Echilibrul rigidului supus la legaturi fara frecare

Echilibrul rigidului supus la legaturi fara frecare

1. Conditii de echilibru

Un rigid este supus la legaturi daca unul sau mai multe puncte ale sale sunt obligate sa ramana in permanenta pe o suprafata , curba , sau punct fix .

Echilibrul rigidului supus la legaturi se studiaza aplicand axioma legaturilor in virtutea careia orice legatura poate fi suprimata si inlocuita cu elemente de legatura ( forte si/sau cupluri) corespunzatoare numite reactiuni, care reflecta raspunsul mecanic al legaturii.

Astfel aplicand axioma legaturilor, rigidul poate fi considerat liber actionat de fortele exterioare date si a fortelor obtinute prin inlocuirea legaturilor, si tratat ca in § 2.

Fie solidul rigid (C₁) actionat de sistemul de forte exterioare , cu i =1,n, aplicate in punctele A_i . Rigidul (C₁) are o legatura de contact cu corpul (C₂ ) in punctul O, ca in figura 4.

Torsorul de reducere al fortelor exterioare in punctul O este :

(14)

Suprimand legatura si introducand fortele si cuplurile de legatura, obtinem torsorul de reducere in punctul O de forma :

(15)

Fig.4

Conditia de echilibru pentru solidul rigid (C₁) se exprima prin ecuatiile vectoriale sub forma:

(16)

care in cazul general conduc la 6 ecuatii scalare de echilibru , obtinute prin proiectarea relatiilor (16) pe axele unui sistem de referinta inertial .

2. Tipuri de legaturi

2.1. Generalitati

Studiul legaturilor rigidului se face sub doua aspecte :

aspectul geometric - care precizeaza numarul gradelor de libertate disponibile dupa aplicarea legaturii ;

aspectul mecanic - care precizeaza tipul elementelor mecanice (forte , cupluri) cu care se inlocuieste legatura .

1)Aspectul geometric al legaturilor

In §1 s-a demonstrat ca un rigid liber are 6 grade de libertate : 3 translatii si 3 rotatii . Daca notam cu L numarul legaturilor la care este supus rigidul , atunci numarul gradelor de libertate disponibile , notat cu D , este dat de relatia :

D = 6 - L in spatiul E₃ (17)

D = 3 - L in planul E₂ (18)

2)Aspectul mecanic al legaturilor

Prin folosirea axiomei legaturilor , rezulta urmatoarele reguli practice de inlocuire a legaturilor :

a.      Daca legatura la care este supus rigidul imobilizeaza o translatie dupa o directie (Δ) , legatura se inlocuieste cu o forta orientata pe directia (Δ) a miscarii suprimate .

b.     Daca legatura la care este supus rigidul impiedica o rotatie in jurul unei axe (Δ) , atunci legatura se inlocuieste printr-un cuplu de sens contrar sensului rotatiei imobilizate , cuplul fiind caracterizat de un vector moment M situat pe axa (Δ) .

Daca legaturile aplicate punctelor solidului rigid nu introduc frecari, atunci legaturile se numesc legaturi ideale sau fara frecare. Legaturile ideale sunt considerate punctuale.

Rigidul poate fi supus la patru tipuri de legaturi ideale si anume :

a.      reazemul simplu

b.     articulatia

c.      incastrarea

d.     prinderea cu fire

2.2. Reazemul simplu

Reazemul simplu este legatura care suprima deplasarea liniara ( translatia ) rigidului pe o directie (Δ) . Altfel spus , un rigid este simplu rezemat cand un punct al sau este obligat sa ramana in contact permanent cu o suprafata (S) , sau cu o curba (G).

Sub aspect geometric , reazemul simplu reduce numarul gradelor de libertate ale unui rigid liber cu o unitate .

Sub aspect mecanic , reazemul simplu se inlocuieste cu o forta numita reactiune , orientata dupa normala la planul tangent sau la tangenta in punctul de contact dintre rigid si suprafata sau rigid si curba .

A determina reactiunea inseamna a afla o singura necunoscuta scalara , modulul fortei , deoarece punctul de aplicatie si directia sunt cunoscute . Sensul reactiunii poate fi stabilit numai in cazul legaturilor unilaterale si coincide cu sensul in care rigidul poate parasi legatura .

Reazemul simplu se reprezinta schematic printr-un triunghi echilateral , conform fig.5.

Fig.5 Simbolizarea reazemului simplu

In practica inginereasca pot fi intalnite urmatoarele cazuri concrete de rezemare , reprezentate in figura

Fig.6, a . Rezemare pe doua suprafete plane

Fig.6, b. Rezemare in doua puncte A si B Fig. 6, c. Rezemare in punctul unghiular C

Fig.6, d. Rezemare pe o curba plana (Γ)

2.2. Articulatia

Articulatia este legatura prin care se fixeaza un punct al rigidului .

Articulatia este sferica atunci cand solicitarile aplicate sunt spatiale , si plana sau cilindrica , cand rigidul este supus unui sistem de forte coplanare .

Sub aspect geometric , articulatia sferica reduce numarul gradelor de libertate la 3 rotatii in jurul axelor ce trec prin punctul O . In mod analog o articulatie plana reduce numarul de grade de libertate la o rotatie in jurul axei care intersecteaza planul in punctul O.

Articulatia poate fi privita ca fiind formata din trei reazeme simple concurente in acelasi punct.

Sub aspect mecanic, articulatia sferica introduce trei necunoscute : (componentele reactiunii ) orientate dupa axele sistemului de referinta , iar articulatia plana doua necunoscute si anume: .

Simbolizarea articulatiei impreuna cu componentele reactiunii este aratata in figura 7 si respectiv in figura 8.

Fig.7 Articulatia spatiala

Fig.8 Articulatia cilindrica (plana)

2. Incastrarea

Incastrarea este legatura prin care un corp este fixat rigid in alt corp in asa fel incat nu este permisa nici o deplasare .

Sub aspect geometric , incastrarea suprima toate gradele de libertate , 6 grade de libertate in spatiul E₃ si respectiv 3 grade de libertate in planul E₂ .

Pentru a studia aspectul mecanic este necesar sa se ia in consideratie fortele de legatura , pe care corpul (C₁ ) le exercita asupra corpului (C₂) in regiunea in care acestea vin in contact .

Cele doua corpuri in contact sunt prezentate in figura 9.

Fig.9 Incastrarea

Torsorul de reducere in punctul teoretic de contact O al fortelor exterioare este dat de :

(19)

Prin reducerea sistemului de forte distribuite in punctul teoretic de contact O, se obtine torsorul fortelor de legatura dat de :

(20)

Torsorul fortelor exterioare si torsorul fortelor de legatura, obtinut dupa inlocuirea incastrarii, in punctul teoretic de contact O al corpului (C₁), este prezentat in figura 10.

Fig.10

Din cele prezentate anterior , rezulta ca sub aspect mecanic , incastrarea se inlocuieste printr-o reactiune si un cuplu de moment , de directii si marimi necunoscute.

Daca rigidul incastrat este actionat de un sistem de forte exterioare dispuse in spatiul E₃, atunci rezultanta fortelor de legatura se va descompune in componentele iar momentul rezultant al fortelor de legatura se va descompune in mod analog in componentele . Se introduc astfel sase necunoscute scalare avand directiile cunoscute si anume directiile axelor Ox, Oy si Oz.

In cazul rigidului incastrat actionat de un sistem de forte exterioare dispuse in spatiul E₂, rezultanta fortelor de legatura se va descompune in componentele si , iar momentul rezultant al fortelor de legatura se va descompune intr-un moment perpendicular pe planul format de cele doua forte de legatura.

Simbolizarea incastrarii este aratata in figura 11 .

Fig.11 Simbolizarea incastrarii

Sistemul echivalent sub aspect mecanic al incastrarii spatiale este prezentat in figura 12, unde sunt aratate componentele vectorilor si .

Fig.12 Aspectul mecanic al incastrarii spatiale

Sistemul echivalent sub aspect mecanic al incastrarii plane este prezentat in figura 13, unde sunt aratate componentele vectorilor si .

Fig.13 Aspectul mecanic al incastrarii plane Fig.14 Prinderea cu fire

2.4. Prinderea cu fire

Prinderea cu fire in cazul rigidului se trateaza analog cu prinderea cu fire din cazul punctului material . Prinderea cu fire reprezinta o legatura ideala echivalenta cu o rezemare unilaterala pe o sfera care are raza chiar lungimea firului. Sub aspect mecanic , prinderea cu fire se inlocuieste cu o forta care se introduce in lungul firului, considerat sectionat, sensul fiind ales in asa fel incat sa intinda portiunea de fir ramasa legata de rigid. Un exemplu de prindere cu fire este prezentat in figura 14.

Tipurile de legaturi fara frecare aplicate solidului rigid pot fi sintetizate in tabelul 1.

Tabel 1. Tipuri de legaturi fara frecare ale solidului rigid

Tip de legatura		Simbol grafic	Aspect mecanic	Numar de necunoscute	Necunoscute	Observatii
Reazem simplu				1		Punctul de aplicatie si sensul reactiunii cunoscut
Prinderea cu fire				1		idem
Articulatia	Plana			2		Sensul reactiunilor este nedeterminat; prin rezolvarea sistemului de ecuatii scalare de echilibru va rezulta si sensul reactiunilor
	Spatiala			3
Incastrarea	Plana			3
	Spatiala			6

Aplicatia 1 .

O grinda dreapta de greutate neglijabila este incastrata in B si are dimensiunile si incarcarile indicate in fig. 15.a. Sa se determine reactiunile din incastrare .

Fig. 15, a

Rezolvare

Se inlocuieste incastrarea prin reactiunile si , si se determina rezultanta fortelor uniform distribuite . Obtinem astfel :

Sistemul echivalent este prezentat in figura 15.b.

Fig.15, b

Ecuatiile scalare de echilibru sunt :

SF_ix = 0 ; H + P cos a T H = - P cos a

SF_iy = 0 ; V + P + P sin a T V = P (1 +sin a

SM_iB = 0 ; M_B - P a / 4 + Pa - P 2a sin a = 0 T M_B = Pa( 3 / 4 - 2 sin a

Observatie

Deoarece din calcule a rezultat semnul minus pentru H , inseamna ca aceasta reactiune va avea semnul opus celui ales in fig. 15 , b .

Aplicatia 2

Sa se determine reactiunile din reazemele A si B pentru bara dreapta avand incarcarile si dimensiunile din fig. 16 , a .

Fig.16, a

Rezolvare

Se inlocuiesc legaturile prin si si se determina rezultanta fortelor uniform distribuite . Obtinem astfel :

Sistemul echivalent este prezentat in fig.1b .

Fig.16,b

Ecuatiile scalare de echilibru sunt :

SF_ix = 0 ; H_B = P cos a

Verificare

Aplicatia 3

Pentru cadrul din figura 17,a, avand dimensiunile si incarcarile indicate in desen , sa se determine reactiunile din reazeme .

Rezolvare

Conform schemei echivalente din figura 17, b , ecuatiile scalare de echilibru sunt :

Fig.17, a

Fig.17, b Schema de calcul echivalenta

Verificare

Aplicatia 4

O placa dreptunghiulara , omogena , de greutate , se gaseste in echilibru in pozitie orizontala fiind fixata de sol cu ajutorul a sase bare articulate la capete, ca in figura 18 . Sa se determine eforturile din bare .

Fig.18

Rezolvare

Eforturile vor fi orientate in lungul barelor si vor fi notate cu , i = 1 , 6 , ca in fig. 18 .

Ecuatiile scalare de echilibru vor fi :

Pentru verificare dispunem de ecuatiile :

S F_iz = 0 ; S M_OC = 0 ; S M_OE = 0

Echilibrul rigidului cu axa fixa

Se numeste rigid cu axa fixa , rigidul care are doua puncte ale sale imobilizate .

Se considera un rigid cu axa fixa (C₁), definita de articulatiile O₁ sferica si O₂ cilindrica ,

cu O₁O₂ = h , si actionat de un sistem de forte direct aplicate (fig. 19. a )

Fig.19, a Solid rigid cu axa fixa

Se elibereaza rigidul de legaturi introducand reactiunile in O₁ si in O₂ , obtinandu-se schema de calcul din figura 19, b.

Fig.19, b Solid rigid cu axa fixa ; schema de calcul

Torsorul in punctul O₁ al fortelor exterioare direct aplicate este format din rezultanta si din momentul rezultant .

Fata de sistemul de axe din figura 19, b , ecuatiile scalare de echilibru sunt :

SF_ix = 0 ; F_x + R_1x + R_2x = 0 (21)

SF_iy = 0 ; F_y + R_1y + R_2y = 0 (22)

SF_iz = 0 ; F_z + R_1z = 0 T R_1z = F_z (23)

SM_ix = 0 ; M_x - hR_2y = 0 (24)

SM_iy = 0 ; M_y + hR_2x = 0 (25)

SM_ix = 0 ; M_z = 0 T M_z = 0 (26)

Din (22) si (23) rezulta :

(27)

(28)

Introducand (28) in (21) si (22) obtinem :

(29)

(30)

Observatii

1. Daca cele doua articulatii ar fi fost sferice , atunci ecuatia (23) ar fi continut doua necunoscute R_1z si R_2z , care nu mai apar in nici una din celelalte cinci ecuatii scalare de echilibru . Problema este static nedeterminata, deoarece pentru calculul a sase reactiuni stau la dispozitie doar cinci ecuatii. Pentru determinarea lor ar trebui cunoscuta o conditie suplimentara referitoare la una dintre articulatii .

2. In rezolvarea problemelor solidului rigid cu axa fixa este eficienta folosirea unei metode mai rapide de determinare a reactiunilor si . Metoda consta in a scrie ecuatii scalare de momente fata de axele ce trec prin cele doua articulatii , din fiecare ecuatie scrisa rezultand cate o necunoscuta .

Avantajul acestei metode consta in faptul ca dupa determinarea necunoscutelor din ecuatiile scalare de momente , se mai dispune de inca doua ecuatii scalare , respectiv :

SM_ix1 = 0 T R_1y ; SM_iy1 = 0 T R_1x (31)

SM_y = 0 = R_2x ; SM_x = 0 = R_2y ; SF_iz = 0 T R_1z (32)

Verificare

SF_ix = 0 T R_1x + R_2x = - F_x (33)

SF_iy = 0 T R_1y + R_2y = - F_y (34)

Aplicatia 5

Rotile C si D de raze r_C = 1 m si r_D = 10 cm sunt solidare cu arborele orizontal AB ce se poate roti in articulatiile A si B . Asupra rotii C actioneaza forta tangentiala orizontala P = 100 daN , iar asupra rotii D forta tangentiala verticala . Cunoscand ca dimensiunile din figura 20,a sunt date in mm , sa se determine forta Q si reactiunile din articulatiile A si B la echilibru .

Fig.20, a

Rezolvare

Se inlocuiesc legaturile din A si B , schema echivalenta fiind prezentata in fig.20, b.

Ecuatiile scalare de echilibru sunt :

Fig. 20, b Schema de calcul

Verificare