FLUIDE VASCOASE

1. CARACTERISTICI GENERALE

In studiul efectuat anterior asupra miscarii fluidelor nu s-au luat in considerare interactiunile dintre elementele de fluid sau dintre fluid si peretii tubului prin care acesta circula.

In realitate, aceste interactiuni exista si se manifesta prin aparitia unor forte de frecare interne sau de vascozitate intre diferitele straturi de fluid sau intre fluid si peretii vecini. Stratul cu viteza mai mica va frana stratul cu viteza mai mare cu care este in contact, si invers, stratul cu viteza mai mare va accelera stratul cu viteza mai mica peste care el aluneca.

Aparitia acestor forte, situate in planele de alunecare, se datoreaza variatiei de impuls a straturilor datorita trecerii moleculelor dintr-un strat in altul.

Fluidele la care apar astfel de forte se numesc fluide vascoase.

Vascozitatea unui fluid se caracterizeaza cu ajutorul coeficientului de vascozitate dinamica: h

Sa consideram un fluid vascos situat intre doi pereti plani A si B, dispusi paralel intre ei (Fig.1.7, a)

Se presupune ca peretele A este fix, iar peretele B se afla intr-o miscare de translatie, cu viteza . Straturile de fluid dintre cei doi pereti plani A si B se pun in miscare, datorita fortelor de frecare. Stratul din vecinatatea suprafetei A este in repaus, cel din vecinatatea suprafetei B se deplaseaza cu viteza , iar restul straturilor se deplaseaza cu viteze cuprinse intre 0 si .

O asemenea miscare, in care straturile de fluid se mentin paralele intre ele, este denumita curgere laminara.

Intr-o asemenea curgere liniile de curent sunt bine determinate si nu se intersecteaza niciodata, iar fiecare element de fluid se mentine in interiorul unui acelasi tub de curent. Din punct de vedere matematic aceasta se exprima prin conditia ca functia sa fie univoca (o singura viteza intr-un punct la un moment dat).

La viteze mari curgerea fluidului devine turbulenta, neregulata, elemen-tele de fluid se amesteca si se formeaza vartejuri.

In cazul in care miscarea fluidului vascos are loc printr-un tub cu secti-une circulara, straturile de fluid au, in cazul curgerii laminare, forma unor cilindri concentrici, viteza lor crescand de la peretele tubului catre axa sa (Fig.1.7.b).

Intre diferitele straturi de fluid apare o variatie a vitezei, adica un gradient de viteza dv/dr, in directie perpendiculara pe directia de miscare.

Fie S suprafata comuna a doua straturi vecine aflate in contact.

Experienta arata ca forta de frecare interna dintre straturi este propor-tionala cu gradientul de viteza si suprafata S-legea lui Newton:

unde h este coeficientul de vascozitate dinamica. Semnul "-" arata ca forta de frecare este de sens opus miscarii fluidului.

Unitatea de masura S. I. este decapoise daP.

Unitatea CGS este poise, P, . Se observa ca , ceea ce justifica denumirea de decapoise data unitatii de masura in SI.

Coeficientul de vascozitate dinamica este dependent de natura fluidului si de temperatura.

Se defineste coeficientul de vascozitate cinematica, n, ca fiind raportul dintre coeficientul de vascozitate dinamica h si densitatea r a fluidului presupus omogen

Unitatea de masura in S. I. este decakilostokesul, daKSt.

In sistemul CGS, unitatea de masura este stokesul (St):

Se observa ca ceea ce justifica denumirea data anterior pentru unitatea de masura a lui n in SI.

2. LEGEA HAGEN-POISEUILLE

Sa studiem curgerea laminara a unui fluid vascos printr-o conducta cilindrica, dispusa orizontal, avand sectiune circulara de raza R si lungime l (Fig.1.8.)

Datorita frecarii dintre lichid si peretele conductei, stratul periferic al fluidului adera la conducta, viteza de curgere crescand spre axa conductei.

Sa delimitam un tub de curent de raza r. Asupra fluidului din acest tub actioneaza fortele de presiune de la cele doua sectiuni extreme ale conductei (p₁ in sensul curgerii si p₂ in sens opus) cu rezultanta:

si forta de frecare interna pe suprafata laterala, exercitata de restul fluidului, datorita vascozitatii:

Curgerea fiind stationara, se poate scrie urmatoarea relatie care exprima ca aceste forte sunt in echilibru:

unde semnul "-" se datoreaza semnului negativ al gradientului vitezei dv/dr<0; viteza pe axa tubului este maxima si scade spre peretii tubului, fiind nula la perete.

Prin integrare obtinem:

;

unde constanta de integrare C se determina din conditia ca la perete, pentru r=R, viteza este nula:

(1.60)

Aceasta relatie arata ca, in interiorul conductei, de la perete spre axa, viteza fluidului variaza parabolic (Fig.1.8.).

Sa calculam debitul volumic. Pentru aceasta se considera un strat de fluid cuprins intre r si r+dr. Debitul volumic al fluidului din acest strat va fi:

unde prin dx s-a notat distanta parcursa de un element de fluid in timpul dt.

Debitul volumic al fluidului se obtine prin integrarea relatiei (1.61) intre limitele 0 si R, cunoscand v=v(r).

adica

Relatia (1.62.) este cunoscuta sub denumirea de legea Hagen-Poiseuille.

Ea arata ca in cazul unei curgeri laminare a unui fluid vascos printr-o conducta cilindrica, debitul volumic de fluid este proportional cu puterea a patra a razei conductei si cu gradientul de presiune (p₁-p₂)/l.

3. LEGEA LUI STOKES

Sa consideram miscarea intr-un fluid a unei sfere cu diametru mic in raport cu dimensiunile masei de fluid. Sfera sufera o rezistenta data de legea lui Stokes:

F=6phrv

Ea arata ca in cazul unei deplasari cu viteza mica a unei sfere intr-un fluid vascos, forta de frecare ce se exercita asupra acestuia este proportionala cu coeficientul de vascozitate al fluidului, cu raza sferei si cu viteza cu care ea se deplaseaza in fluid.

Cu ajutorul formulei lui Stokes se poate determina, de exemplu, coefi-cientul de vascozitate dinamica h, a unui lichid. Pentru aceasta se lasa sa cada, sub actiunea fortei de greutate, o sfera omogena, de densitate r si raza r, intr-un lichid omogen de densitate r' (Fig. 1.9.).

Initial viteza fiind mica, forta de frecare Stokes este mica si corpul cade accelerat sub actiunea greutatii aparente. Pe masura ce creste viteza, creste si forta Stokes pana cand devine egala cu greutatea aparenta si sfera coboara atunci uniform cu viteza limita.

Din relatia (1.64.) se poate calcula coeficientul de vascozitate dinamica

Cunoscand r r', g si r si masurand experimental viteza de cadere a sferei, se poate calcula h cu formula (1.65).

Prin masurarea vitezei de cadere in aer a unor picaturi de ulei incarcate electric, atat sub actiunea campului gravitational cat si sub actiunea simultana a unui camp electric, se poate determina sarcina electronului (metoda lui Millikan).

4. TENSIUNEA SUPERFICIALA

Patura periferica a oricarui lichid este alcatuita din molecule, care se atrag reciproc, iar in urma acestei atractii se produce o apropiere intre molecule ceea ce conduce la micsorarea cat mai mult a suprafetei aparente a lichidului respectiv.

Deci patura periferica a lichidelor ar fi analoaga cu o membrana elastica in extensiune, avand tendinta sa revina la forma initiala, de arie mai mica.

Orice crestere a suprafetei peste aria minima compatibila cu conditiile date (la volum de lichid dat) necesita exercitarea unor forte exterioare care sa aduca molecule din volumul de lichid, impotriva fortelor indreptate spre interiorul lichidului, in stratul superficial, efectuandu-se lucru mecanic impotriva acestor forte.

Se numeste tensiune superficiala a unui lichid o marime s egala cu raportul dintre lucrul mecanic W necesar pentru a mari aria suprafetei libere a lichidului cu DA si cresterea DA a acestei arii.

Sa producem o pelicula de lichid in interiorul unui cadru de sarma ABN₁M₁ (Fig.1.10.), care are o latura M₁N₁ (de greutate neglijabila) mobila. Fie M₁N₁=l.

Sa aplicam peliculei de lichid o forta , care se exercita pe mijlocul laturii M₁N₁ deplasand-o pana in M₂N₂ pe distanta M₁M₂=x. In cursul acestui proces pelicula de lichid avand doua fete, aria suprafetei libere a variat cu DA=2lx, forta efectuand lucrul mecanic W=F x.

Fie f=F/2 forta aplicata pe lungimea l pe fiecare dintre cele doua fete ale peliculei de lichid.

Relatia (1.66.) devine:

2lxs=2fx

sau

Pentru l=1, s=F. Deci, tensiunea superficiala a unei membrane elastice este numeric egala cu forta care se exercita asupra unitatii de lungime de pe suprafata ei.

Formula dimensionala si unitatea de masura in Sistemul International pentru tensiunea superficiala sunt:

In sistemul CGS

Observatii cu privire la tensiunea superficiala

1. La suprafata aparenta a oricarui lichid exista o tensiune superficiala s, care tinde sa micsoreze cat mai mult aria acestei suprafete. Acest fapt este dovedit prin forma sferica a picaturilor mici, deoarece sfera este corpul care, pentru un volum dat, prezinta o suprafata minima.

2. Tensiunea superficiala exista atat la lichide cat si la gaze.

5. TENSIUNEA INTERFACIALA

Sa consideram trei medii diferite: I, II si III (Fig.1.11.), separate intre ele prin suprafetele curbe OA, OB si OC, iar aceste suprafete se intersecteaza dupa o curba, a carei tangenta in punctul O este perpendiculara pe planul figurii. La suprafata de separatie OA dintre mediul I si mediul II

actioneaza tensiunea superficiala s , tangenta in O la aceasta interfata. In mod asemanator, la suprafata de separatie OB, dintre mediul II si mediul III actioneaza tensiunea superficiala s , tangenta in O la suprafata respectiva, iar la suprafata de separatie OC dintre mediul I si mediul III actioneaza tensiunea superficiala s , tangenta si ea in O la interfata respectiva.

Pentru ca aceasta curba de separatie dintre cele trei medii sa fie in echilibru, trebuie ca fiecare din cele trei forte superficiale sa fie egala si de sens opus cu rezultanta celorlalte doua. Aceasta inseamna ca intre cele trei forte exista relatia vectoriala:

Fie rezultanta fortelor si . La echilibru, trebuie ca:

sau

  (1.70)

Sa consideram o picatura de lichid, aflata in echilibru pe suprafata altui lichid, mediul III fiind aerul.

Tensiunile superficiale ale lichidelor nemiscibile, aflate in contact cu aerul, sunt: s s ) pentru mediul I si s s ) pentru mediul II. Daca picatura este foarte turtita, unghiul b este foarte mic si se poate neglija.

Ecuatia de echilibru devine, in acest caz:

s s s s s s s

de unde:

s s s

Marimea s se numeste tensiune interfaciala, iar relatia (1.71) este cunoscuta sub denumirea de relatia lui Dupre

Tensiunea interfaciala este tensiunea superficiala care apare la suprafata de contact a doua medii si este egala cu diferenta tensiunilor superficiale ale lichidelor in contact.

Asemenea fenomene se intalnesc cand, pe suprafata unui lichid se depune o picatura dintr-un alt lichid. Astfel, in cazul unor perechi de lichide, picatura ramane izolata, pe cand in cazul altor perechi de lichide, picatura se intinde pe suprafata lichidului-suport.

Fie o picatura dintr-un lichid B asezata pe suprafata lichidului A (Fig.1.12.).

Daca lichidul B nu se raspandeste pe suprafata lichidului A, cele trei forte corespunzatoare tensiunilor superficiale s_A s_B si s_AB, aplicate in punctul M, trebuie sa verifice conditia s_B s_AB>s_A. Daca s_A>s_B s_AB picatura nu este stabila si lichidul B se raspandeste pe suprafata lui A.

6. FORTE DE COEZIUNE. FORTE DE ADEZIUNE

Forma stratului superficial.

Fortele de interactiune se manifesta nu numai intre molecule de acelasi tip, ci si intre molecule de natura diferita.

Prin definitie, fortele de atractie dintre moleculele aceluiasi corp se numesc forte de coeziune, iar fortele de atractie dintre moleculele a doua corpuri diferite se numesc forte de adeziune.

Ca urmare a existentei fortelor de adeziune, atunci cand un lichid si un solid vin in contact, suprafetele lor care se intalnesc se intersecteaza sub un unghi determinat. Se numeste unghi de racordare intre un lichid si un solid,

unghiul dintre suprafata solida (presupusa plana) si planul tangent la suprafata lichidului, in punctul lor de intersectie, masurat spre interiorul lichidului.

Sa analizam situatia unui lichid inchis intr-un vas cu pereti verticali, (figura 1.13 a si b) unde suprafata lichidului a fost figurata orizontal.

Unghiul de racord fiind diferit de zero, suprafata lichidului nu este plana. Fiind la echilibru, aceasta suprafata este asezata perpendicular pe forta care actioneaza asupra ei, , rezultanta fortelor de adeziune si coeziune care solicita moleculele de la suprafata lichidului, in apropierea ei.

Cazul "a" corespunde meniscului concav format de toate lichidele care uda peretii vasului. Pentru a explica formarea acestui menisc, se va considera o molecula din stratul superficial, situata in imediata apropiere a peretelui. Aceasta molecula este atrasa de moleculele peretelui vasului cu o forta de adeziune perpendiculara pe peretele vasului. In acelasi timp, ea este supusa si fortelor de coeziune produse de moleculele cuprinse in sfertul sferei de actiune moleculara care se gaseste in lichid. Din acest motiv, forta de coeziune rezultanta este indreptata spre interiorul lichidului sub un unghi de aproximativ 45⁰. Rezultanta fortelor de adeziune si coeziune perpendiculara pe suprafata libera a lichidului este indreptata in afara si de aceea meniscul este concav.

Cazul "b" corespunde meniscului convex format de lichidele care nu uda peretii vasului, deci pentru un unghi de racord a>90⁰. Forta de adeziune este mai mica decat forta de coeziune , rezultanta este orientata spre interiorul lichidului, iar suprafata libera perpendiculara pe rezultanta formeaza in acest caz un menisc convex.

7. PRESIUNEA SUB SUPRAFETE LIBERE CURBE

Fortele superficiale carora li se datoreaza formarea meniscurilor, cau-zeaza o diferenta de presiune intre cele doua regiuni separate printr-o astfel de suprafata.

Daca meniscul este convex, rezultanta fortelor superficiale pe conturul care margineste elementul de arie este indreptata spre interiorul lichidului, prin urmare, in lichid presiunea este mai inalta decat in faza gazoasa. In schimb, daca meniscul este concav, din acelasi motiv, presiunea din interiorul lichidului este mai joasa decat cea de deasupra lui.

Diferenta de presiune dintre cele doua parti ale meniscului este data de formula lui Laplace

Daca tinem seama de presiunea interna k, exercitata de patura periferica plana, formula lui Laplace se poate scrie: P = k Dp

sau

Semnul "+" corespunde meniscului convex, iar semnul "-" meniscului concav. Asadar, pentru un acelasi fluid, si la aceeasi temperatura, presiunea interna este mai mare la meniscul convex decat la meniscul plan si mai mare la meniscul plan decat la cel concav.

Daca meniscul fluidului este sferic: R₁=R₂=R, formula lui Laplace se reduce la:

Deoarece din punct de vedere al existentei presiunii interne nu se manifesta nici o deosebire calitativa intre lichide si gaze, se poate considera ca formula lui Laplace este valabila pentru toate fluidele, oricare ar fi starea lor de agregare.

8. FENOMENE CAPILARE

Fenomenele de urcare sau coborare a lichidului in tuburile capilare (tuburi foarte inguste cu diametre sub 1mm) se numesc fenomene de capilaritate.

Ele sunt rezultatul fortelor de interactie dintre un lichid si un corp solid si care conduc la abaterea, de la forma de plan orizontal, a suprafetei libere a lichidului.

Sa consideram cazul unui tub capilar scufundat intr-un lichid care uda peretii capilarului.

In acest caz lichidul se va ridica in tubul capilar pana la o inaltime h.

Fie r raza interioara a tubului si a unghiul de racord. Pentru simplificare sa presupunem ca meniscul are forma unei calote sferice de raza R (Fig.1.14.). In acest caz se poate scrie:

r = R cosq

Fortele de adeziune dintre lichid si peretele tubului, care se exercita pe tot conturul meniscului, mentin in interiorul tubului coloana de lichid de inaltime h. Conditia de echilibru se poate scrie astfel:

Fs=G

sau

pRs pR rgh (1.76)

unde r este densitatea lichidului, iar s tensiunea superficiala a lichidului.

Utilizand relatia (1.75.), se obtine inaltimea h la care se ridica lichidul in tubul capilar:

Atunci cand lichidul uda complet tubul capilar a=0. Lichidul se va ridica pana la inaltimea:

In acest caz meniscul este o emisfera de raza r.

Relatia (1.78.) este cunoscuta sub numele de relatia lui Jurin. Ea arata ca inaltimea la care se ridica un lichid intr-un tub capilar este invers proportionala cu diametrul tubului.

1.5. GAZE REALE

1.5.1. IZOTERMELE LUI ANDREWS

Experienta arata ca la presiuni care nu sunt foarte joase si la temperaturi care nu sunt foarte inalte, gazele se abat de la starea de gaz ideal. Abaterile fata de ecuatia de stare a gazelor ideale prezentate de gazele reale se datoreaza faptului ca un gaz real nu respecta conditiile de gaz ideal. Astfel moleculele unui gaz real nu pot fi considerate puncte materiale si ca atare ocupa un volum propriu care nu este neglijabil in raport cu volumul gazului.

De asemenea, energia interna a gazului real este egala cu suma energiei cinetice de translatie, rotatie si vibratie si a energiei potentiale datorita interactiunilor dintre molecule.

Un mod de prezentare a comportarii unui gaz, in care apar clar abaterile de la starea de gaz ideal, consta in trasarea izotermelor corespunzatoare

gazului respectiv.

In figura 1.15. sunt prezentate cateva din izotermele determinate de Thomas Andrews pentru CO₂.

Consideram un volum de bioxid de carbon, aflat la o presiune si temperatura cunoscuta. Fie I₀ punctul figurativ de stare. Comprimand gazul in mod izoterm, volumul sau se reduce din ce in ce mai mult, pana se ajunge la starea reprezentata de punctul A₁ de pe izoterma. De la aceasta stare comportarea gazului se modifica si anume: continuand sa micsoram volumul gazului, presiunea ramane constanta, situatie caracteristica vaporilor saturanti (la care presiunea este independenta de volum).

Aceasta comportare a gazului se datoreste faptului ca, de la starea corespunzatoare punctului A₁ de pe izoterma, gazul incepe sa se lichefieze partial, de aceea el capata acum proprietatile vaporilor saturanti. Micsorand tot mai mult volumul gazului, sub presiune constanta, creste cantitatea de gaz lichefiata, dar presiunea gazului de deasupra fazei lichide se mentine aceeasi. In consecinta, de la punctul A₁ izoterma bioxidului de carbon devine un segment de dreapta pana la punctul B₁, corespunzator starii in care tot gazul s-a lichefiat. Comprimarea se exercita in continuare numai asupra lichidului respectiv. Deoarece lichidele sunt foarte putin compresibile, izoterma care porneste din punctul B₁ este o dreapta aproape paralela cu axa presiunilor.

Repetandu-se experienta la o temperatura mai inalta, se obtine un rezultat asemanator, cu deosebirea ca segmentul liniar A₂B₂ este mai mic decat segmentul A₁B₁. Cu cat temperatura la care se efectueaza comprimarea este mai ridicata, cu atat este mai mic segmentul liniar, de pe izoterma respectiva.

Pentru o anumita temperatura, care la bioxidul de carbon este de 304K, segmentul liniar al izotermei se reduce la un singur punct.

Izoterma corespunzatoare se numeste izoterma critica, volumul specific, corespunzator acestui punct se numeste volum critic, iar presiunea respectiva este presiunea critica.

Daca se continua experienta comprimand bioxidul de carbon la o temperatura superioara temperaturii critice, izotermele capata aspectul unor hiperbole echilatere, deci se aseamana cu izotermele gazelor ideale.

Aceste rezultate au fost obtinute si cu alte gaze, putandu-se trage urmatoarea concluzie: un gaz se poate lichefia prin comprimare, numai daca temperatura lui este inferioara temperaturii critice, sau cel putin egala cu ea.

Izotermele lui Andrews arata ca orice gaz se poate afla in stari lichefiabile si in stari permanente (cand gazul nu se poate lichefia).

Starile lichefiabile corespund izotermelor care au un segment liniar.

Punctele extreme ale acestor segmente se astern pe o curba, numita curba de saturatie, care este tangenta la izoterma critica, avand maximul pe aceasta izoterma.

Toate punctele din interiorul curbei de saturatie reprezinta stari de echilibru dintre lichid si vaporii respectivi, deci stari neomogene.

Regiunea exterioara curbei de saturatie corespunde starilor omogene, in care exista o singura faza.

Din analiza izotermelor lui Andrews, se observa ca intre lichide si gaze nu exista o diferenta esentiala. Pe baza principiului continuitatii starilor, formulat de Andrews, starea lichida si starea gazoasa nu sunt decat doi termeni departati ai unei serii continui de stari.

Se poate trece de la starea gazoasa la starea lichida in mod continuu, sistemul mentinandu-se tot timpul omogen. Sa consideram gazul in starea reprezentata de punctul I₀ aflat pe o izoterma inferioara celei critice (Fig.1.15.). Printr-o incalzire izocora gazul trece in starea reprezentata prin punctul M aflat pe o izoterma superioara celei critice. Comprimand apoi gazul in mod izoterm, se atinge starea reprezentata de punctul Q, a carui ordonata este mai mare decat cea corespunzatoare punctului critic. De aici, prin racire izobara, ajungem la starea reprezentata de punctul R, care este o stare lichida, de pe o izoterma cu temperatura inferioara celei critice. Prin urmare fluidul care sufera transformarea descrisa mai sus ramane tot timpul omogen, deoarece s-a evitat trecerea prin starile corespunzatoare segmentelor liniare ale izotermelor, care reprezinta stari lichefiabile. Invers pornind de la starea lichida reprezentata de punctul R, se poate trece printr-o incalzire izobara la starea gazoasa reprezentata de punctul Q, realizandu-se o succesiune de stari omogene. Fluidul trece astfel de la starea lichida la cea gazoasa, rarefiindu-se in mod continuu, obtinandu-se astfel un lichid rarefiat.

1.5.2. ECUATIA DE STARE A GAZELOR REALE

Ecuatia de stare a gazelor reale trebuie sa fie dedusa din ecuatia de stare a gazelor ideale, in care se introduc doua corectii si anume corectia de volum, datorita volumului propriu al moleculelor si corectia de presiune datorita coeziunii moleculelor.

Necesitatea unei corectii de volum apare si din urmatoarele consideratii: din ecuatia gazelor ideale scrisa, de exemplu, pentru un mol de gaz, se deduce:

ceea ce arata ca, marind presiunea suficient de mult, volumul gazului poate fi redus oricat. Dat fiind, insa, faptul ca moleculele gazului au un volum propriu, aceasta este evident imposibil. Volumul nu poate sa scada sub o anumita limita si ca atare, trebuie sa avem:

unde b constituie o corectie de volum, numita covolumul gazului.

Necesitatea corectiei b rezulta si din liniaritatea ramurii din dreapta a curbelor din figura 1.37.b, ceea ce conduce pentru aceasta portiune de curba la o ecuatie de forma:

pV_m=bp+c

(b si c sunt constante) sau

p(V_m-b)=c

Deoarece la presiuni mici si volume mari ecuatia trebuie sa reprezinte ecuatia unui gaz ideal, c=RT.

In acelasi timp, prin comprimarea gazului, moleculele se apropie iar fortele de atractie intermoleculare cresc tinzand sa micsoreze si mai mult volumul, de unde apare si necesitatea unei corectii de presiune. Ecuatia unei astfel de portiuni de curba se poate scrie sub forma:

pV_m=C -C p

Deoarece la presiuni joase, deci cand termenul b este neglijabil, gazul se comporta ca un gaz ideal, rezulta ca C₁=RT. Relatia 1.83. devine:

pV_m=RT-C p (1.84)

sau, cum in conditii apropiate de cele de gaz ideal, putem scrie:

rezulta:

 

cu a=C₂RT.

Expresia (1.85.) se poate scrie:

sau

Termenul joaca rolul unei presiuni interne.

Combinand cele doua corectii, de volum si de presiune, obtinem ecuatia de stare a gazelor reale pentru un volum de gaz sub forma:

numita ecuatia lui Van der Waals. Ea nu are o valabilitate generala, pentru orice domeniu de temperatura si presiune, dar este cu mult mai exacta decat ecuatia gazelor ideale, pentru domenii de temperatura si presiune nu prea intinse.

Pentru n moli de gaz ecuatia (1.87.) devine:

 

unde V_m=V/n

Se observa ca ecuatia gazelor ideale reprezinta un caz limita catre care tinde ecuatia lui Van der Waals pentru presiuni joase deci pentru valori mari ale volumului. In acest caz, poate fi neglijat termenul a/V_m fata de p si b fata de V_m obtinandu-se ecuatia de stare a gazului ideal.

Constantele a si b din ecuatia lui Van der Waals se pot determina cu ajutorul valorilor critice T_c, p_c si V_c.

Pentru a stabili relatiile dintre aceste marimi, vom ordona termenii din ecuatia lui Van der Waals pentru un mol de gaz, (eliminand indicele m) dupa puterile descrescatoare ale lui V. Obtinem:

care este o ecuatie de gradul al treilea in V.

Pentru o anumita temperatura si presiune, aceasta ecuatie in V are trei radacini. Ele pot fi, fie toate reale si distincte, fie toate reale si confundate, fie una reala si doua complexe conjugate.

Sa aplicam aceasta ecuatie starii critice, definita prin temperatura T_c si presiunea critica p_c. Deoarece pentru starea critica ecuatia are trei radacini reale si confundate, ea se mai poate pune si sub forma:

(V-Vc

asa incat:

de unde deducem:

Putem rezolva ecuatiile (1.91.) in raport cu a, b si R si obtinem:

, ,

Din ultima formula a grupului de relatii (1.92.) rezulta:

care reprezinta ecuatia lui Van der Waals in punctul critic, pentru un kmol de gaz real. In cazul unei mase m de gaz real, ecuatia (1.93.) devine:

1.5.3. IZOTERMELE LUI VAN DER WAALS

Sa discutam, pentru inceput, cazul unei izoterme Van der Waals (teoretica) pentru o temperatura T₁ mai mica decat T_c si sa o comparam cu izoterma experimentala obtinuta de Andrews. Curba plina la T₁ (Fig.1.16.) reprezinta izoterma experimentala, iar curba punctata izoterma teoretica Van der Waals.

Dupa cum rezulta din figura 1.16. in cazul izotermei Van der Waals unei valori a presiunii p₁ ii corespund trei valori ale volumului V₁, V₂, V₃ care reprezinta cele trei radacini reale ale ecuatiei lui Van der Waals.

Comparand izoterma Van der Waals cu izoterma Andrews, rezulta urmatoarele:

- portiunile ab -stare lichida si fg - stare gazoasa a celor doua izoterme coincid;

-diferenta se constata pe portiunea bf care descrie condensarea, deci in sistemul neomogen bifazic si anume bf pentru izoterma Andrews (cea experimentala) si bcdef pentru izoterma Van der Waals, de altfel aparitia in aceasta regiune a neconcordantei intre cele doua izoterme nu trebuie sa surprinda, deoarece prima (cea experimentala) descrie stari neomogene bifazice, in timp ce a doua numai sisteme omogene monofazice;

- punctele de pe portiunea cde a izotermei sunt puncte apartinand unei faze ce nu se realizeaza in natura, deoarece pentru sistemul aflat in aceasta faza, unei cresteri a presiunii trebuie sa-i corespunda o crestere a volumului sistemului si nu o micsorare asa cum se intampla pentru toate sistemele cunoscute experimental. Cu toate ca un astfel de sistem nu a fost observat experimental, el poate fi considerat ca o stare instabila a sistemelor reale;

- starile reprezentate prin portiunile bc si ef ale izotermei Van der Waals sunt stari care se realizeaza experimental numai cu anumite precautii si le vom numi metastabile, intrucat o variatie foarte mica a conditiilor lor de realizare conduce la stari ale sistemului aflate pe dreapta de condensare bf.

Starile de pe curba ef sunt cele in care sistemul ramane in stare gazoasa la presiuni mai mari decat cele necesare pentru aparitia condensarii.

In aceste stari, vaporii saturanti se afla la presiuni mai mari decat asa numita tensiune maxima de vaporizare si vaporii in acest caz se numesc suprasaturanti.

Starile de pe curba bc sunt cele pentru care sistemul ramane sub forma de lichid, cu toate ca presiunea la care se afla este mai scazuta decat cea necesara pentru ca lichidul sa-si inceapa fierberea si de aceea starile de pe curba bc se numesc stari de supraincalzire. Aceste stari in care se constata existenta lichidului la presiuni mai mici decat cele la echilibru poarta numele de lichid rarefiat.

Din cele discutate rezulta ca izoterma Van der Waals reprezinta starile

stabile, metastabile si instabile prin care trece un sistem fizic omogen la variatia presiunii si volumului sau.

Pentru o temperatura T₂sT_c suficient de inalta unei anumite presiuni p_c ii corespunde o singura valoare V_c a volumului, rezultata din contopirea celor trei valori V₁, V₂, V₃. In cazul temperaturilor T₃>T_c curba tinde sa devina o hiperbola echilatera, ca in cazul izotermelor gazului ideal, acest gaz corespunzand ultimei posibilitati a solutiilor ecuatiei (1.89) si anume o solutie reala si doua imaginare.

Aplicatii

Un vas cilindric deschis are diametrul . La fundul vasului in mijloc se practica un orificiu de arie . Se toarna apa in vas cu un debit constant .

a). La ce inaltime se va stabili nivelul apei in vas?

b). Odata atinsa inaltimea stabilita la punctul anterior se opreste turnarea apei. In cat timp se va goli vasul?

Rezolvare:

a)

b).

Pe o suprafata orizontala se afla un vas cilindric cu lichid de densitate si viscozitate .

Nivelul lichidului este mentinut constant la inaltimea . Pe suprafata laterala este ,montat un tub orizontal de lungime si raza interioara , la inaltimea de la baza. Sa se afle distanta pe orizontala masurata de la capatul capilarului pana la punctul in care lichidul cade pe plan.

Rezolvare

Se aplica legea Hagen-Poisenille

(2)

Din ecuatia de continuitate rezulta:

(3)

(4)

(5)

(6)

Sa se calculeze presiunea datorata fortelor de interactiune dintre mole-culele de azot in conditiile in care densitatea azotului este .

Se cunosc , , , .

Rezolvare

Expresia presiunii interne este:

Constanta a se exprima in functie de parametrii punctului critic:

(2)

(3)

(5)