Interferenta undelor produse de doua fante sincrone

INTERFERENTA UNDELOR PRODUSE DE DOUA FANTE SINCRONE

1.     Scopul lucrarii: studiul calitativ si cantitativ al fenomenului de interferenta in montajul experimental al lui Young.

2.     Materiale necesare:

Trusa pentru studiul microundelor, trusa pentru studiul fenomenelor optice, applet-uri pentru studiul opticii ondulatorii: (http://www.walter-fendt.de/ph14e/doubleslit.htm).

3.     Teoria lucrarii

Consideram doua fante punctuale care oscileaza in faza, cu aceeasi frecventa ω, si care emit unde armonice (S₁ si S₂).

S₁ r₁ P

                                                                      

r₂

S₂

Unda plana ajunsa in P, avand ca sursa fanta S_1, are ecuatia: ₁=₁·sin(kr₁- t), iar cea provenita din S₂ are ecuatia: ₂=₂·sin(kr₂- t). Cele doua oscilatii paralele, de aceeasi frecventa, se suprapun. Exista doua situatii importante care corespund oscilatiilor in faza, cand avem interferenta constructiva, si oscilatiilor in antifaza, cand avem interferenta distructiva:

Oscilatiile sunt in faza cand defazajul: kr₂-kr₁ este un multiplu intreg de 2π. Tinand cont ca vectorul de unda este: k = 2 π / λ, obtinem: kr₂-kr₁ =2n  sau  r₂-r₁ =nλ - conditia de maxim de interferenta (amplitudinea rezultanta este A=A₁+A₂). Avem minim de interferenta cand defazajul e multiplu impar de π. Inlocuind k = 2 π / λ in kr₂-kr₁ =(2n+1) obtinem r₂-r₁ =(n+½)λ. In acest caz amplitudinea rezultanta este : A = |A₁-A₂|.

Pentru valori oarecare ale defazajului, amplitudinea rezultanta este:

Daca amplitudinile sunt egale: A₁=A₂, obtinem:

Aceasta se intampla daca distanta d intre fante este mult mai mica decat distanta de la fante pana la ecran.

Deoarece intensitatea undei este proportionala cu amplitudinea la patrat, obtinem:

In figura de mai sus vedem amplitudinea rezultanta in urma interferentei undelor emise de doua fante sincrone aflate la distanta d una fata de cealalta.

Intensitatea rezultata in urma interferentei celor doua unde sincrone este prezentata in figurile de mai jos:

unde cu albastru sunt reprezentate locurile geometrice ale punctelor de maxim de interferenta, iar cu rosu, cele ale punctelor de minim de interferenta.

In figura vedem intensitatea rezultanta a undelor emise de doua surse coerente. Vom determina locul geometric al punctelor de minim si de maxim. Acest loc geometric este determinat de relatia : r₂ - r₁ = Δ = constant. Δ = 2nλ/2 in cazul maximelor si Δ = (2n+1)λ/2 in cazul minimelor.

Daca punctul P are coordonatele x si y iar sursele au coordonatele (0, ±d/2), ecuatia curbei r₂-r₁=Δ este:

Eliminam radicalii ridicand de doua ori la patrat:

si    obtinem:

care este ecuatia unei hiperbole. Daca ecranul este la o distanta x de planul fantelor, pozitia maximelor si a minimelor pe ecran este data de intersectia acestor hiperbole cu ecranul.

• Primul maxim, se produce cand Δ=0,  y=0
• Primul mínim, se produce cand Δ=λ/2,
• Al doilea maxim se produce cand Δ=λ
• Al doilea mínim, se produce cand Δ=3λ/2

si asa mai departe. Asa cum vedem in figura, la distanta mare de fante, hiperbola se poate aproxima cu dreapta spre care tinde asimptotic.

Extragem din ecuatia hiperbolei raportul:

si calculam panta asimptotei ca limita acestui raport cand x tinde la infinit:

Folosind relatiile trigonometrice:

   si ,

putem aproxima diferenta de drum prin relatia: r₂-r₁=Δ≈d·senθ, care ne permite sa aflam directiile θ in care interferenta este constructiva sau distructiva.

- primul maxim se produce cand Δ = 0, pentru unghiul θ = 0⁰;

- primul minim se produce cand Δ = λ/2, pentru unghiul dat de d·sinθ= λ/2;

- al doilea maxim se produce cand Δ = λ, pentru unghiul dat de d·senθ= λ;

si asa mai departe.

Daca ecranul este la distanta x de planul surselor, pozitia maximelor si minimelor pe ecran se deduce din relatia:

4.     Modul de lucru

Emitator de microunde Ecran cu 2 fante Receptor de microunde

Deplasand receptorul la stanga si la dreapta in planul ecranului detector, vom determina pozitiile maximelor si minimelor de diferite ordine. Cu ajutorul relatiei:

y = n*λ*x/d,

dupa ce masuram y, x, d si n - ordinul de interferenta, putem calcula lungimea de unda a radiatiei folosite, λ.

5.     Probleme

a)     Lumina cu λ = 400 nm cade pe doua fante situate la 0,2 mm distanta. Pentru ce distanta intre planul fantelor si ecranul pe care se observa franjele de interferenta separarea dintre maximul de ordinul intai si cel de ordinul al doilea este de 5 mm?

b)     Consideram lumina monocromatica ce trece prin trei fante paralele, situate la distanta d una fata de alta. Undele emise de cele trei fante au aceeasi amplitudine, aceeasi frecventa si prezinta, una fata de cea precedenta, un defazaj de 2π sinθ /λ. Determinati expresia intensitatii undei pe ecranul de interferenta aflat la distanta D fata de planul fantelor.