Ecuatia energiei

Ecuatia energiei

Exprimarea matematica a principiului conservarii energiei mecanice a unui fluid aflat in miscare izoterma constituie o ecuatie de bilant energetic numita ecuatia energiei.

Pentru deducerea acestei relatii, se transforma ecuatiile lui Euler din dinamica fluidelor perfecte (5.4) intr-o ecuatie diferentiala specifica liniei de curent, in conditiile neglijarii efectelor superficiale, chimice si electrice, considerarii fluidul ca fiind perfect si a temperaturii acestuia invariabile.

Se multiplica prima ecuatie (5.4) cu dx

apoi, pe baza ecuatiilor scalare ale liniei de curent (4.8) se inlocuiesc v_y dx cu v_x dy si v_z dx cu v_x dz, rezultand relatia

(5.17)

in care paranteza rotunda reprezinta diferentiala dv_x, iar , ceea ce conduce la forma

(5.18)

Procedand in mod similar cu celelalte doua relatii (5.4) multiplicate cu dy, respectiv cu dz, rezulta

(5.19)

(5.20)

Prin insumarea relatiilor (5.18).(5.20) se obtine ecuatia

(5.21)

Stiind ca, in campul gravitational terestru, X = 0, Y = 0 si Z = -g, apoi observand ca suma primilor trei termeni din membrul stang formeaza produsul scalar (a carui valoare este deoarece vectorii si sunt coliniari) si ca ultimul termen din membrul drept este diferentiala presiunii dp, se poate scrie relatia

(5.22)

care constituie ecuatia microscopica a energiei mecanice pentru miscarea izoterma a unui fluid perfect, unde v este viteza fluidului in originea elementului de linie de curent ds

Prin integrarea ecuatiei (5.22) se obtine ecuatia macroscopica a conservarii energiei mecanice pentru miscarea izoterma de-a lungul unei linii de curent

(5.23)

care arata ca suma energiilor inertiala, cinetica, potentiala si de presiune-volum este constanta de-a lungul unei linii de curent de fluid perfect. Pentru miscarea stationara, ecuatia (5.23) se reduce la forma

(5.24)

numita ecuatia lui Bernoulli.

Daca fluidul este incompresibil, ecuatia (5.24) poate fi pusa sub forma

(5.25)

in care termenii sunt inaltimi, fapt care permite o interpretare geometrica, prin definirea liniilor caracteristice: de referinta (o linie orizontala), de pozitie (linia de curent), piezometrica si de sarcina hidraulica (figura 5.4). Linia piezometrica este definita experimental prin nivelele libere ale lichidului in tuburile piezometrice care ar fi plasate de-a lungul liniei de curent, iar linia de sarcina hidraulica este linia orizontala indicata de aceleasi tuburi piezometrice cand lichidul se afla in repaus.

Interpretarea geometrica a ecuatiei (5.25) este: distanta dintre linia de referinta si linia de sarcina hidraulica este constanta si egala cu membrul drept al ecuatiei (5.25).

Pentru extinderea ecuatiei energiei la un tub de curent de fluid incompresibil, se considera o sectiune transversala printr-un tub de curent, avand centrul in punctul G (figura 5.5). Admitand ca fluidul este perfect, iar miscarea este stationara, ecuatia (5.25) capata forma

unde, conform ecuatiei continuitatii (4.34), viteza medie este

(5.27)

Se alege un element infinimesimal de pe sectiune, cu aria dA, cota z si presiunea p. Suma z + p/( g) este un invariant, adica are aceeasi valoare indiferent de pozitia elementului cu aria dA pe suprafata sectiunii, deci

(5.28)

Puterea hidraulica ce corespunde ariei elementare dA are expresia

iar puterea hidraulica totala se obtine prin integrarea ecuatiei precedente astfel

(5.29)

Pe de alta parte, puterea hidraulica poate fi scrisa si in raport cu viteza medie din sectiune sub forma

(5.30)

Prin egalarea relatiilor (5.29) si (5.30) se obtine ecuatia

(5.31)

in care Q din termenul al doilea al membrului drept din expresia (5.29) a fost inlocuit prin v_m A pe baza ecuatiei (5.27).

Din relatia (5.31) se poate exprima

(5.32)

care se numeste coeficientul lui Coriolis. In cazul fluidelor perfecte,  = 1.

Ecuatia energiei pentru miscarea nestationara (5.23) extinsa la un tub de curent in conditiile in care fluidul este incompresibil ( = constant) are, dupa impartirea la g, forma

(5.33)

unde

(5.34)

Ecuatia lui Bernoulli in cazul miscarii relative a fluidului incompresibil intr-un canal aflat in rotatie, caz intalnit la turbine, pompe centrifuge, roti hidraulice etc., are forma

(5.35)

unde v_r este viteza relativa a fluidului, u = r - viteza de transport, iar  - viteza unghiulara a turbinei.

Deoarece ecuatia energiei este obtinuta din ecuatia de impuls, ea are un caracter dependent si poate fi folosita numai in locul uneia din ecuatiile microscopice sau macroscopice ale impulsului.