Clase de modele hidrodinamice

Clase de modele hidrodinamice

1. Consideratii generale

În cazul modelelor folosite pentru studiul dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste trebuie avuta totdeauna in vedere necesitatea ca ipotezele fundamentale sa fie in acord. cat mai mult posibil, cu experimentul considerat. În multe experimente de interes geomatria ciocnirii si energia fasciculului incident nu permite sa se ajunga la un numar mare de nucleoni participanti, deci la un numar suficient de grade de liberatate. O alta problema de interes este cea a timpului cat duraeza ciocnirea si a scalelor de timp asociate. Multe dintre modelele discutate pana in prezent folosesc ipoteza echilibrului termodinamic global si scale de timp adecvate pentru realizarea lui, dar conditiile sunt dificl de indeplinit in cele mai multe dintre experimente. De aceea, aplicarea conceptelor statistico-termodinamice in mod sistematic este dificila in majoritatea situatiilor experimentale de interes. Aceasta problema, ridicata de la inceputurile modelelor ststistico-termodinamice (a se vedea capitolul al XV-lea din curs), a fost rezoilvata partial de modelele hidrodinamice. Primul model hidrodinamic a fost introdus, asa cum s-a mentionat anterior, de catre Landau, in anul 1953.

Modelul Landau - asa cum s-a mai mentionat - presupune ca echilibrul termic este atins numai local si numai in prima faza a procesului si admite existenta unor interactii apreciabile intre particulele generate. În cea de-a doua faza a procesului, sistemul intermediar se extinde pe o directie paralela cu directia de miscare a particulei incidente, particulele finale fiind emise printr-un proces asemanator cu curgerea unui fluid, a carui comportare poate fi descrisa prin ecuatia Navier - Stokes. Pentru multiplicitatea particulelor generate in proces, modelul Landau obtine un rezultat identic cu cel al teoriei statistice a lui Fermi. Modelul Landau explica bine distributiile unghiulare si impulsurile transversale observate experimental. Viteza longitudinala a fluidului este mult mai mare decat viteza lui transversala. De aici rezulta impulsuri transversale mici pentru particulele din starea finala, in concordanta cu rezultatele experimentale.

De-a lungul timpului au fost propuse diferite modele hidrodinamice pentru descrierea ciocnirilor nucleon-nucleon, nucleon-nucleu si nucleu-nucleu la energii intermediare si inalte. Ele pot fi clasificate dupa diferite criterii. Unul dintre ele este cel determinat de modul de obtinere a ecuatiilor hidrodinamice specifice. Conform acestui criteriu modelele hidrodinamice pot fi impartite in doua categorii mari, anume:

(i) modele ce folosesc ecuatia Boltzmann pentru obtinerea ecuatiilor hidrodinamice;

(ii) modele ce folosesc teoria Hartree-Fock dependenta de timp pentru obtinerea ecuatiilor hidrodinamice

În ambele situatii, stabilirea echilibrului local instantaneu trebuie presupusa ca fiind atinsa rapid pentru a se atinge regimul hidrodinamic.

2. Modele care folosesc ecuatia Boltzmann

pentru obtinerea ecuatiilor hidrodinamice

Ecuatia Boltzmann descrie evolutia in timp a unei functiei de distributie uniparticula, :

, (III.119)

unde S este termenul de ciocnire.

Forma termenului de ciocnire este urmatoarea:

(III.120)

unde w reprezinta probabilitatea de realizare a unei ciocniri intre doua particule cu viteze si , la un parametru de ciocnire b si un unghi azimutal j, din care rezulta doua particule cu viteze si

Termenul de ciocnire impune introducerea unor ipoteze suplimentare; printre cele mai importante se numara urmatoarele:

- pentru a putea lua in seama numai interactii binare, sistemul trebuie sa fie suficient de diluat;

- drumul liber mediu al nucleonilor trebuie sa fie mic in raport cu distanta pe care functia de distributie uniparticula f variaza semnificativ;

- particulele sunt necorelate (ele 'uita' ciocnirile suferite anterior).

Ecuatiile hidrodinamice se obtin prin integrarea ecuatiei Boltzmann dupa viteza cu o pondere

(III.121)

Marimile din paranteze sunt marimi mediate dupa viteze. Pentru ponderea c s-au luat marimi ce sunt invarianti de ciocnire, anume: 1, si . Pentru aceste marimi se poate arata ca integrala din membrul drept al ecuatiei (III.121) se anuleaza. În final, se obtin urmatoarele trei ecuatii:

(III.122)

unde e este energia medie per particula, este tensorul tensiunilor, iar este fluxul de caldura.

Marimile anterioare se pot exprima prin relatiile de mai jos:

(III.123)

În relatiile de mai sus s-a folosit urmatoarea notatie

Setul de ecuatii (III.123) poate fi rezolvat numai daca si pot fi exprimate in functie de , si . Acest lucru este adevarat in ipoteza echilibrului local instantaneu. În acest caz functia de distributie este de tip Maxwell-Boltzmann sau Fermi - Dirac, pentru cazul general.

Se poate remarca faptul ca in sistemul de ecuatii (III.123) a disparut termenul de ciocnire. Din acest motiv, aveste ecuatii au un caracter mai general decat ecuatia Boltzmann (III.119), putand fi aplicate si sistemelor nediluate.

2. Modele care folosesc teoria Hartree-Fock

pentru obtinerea ecuatiilor hidrodinamice

Pentru introducerea modelelor de acest tip s-a luat in considerare ecuatia Hartree-Fock dependenta de timp [64], iar ciocnirile binare sunt luate in considerare prin ipoteza echilibrului local instantaneu. Ecuatia Hartree-Fock dependenta de timp se scrie in modul urmator:

(III.124)

Aici   este matricea densitate. Ea se obtine prin sumare pe toate starile ocupate si are expresia urmatoare:

. (III.125)

Functia de unda se poate descompune in modul urmator:

, (III.126)

cu si S campuri reale. Trebuie mentionat aici faptul ca acet tip de legatura dintre Hidrodinamica si Mecanica cuantica a fost propusa inca din anul 1926, de catre Madelung [4,14].

Campurile hidrodinamice pot fi scrise astfel:

, (III.127)

. (III.128)

Fie t energia cinetica interna. Ea se defineste in modul urmator:

. (III.129)

Folosind aceasta definitie se poate trece la separarea partii reale si partii imaginare din ecuatia (III.124). Se obtine expresia urmatoare (ecuatia (III.130)):

Prima dintre ecuatiile (III.130) are forma unei ecuatii hidrodinamice. A doua ecuatie trebuie sa fie prelucrata pentru a capata o astfel de forma. Pentru aceasta se separa potentialul intr-un termen de distanta scurta, dependent de densitate, si un termen de distanta lunga. Se obtie expresia de mai jos:

. (III.131)

Se introduce tensorul tensiunilor, definit prin relatia:

. (III.132)

În cazul in care se neglijeaza vascozitatea mediului nuclear, tensorul tensiunilor definit anterior contine numai presiunea scalara, presiune care este datorata fluctuatiilor termice. În final rezulta urmatoarea ecuatie de miscare:

. (III133)

Introducerea temperaturii necesita obtinerea unei a treia ecuatii. Se obtine in final ecuatia standard pentru conservarea energiei din hidrodinamica clasica.

Din analiza ecuatiilor hidrodinamice obtinute pe baza teoriei Hartree-Fock dependente de timp se observa ca modelele hidrodinamice care au la baza ecuatia Hartree-Fock dependenta de timp, desi mai dificil de tratat din punct de vedere matematic, permit introducerea fireasca a unor ipoteze si presupunerea unui mediu continuu prin folosirea densitatii de probabilitate din mecanica cuantica. Asa cum s-a mai mentionat ipoteza echilibrului local instantaneu este fundamentala pentru obtinerea ecuatiilor hidrodinamice.

3. Comentarii asupra informatiilor fizice

obtinute cu modele hidrodinamice

Ecuatiile hidrodinamice obtinute din ecuatia Boltzmann sau din ecuatia Hartree - Fock dependenta de timp trebuie sa fie completate cu o ecuatie de stare. De obicei, ecuatia de stare este data sub forma depenedentei energiei de legatura per nucleon de densitate si entropie. O expresie uzuala a ecuatiei de stare este urmatoarea:

  . (III.134)

unde reprezinta energia de legatura in absenta excitatiei termice (la enetropie nula). este considerata si energia necesara realizarii compresiei materiei nucleare fara incalzire. De aceea, doua forme mai des utilizate pentru sunt urmatoarele:

, (III.135)

. (III.136)

În relatiile de mai sus K_O este compresibilitatea materiei nucleare, iar este densitatea materiei nucleare in conditii normale.

Pentru a da o forma completa informatiei fizice care se poate obtine din ecuatiile prezentate pana acum ar fi necesara introducerea vascozitatii si termoconductivitatii materiei nucleare. Pentru ca aceste doua marimi nu sunt prea bine cunoscute, multe modele nu le iau in considerare.

Modelele hidrodinamice sunt folosite in special pentru descrierea ciocnirilor centrale simetrice, deoarece procesele centrale duc la un numar mare de ciocniri nucleon - nucleon, deci la o comportare hidrodinamica, in timp ce procesele periferice, cu un numar mai mic de ciocniri nucleon - nucleon, pot fi bine descrise intr-un model de tip cascada intranucleara.

Pentru ciocniri centrale la energii relativiste se poate intoduce ipoteza undei de soc ca mecanism de tip hidrodinamic pentru producerea de particule [143,144]. Se considera ca unda de soc este plata, iar sistemul se extinde rapid pe o directie perpendiculara pe directia de miscare a nucleului incident (proiectil). Apare o curgere laterala care este o consecinta a presupunerii realizarii echilibrului local instantaneu. Aceasta ipoteza permite o conversie rapida a impulsului de pe directia fasciculului incident (impulsul longitudinal) in impuls transversal. De aceea se poate considera curgerea laterala ca o metoda de detectare directa a echilibrului atins in reactie. Din pacate, ciocnirile centrale sau aproape centrale nu contribuie prea mult la sectiunea totala de reactie. În aceste conditii este necesara si studierea ciconirilor care se produc la parametrii de ciocnire intermediari. În cazul ciconirilor semicentrale si periferice apare o rotatie a zonei de compresie. Pentru parametri de ciocnire si mai mari se obtin in starea finala fragmente nucleare emise la unghiuri mici, ca si cum ar fi avut loc o reactie adanc inelastica. Acest efect se numeste efect de "salt" ("bounce-off"). Daca se face analiza distributiei energiei si densitatii in starea finala se observa trei zone distincte, anume: doua zone periferice de joasa temperatura si densitate mare, corespunzatoare fragmentelor ramase din proiectil si tinta, si o zona centrala foarte fierbinte si diluata, care este ramasita zonei de compresie. Modelele hidrodinamice confirma prin urmare imaginea participanti-spectatori, ca si celelalte tipuri de modele discutate pana in prezent.

În cazul ciocnirilor asimetrice, mecanismele de baza sunt aceleasi. Apar insa trasaturi caracteristice datorate contributiei mai mari a nucleonilor spectatori la geometria ciocnirii. Si in cazul ciocnirilor semicentrale si perifierice apar fenomene precum undele de soc, jeturile de materie nucleara, "improscarea" laterala sau efectul de "salt" ("bounce-off"). Exista o mai mare probabilitate a competitiei dintre diferitele mecanisme de producere de particule [100,101,145].