Determinarea caracteristicilor spatio-temporale ale sursei de particule. Consideratii teoretice

Determinarea caracteristicilor spatio-temporale ale sursei de particule. Consideratii teoretice

Exista diferite cai de determinare a caracteristicilor spatio-temporale ale sursei de particule. În cazul modelelor statistico-termodinamic de tip Fermi [68,69] si Hagedorn [70,71] se considera un sistem inchis intr-un volum V; sistemul respecta conditii periodice la capete. Pentru astfel de modele se face presupunerea ca rata de anihilare in orice stare N_π este data de probabilitate P_N(Ω), data de relatia:

P_N(Ω)=(Ω/V)^N , (II.83)

unde Ω este volumul de reactie; in volumul de reactie se presupune ca se produce amestecul statistic al starilor. Marimea P_N(Ω) este considerata probabilitatea de a gasi N pioni liberi in volumul de reactie si este definita prin relatia urmatoare:

, (II.84)

unde

. (II.85)

Pentru cazul N=2, cu doua particule identice, avind impulsurile si , probabilitatea corespunzatore, P₂(Ω), are un rol important. Folosind notatia Ψ(12) pentru aceasta probabilitate relatia (II.84) se poate scrie in forma urmatoare pentru cazul mentionat:

. (II.86)

Integrarea se face dupa cele doua variabile pe o sfera Ω=4πρ³/3, iar integrandul are urmatoarea expresie:

. (II.87)

Prin integrare se obtine, pentru o sursa de forma sferica, urmatoarea expresie a probailitatii definite de relatia (II.86):

. (II.88)

Probabilitatea Ψ(12), definita de relatia (II.86), respectiv, relatia (II.88), nu va mai depinde doar de marimea volumului de interactie Ω, ci si de forma. Trebuie mentionat aici faptul ca probabilitatea Ψ(12) pentru un model care considera o sursa sferica, cum este cea data de relatia (II.88), difera foarte putin de probabilitatea Ψ(12) obtinuta pentru cazul in care se presupune o forma gaussiana:

, (II.89.a)

cu

. (II.89.b)

În acest caz se integreaza de doua ori pe intreg spatiul. Calculele se pot simplifica inainte de a se trece la evaluarile numerice [66].

Descoperirea curgerii anizotropice transversale in ciocnirile nucleu-nucleu la energii relativiste (curgerii eliptice)a impus reevaluarea unor cai de determinare a caracteristicilor spatio-temporale ale sursei de particule cu luarea in considerare a efectului de curgere hidrodinamica a materiei nucleare. Determinarea volumului de ciocnire folosind efectul Hanbury-Brown - Twiss si metodele de calcul asociate permite compararea cu rezultatele obtinute prin alte metode, specifice modelelor hidrodinamice pentru ciocniri nucleare relativiste

Analiza efectului Hanbury-Brown si Twiss permite investigarea marimii sursei in mai multe dimensiuni . Acest lucru se poate face studiind dependenta functiei de corelatie, pe diferite componente ale impulsului perechii de particule considerate. Pentru ciocniri nucleare relativiste cele mai folosite perechi sunt cele de pioni, kaoni si protoni. În cele mai multe situatii de interes, analiza se face in sistemul de coordnate "exterior" ("long-side-out"; se considera ca "long" este directia impulsului, "out" este directia impulsului transversal al perechii de pioni, "side" este planul perpendicular pe directia "out"). Sistemul "exterior" este prezentat in Fig.II.3. Asupra unor aspecte legate de alegerea sistemului de coordonate se va mai reveni in curs.

y

p_t=p_t1+p_t2

p_t1 q_side

q

q_out

p_t2

x

Fig.II.3. Sistemul de coordonate "exterior"

Pentru deducerea razelor efective ale sursei cu luarea in considerare a contributiei curgerii la functia de corelatie se introduce o functie de corelatie de urmatoarea forma:

, (II.90)

unde este functia sursei, q = p₁-p₂ este 4-impulsul relativ si P=p₁+p₂ este 4-impulsul total al perechii; , p₁ si p₂ sint 4-impulsurile particuleor considerate (in cele mai multe cazuri, pioni). Considerind forma exacta a functiei de corelatie, se pot genera corectiile datorate geometriei sursei. Se foloseste functia de corelatie din relatia (II.90). Pentru considerarea corelatiei spatiu-impuls se presupune ca functia sursei nu este factorizata, adica:

. (II.91)

Marimea sursei masurate nu este marimea intregii surse, ci doar regiunea efectiva care emite particulele identice proprii considerate (se da lungimea omogenitatii).

Pentru efectuarea calculelor necesare in forma covarianta, in unele modele, se introduce 4-viteza sursei . În general, insa, se urmareste obtinerea unor relatii de calcul independente de model. De aceea, in cele mai multe cazuri de interes se lucreaza cu transformari Lorentz intre sisteme de referinta diferite. Scopul principal este stabilirea relatiilor dintre marimea sursei si functia de corelatie Hanbury-Brown - Twiss, functie masurata atunci cind sursa este in miscare.

Functia de corelatie este prin definitie raportul dintre densitatea invarianta biparticula si produsul densitatilor invariante uniparticula.

, (II.92)

unde prin prim (') s-au notat valorile coordonatelelor si ale impulsului in acest sistem [82-84].

În cadrul modelului termodinamic de "sfera fierbinte" (fireball), la fiecare parametru de ciocnire partile care se suprapun ale nucleului proiectil si ale nucleului tinta se amesteca si toata energia este convertita intr-o miscare aleatoare. O astfel de conversie poate avea loc daca "sfera fierbinte" (fireball-ul) pierde memoria modului in care a fost creat.

Fie cazul in care numarul de particule nu este mare, in ipoteza ca in "sfera fierbinte" nu exista decat nucleoni, avand masa de repaus m si pioni cu masa de repaus m_π. Probabilitatea de a avea n₁ protoni, n₂ neutroni, n₃ pioni pozitivi, n₄ pioni negativi si n₅ pioni neutri este data de o relatie de forma:

. (II.93)

unde

, (II.94)

cu

N₁=n₁+n₂ , (II.94a)

N₂=n₃+n₄+n₅ , (II.94b)

N=N₁+N₂ , (II.94c)

E=E_rel-N₁mc²-N₂m_πc² . (II.94d)

Multiplicitatile n₁, n₂, n₃, n₄, n₅ trebuie sa respecte legile conservarii numarului barionic si sarcinii, anume:

n₁+n₃-n₄=Q , (II.95a)

n₁+n₂=B . (II.95b)

Ecuatia (II.94) este o aproximatie nerelativista. Ea poate fi aplicata pentru ciocniri de ioni cu numere de masa egale si energii in sistemul laboratorului de cel mult 800 MeV/nucleon, ceea ce corespunde la 182 MeV/nucleon in sistemul centrului de masa. Trebuie mentionat faptul ca, pentru astfel de ciocniri, aproximatia nerelativista este corecta pentru nucleoni. Este mai putin corecta pentru pioni, care au o masa de repaus mult mai mica. Integrala din ecuatia (II.94) poate fi evaluata formal. Generalizarea relativista a ecuatiei (II.94) nu poate fi evaluata pentru un numar mare de particule.

Pentru un parametru de ciocnire dat, spectrul inclusiv pentru pioni negativi pentru un impuls relativ p, in sistemul de coordonate atasat "sferei fierbinti", in repaus, este dat de relatia de mai jos:

(II.96)

Fie cazul a doi protoni in sistemul de coordonate in repaus atasat "sferei fierbinti" (fireball-ului). Se face ipoteza ca in "sfera fierbinte" (fireball) se afla n_p protoni si n_n neutroni (cu n_p+n_n=n), cu energia nerelativista E. Se considera un experiment in care un proton care se misca pe directia x cu un impuls fixat este masurat in coincidenta cu un alt proton care se misca pe directia opusa (directie aflata la 180^o fata de prima), dar avind orice marime . Consideram si o alta configuratie in care se masoara protoni cu un impuls fixat pe axa x, dar al doilea este pe directia y (deci, la 90^o fata de primul). Definim raportul acestor doua numere ca pe o corelatie:

. (II.97)

În acest raport, numaratorul si numitorul, sunt dati de urmatoarea relatie:

. (II.98)

Pentru prima configuratie, este in directia data de unghiul de 180^o, iar pentru cea de a doua configuratie directia este cea data de unghiul de 90^o.

Dupa sumarea pe parametrii de ciocnire, corelatia data de ecuatia (II.97) se poate scrie astfel

. (II.99)

Luand in considerare spinii particulelor emise si detectate (fermioni sau bozoni) se pot scrie relatii specifice.

În ipoteza ca functiile de unda ale bozonilor pot fi descrise prin functii de unda plane, amplitudinea de detectie a doi bozoni identici de la o sursa cu emisie spatio-temporala punctuala, fiecare avand pozitiile si impulsurile (), respectiv, (), se poate scrie in forma urmatoare:

, (II.100)

unde , respectiv, sunt punctele detectiei pentru particulele de impulsuri si, respectiv, . Probabilitatea de detectie a unei perechi de bozoni este data de integrala patratului amplitudinii, anume:

, (II.101)

unde este distributia spatio-temporala a bozonilor in sursa. Integrarea se face pe toata distributia bozonilor in sursa. Daca distributiile spatio-temporale sint independente de impuls, integrala se separa si se reduce la:

, (II.102)

unde este 4-impulsul si C₂^ideal este functia de corelatie.

Aceasta este interpretarea "traditionala" a functiei de corelatie. Ea permite determinarea caracteristicilor spatio-temporale ale sursei de particule.