Pendulul matematic (pendulul simplu)

Pendulul matematic (pendulul simplu).

Vom analiza ecuatia diferentiala care modeleaza miscarea oscilatorie[1] a unui punct material de masa m, suspendat de un punct fix , printr-un fir inestensibil de lungime , avand greutatea neglijabila, sub actiunea fortei de gravitatie , . Vom neglija rezistenta aerului si eventualele forte de frecare.

Sistemul format din punctul material de masa suspendat de un fir inestensibil avand greutatea neglijabila care se misca pe un arc de cerc se numeste pendul matematic .

Consideram reperul cartezian avand originea in punctul fixat al pendulului si cu axa orientata catre centrul Pamantului asemanator fortei de gravitatie (vezi fig.3).

Avand in vedere " legatura" punctului material , acesta este obligat sa evolueze pe cercul cu centrul in punctul si raza , pozitia sa este bine determinata, la orice moment , de variabila de stare care reprezinta unghiul format cu axa si masurat in radiani. Daca notam cu lungimea arcului de cerc parcurs de punctul pe cerc socotind de la pozitia de echilibru , in timpul , atunci avem

.

Greutatea corpului , atribuita atractiei gravitationale la suprafata Pamantului, se descompune in doua componente, una pe directia firului care este anulata de tensiunea din fir, avand marimea egala cu si o componenta dupa directia tangentei la cerc sub actiunea careia se desfasoara miscarea. Componenta tangentiala, ca functie de variabila de stare , are marimea egala cu (semnul minus arata ca forta este dirijata in sens contrar miscarii).

Datorita legii fundamentale a lui Newton, care afirma ca acceleratia miscarii este proportionala cu forta care produce miscarea, obtinem ecuatia diferentiala a miscarii . Daca tinem seama de relatia care exprima lungimea arcului cu ajutorul variabilei de stare , atunci putem scrie ecuatia de miscare sub forma

. (3.1)

Ecuatia diferentiala (3.1) este nelineara, contine derivata de ordinul al doilea a functiei necunoscute si este cu variabile separabile. Ecuatia poate fi scrisa sub forma generala . Prin integrare se ajunge la o integrala eliptica.

In fizica, un caz interesant este acela al oscilatiilor pendulului care au o amplitudine mica (valoarea maxima a deplasarii initiale este mica (vezi conditiile (3.4)). Considerand cazul micilor oscilatii putem lua aproximatia si ecuatia (3.1) devine o ecuatie diferentiala lineara de ordinul al doilea

, (3.2)

unde .

Prin calcul direct se arata ca orice functie de forma

, (3.3)

unde c si sunt constante, verifica ecuatia diferentiala (3.2). Deci, ecuatia diferentiala (3.2) admite o familie de solutii care depind de doua constante arbitrare c si . Pentru a alege solutia care descrie o anumita miscare data a pendulului trebuie sa tinem seama ca miscarea depinde de pozitia initiala cat si de viteza initiala a acestuia, deci de conditiile in care incepe miscarea (acesta este principiul determinismului al lui Newton: starea initiala a unui sistem mecanic, adica ansamblu pozitiilor si vitezelor punctelor sistemului la un moment dat, determina unic intreaga miscare). Asadar, trebuie ca la momentul initial sa cunoastem unghiul si viteza (din considerente fizice putem admite ca ):

si . (3.4)

Acesta este cel mai general mod de a incepe o miscare. Nu putem da, de exemplu, acceleratia cu care incepe miscarea pentru ca aceasta este determinata de pendul pentru un dat. Substituind aceste valori in expresia (3.3) a solutiei, obtinem

si (3.5)

Din aceste relatii deducem expresiile constantelor si in functie de conditiile initiale:

si . (3.6)

Asadar, de aici deducem ca functiile de forma reprezinta toate solutiile ecuatiei diferentiale (3.2). Aceste functii sunt periodice avand perioada principala egala cu

, (3.7)

numita perioada unei oscilatii complete. Observam ca aceasta perioada este complet determinata, iar pentru un fir mai lung este necesar de un timp mai indelungat pentru ca masa atarnata de fir sa oscileze.

Asadar, intr-o prima aproximatie putem afirma ca perioada a pendulului, in cazul micilor oscilatii, nu depinde de modul cum acesta a fost pus in miscare (de pozitia initiala, adica de amplitudinea oscilatiei). Prin urmare, legea (3.3) determina complet micile oscilatii ale pendulului matematic.

Observatie. Formula (3.7) poate servi la determinarea acceleratiei gravitationale (metoda pendulului). In cazul micilor oscilatii, din (3.7) obtinem

, (3.7')

Marimile care intervin in partea dreapta a formulei (3.7') pot fi masurate: lungimea , a pendulului, se masoara cu o precizie pana la ; perioada a micilor oscilatii se masoara cu o precizie pana la

In urma calculelor se determina valoarea acceleratiei gravitationale cu o eroare relativa de aproximativ

(sau de aproximativ ).

Din acest exemplu observam ca fiind data o ecuatie diferentiala de ordinal al doilea, in mod natural se pune problema determinarii unei solutii[3] cunoscand valoarea ei si a derivatei de ordinul intai.

Observatie. Daca nu se neglijeaza fortele de frecare[4], evolutia miscarii pendulului matematic este descrisa de urmatoarea ecuatie diferentiala

. (3.8)

unde este coeficientul de frecare (determinarea coeficientului de frecare se face experimental). Forma generala a ecuatiei (3.8) este .