcului dintre doua flancuri succesive, masurat pe cercul de rostogolire.

Inmultind ambii termeni ai relatiei (58) cu numarul de dinti z_i si cum produsul reprezinta lungimea cercului de rostogolire, obtinem:

(58)

si cu ajutorul careia poate fi exprimat raportul razelor celor doua roti:

(59)

In cazul transmiterii miscarii cu roti dintate, raportul de transmitere este:

(60)

Pentru o transmisie prin lanturi sau curele, rotile avand axele paralele, conditia de transmitere a miscarii este ca vitezele periferice ale celor doua roti sa fie egale, intrucat in punctele de contact dintre curea sau lant si roti nu exista alunecare (fig.7).

Raportul de transmitere al miscarii este dat de relatia (57):

Pentru o transmisie cu "n" roti cu arbori paraleli, raportul de transmitere este:

(61)

Daca intre cei doi arbori ai rotii motoare si conduse intervin arbori intermediari, rapoartele de transmitere dintre doua roti consecutive devin:

(62)

Efectuand produsele termenilor din fiecare membru, rezulta:

(63)

Deci:

(64)

Raportul de transmitere total al unei transmisii cu "n" roti este produsul rapoartelor de transmitere intermediare.

Observatii:

pentru transmiterea miscarii de rotatie prin roti cu axele concurente, conditia de transmitere a miscarii consta in egalitatea vitezelor punctelor de contact apartinand celor doua roti;

daca prin transmiterea miscarii, sensul de rotatie al arborelui condus este acelasi cu cel al arborelui motor, raportul de transmitere se considera pozitiv iar daca este de sens contrar se considera negativ.

2.5. MISCAREA PLAN PARALELA

Un rigid efectueaza o miscare plan paralela, cand trei puncte necoliniare ale sale raman tot timpul miscarii, continute in acelasi plan fix din spatiu

In cazul in care rigidul se reduce la o placa de grosime neglijabila, care este continuta in planul fix, miscarea se numeste plana

Pentru studiul miscarii se considera un sistem de referinta fix si un sistem de referinta mobil atasat rigidului , cu axele (fig.14.a). Planul contine planul mobil, definit de cele trei puncte necoliniare si obtinut ca intersectie a rigidului cu planul fix . Studiul miscarii rigidului poate fi redus la studiul miscarii planului mobil (fig.14.b).

Pozitia rigidului la un moment dat este determinata, de componentele vectorului de pozitie , ale originii sistemului de referinta mobil, in raport cu cel fix, si de unghiul , determinat de axa a sistemului mobil si axa a sistemului fix. Pentru stabilirea pozitiei rigidului la un moment dat sunt necesare trei functii scalare de timp, deci in miscarea plan paralela, un rigid are 3 grade de libertate: .

Miscarea plan paralela se obtine din miscarea generala a rigidului in care sunt introduse umatoarele simplificari impuse de aceasta miscare: vectorii si sunt continuti in planul miscarii si .

(79)

(80)

(81)

Vectorii si sunt vectori de directie constanta, perpendiculari pe planul mobil , ca la miscarea de rotatie. Vectorii si , respectiv si sunt ortogonali:, .

9.2.5.1.         DISTRIBUTIA DE VITEZE

Studiul analitic

Distributia de viteze se stabileste pornind de la formula generala Euler (14) si tinand seama de particularitatile acestei miscari date de relatiile (79) si (81). Se obtine:

(82)

Componentele vitezei pe axele triedrului mobil vor fi deci:

(83)

Distributia de viteze, specifica miscarii plan paralele poate fi considerata ca rezultand din compunerea unui camp de viteze specific translatiei, cu un camp de viteze specific rotatiei, in jurul unei axe perpendiculare pe planul in care s-ar efectua translatia.

Studiul vectorial

Se considera doua puncte M si N apartinand planului mobil Oxy (fig.15). Pentru a stabili o relatie intre vitezele celor doua puncte se aplica relatia (14) pentru exprimarea vitezelor acestora:

(84)

Scazand membru cu membru se obtine:

(85)

Cum se deduce relatia Euler pentru distributia de viteze in miscarea plan-paralela:

(86)

sau:

(87)

unde cu (intrucat ) reprezinta viteza punctului N din miscarea fata de punctul M, ca si cand acesta ar fi fix.

2.5.2. CENTRUL INSTANTANEU DE ROTATIE

In miscarea plan paralela exista in permanenta un punct apartinand planului mobil , a carui viteza este nula. Considerand punctul I(x h , a carui viteza este nula , coordonatele acestui punct, notate cu x si h, se obtin anuland componentele vitezei exprimate cu relatiile (83):

(88)

(89)

Se deduce ca punctele de viteza nula sunt situate pe o dreapta D care trece prin I(x h si este perpendiculara pe planul . Axa D si punctul I nu sunt fixe, deoarece marimile care definesc coordonatele x si h, respectiv, sunt functii de timp. Dreapta D se numeste de axa instantanee de rotatie, iar punctul I din planul Oxy, de coordonate x si h, este centrul instantaneu de rotatie.

Locul geometric al centrului instantaneu de rotatie in raport cu sistemul mobil se numeste centroida mobila sau rostogolitoare, iar locul geometric al centrului instantaneu de rotatie in raport cu sistemul fix se numeste centroida fixa, sau baza

Baza si rostogolitoarea sunt doua curbe plane, tangente in centrul instantaneu de rotatie I, in timpul miscarii centroida mobila rostogolindu-se fara alunecare pa centroida fixa.

Considerand ca origine a sistemului mobil, punctul I, viteza unui punct oarecare M, conform relatiei Euler se va scrie:

(90)

cum , rezulta:

(91)

Formal, distributia de viteze in miscarea plan paralela se determina ca o distributie de viteze corespunzatoare unei miscari de rotatie, in jurul centrului instantaneu de rotatie.

Determinarea centrului instantaneu de rotatie

1. Din campul de viteze al placii, se cunoaste viteza a unui punct M (fig.16). Centrul instantaneu de rotatie este situat pe perpendiculara dusa din punctul M, pe suportul vitezei , de acea parte a vitezei pentru care sensurile vitezei unghiulare si ale vitezei punctului sunt corelate. Marimea segmentului IM este dat de relatia:

2. Din campul de viteze, se cunosc directiile vitezelor a doua puncte M₁ si M₂ apartinand placii. (fig.17) Centrul instantaneu de rotatie se afla la intersectia perpendicularelor duse din punctele M₁ si M₂ pe directiile vitezelor celor doua puncte.

3. Din campul de viteze, se cunosc vitezele a doua puncte ale placii M₁ si M₂, perpendiculare pe dreapta M₁M₂. Centrul instantaneu de rotatie se afla la intersectia dreptelor care trec prin originea si extremitatea vectorilor viteza ale celor doua puncte (fig.18.a si fig.18.b). Daca vitezele celor doua puncte sunt egale, centrul instantaneu de rotatie este la infinit, viteza unghiulara a placii este nula, placa executand o miscare de translatie (fig.18.c).

4. Placa plana are o miscare de rostogolire fara alunecare, pe o curba din planul ei (fig.19). Centrul instantaneu de rotatie este determinat de punctul de tangenta I, al placii plane cu curba (singurul punct al placii plane de viteza nula).

2.5.3. DISTRIBUTIA DE ACCELERATII

Studiul analitic

Utilizand relatia Euler pentru acceleratii (22) si tinand seama de particularitatile acestei miscari, date de relatiile (79) si (81) obtinem:

(92)

din care rezulta componentele acceleratiei:

(93)

Distributia de acceleratii, specifica miscarii plan paralele poate fi considerata ca rezultand din compunerea unui camp de acceleratii specific translatiei, cu un camp de acceleratii specific rotatiei, in jurul unei axe perpendiculare pe planul in care s-ar efectua translatia.

Studiul vectorial

Se considera doua puncte M si N apartinand planului mobil Oxy (fig.20). Pentru a exprima acceleratia punctului N - in functie de acceleratia punctului M - , cunoscuta, se vor scrie acceleratiile celor doua puncte cu relatia (22) care poate fi pusa si sub forma:

(94)

intrucat:

Astfel:

(95)

Scazand membru cu membru, relatiile (95) rezulta:

(96)

Cum se deduce relatia Euler pentru distributia de acceleratii in miscarea plan-paralela:

(97)

sau:

(98)

unde - cu (intrucat ) este acceleratia tangentiala a punctului N din miscarea fata de punctul M, ca si cand acesta ar fi fix si este acceleratia normala a punctului N din miscarea fata de punctul M, ca si cand acesta ar fi fix.

10.1. MISCAREA RELATIVA A PUNCTULUI

10.1.1. DERIVATA ABSOLUTA SI RELATIVA A UNUI VECTOR

Se considera sistemul de referinta fix O₁x₁y₁z₁, de versori si sistemul de referinta mobil Oxyz, de versori precum si un vector care poate fi scris prin proiectii pe cele doua sisteme de axe, astfel:

(10.1)

Derivand in raport cu timpul, relatia (10.1), obtinem:

(10.2)

Termenul din membrul stang al egalitatii (10.2) reprezinta derivata in raport cu timpul a vectorului , exprimat prin proiectii pe axele sistemului de referinta fix si se numeste derivata absoluta:

(10.3)

Prima paranteza din membrul drept reprezinta derivata in raport cu timpul a vectorului , exprimat prin proiectii pe axele sistemului de referinta mobil, ca si cand acesta ar fi fix (versorii nu-si modifica directia) si se numeste derivata locala sau derivata relativa:

(10.4)

Introducand relatiile Poisson (12) in paranteza a doua din membrul drept al relatiei (10.2), rezulta:

(10.5)

Tinand seama de relatiile (10.3), (10.4) si (10.5), relatia (10.2) devine:

(10.6)

si exprima derivata absoluta a unui vector definit prin proiectiile sale pe axele triedrului mobil.

10.1.2. DEFINIREA MISCARILOR

Se considera un sistem de referinta fix           O₁x₁y₁z₁, de versori si un sistem de referinta mobil Oxyz, de versori . Pozitia unui punct M in raport cu triedrul fix este definita de vectorul de pozitie , in raport cu triedrul mobil, de vectorul de pozitie , pozitia triedrului mobil in raport cu triedrul fix fiind definita de vectorul de pozitie (fig.10.1).

Miscarea absoluta este miscarea punctului in raport cu reperul fix.

Miscarea relativa este miscarea punctului in raport cu reperul mobil.

Miscarea de transport este miscarea punctului solidar cu reperul mobil, din miscarea acestuia in raport cu triedrul fix. Sistemul de referinta mobil se mai numeste si transportor.

Vitezele si acceleratiile punctului din miscarile definite mai sus se numesc: viteza absoluta, viteza relativa si viteza de transport, respectiv, acceleratie absoluta, acceleratie relativa si acceleratie de transport.

Viteza si acceleratia de transport sunt date de relatiile (14) si (22), cunoscute din studiul miscarii rigidului:

(10.7)

10.1.3. COMPUNERA VITEZELOR

Relatia dintre vectorii ce exprima pozitia punctului M, in raport cu cele doua sisteme de referinta este:

(10.8)

Derivand aceasta relatie in raport cu timpul, obtinem:

(10.9)

Avand in vedere ca reprezinta viteza originii tredrului mobil din miscarea fata de triedrul fix si ca vectorul este definit prin proiectiile sale pe axele triedrului mobil, deci i se aplica regula de derivare (10.6), se obtine:

(10.10)

unde:

reprezinta viteza punctului M, in raport cu triedrul fix si se numeste viteza absoluta;

reprezinta viteza punctului M, in raport cu triedrul mobil si se numeste viteza relativa;

reprezinta viteza punctului M, solidar cu triedrul mobil (transportorul), din miscarea acestuia in raport cu triedrul fix si se numeste viteza de transport.

Cu aceste notatii, relatia (10.10) devine:

(10.11)

adica: viteza absoluta a unui punct este egala cu suma vectoriala dintre viteza relativa si viteza de transport a punctului.

10.1.4. COMPUNEREA ACCELERATIILOR

Derivand in raport cu timpul, relatia (10.10) si avand in vedere ca reprezinta acceleratia originii tredrului mobil din miscarea fata de triedrul fix, , vectorii si sunt definiti prin componentele lor pe axele triedrului mobil, deci li se aplica regula de derivare (10.6), se obtine:

(10.12)

Grupand convenabil termenii se poate scrie:

(10.13)

unde:

reprezinta acceleratia punctului M, in raport cu triedrul fix si se numeste acceleratie absoluta;

reprezinta acceleratia punctului M, in raport cu triedrul mobil si se numeste acceleratie relativa;

reprezinta acceleratia punctului M, solidar cu triedrul mobil (transportorul), din miscarea acestuia in raport cu triedrul fix si se numeste acceleratie de transport;

reprezinta o acceleratie ce nu apartine vreunei miscari; exprima influenta simultana a miscarii de rotatie a sistemului mobil si a miscarii relative a punctului asupra acceleratiei absolute, numidu-se acceleratie complementara sau acceleratie Coriolis.

Cu aceste notatii, relatia (10.13) devine:

(10.14)

adica: acceleratia absoluta a unui punct este egala cu suma vectoriala dintre acceleratia relativa acceleratia de transport si acceleratia Coriolis a punctului.

Observatie: Conform definitiei, acceleratia Coriolis este produsul vectorial al vectorilor si , . Aceasta acceleratie devine nula, cand:

, adica triedrul mobil executa o miscare de translatie in raport cu triedrul fix;

, vectorul ramane in permanenta paralel cu vectorul .