MISCARI PARTICULARE ALE PUNCTULUI MATERIAL

Un punct material poate avea o miscare generala, dar in practica sunt frecvente si cateva miscari particulare, care se pot clasifica dupa urmatoarele criterii de baza:

1. Dupa valoarea acceleratiei tangentiale

-miscari uniforme:

-miscari uniform variate:

-miscari neuniforme:

2. Dupa forma traiectoriei descrise de punctul material (=raza de curbura a traiectoriei):

-miscari rectilinii:

-miscari circulare:

-miscari curbilinii oarecare:

1. Miscarea rectilinie a punctului material

Miscarea rectilinie se caracterizeaza prin aceea ca raza de curbura este infinita, adica .

In cazul acestei miscari se analizeaza doua cazuri particulare si anume:

a) miscarea rectilinie si uniforma;

b) miscarea rectilinie uniform variata.

1.1. Miscarea rectilinie uniforma

Se caracterizeaza prin acceleratia tangentiala nula, adica

Dupa separarea variabilelor din relatiile:

prin integrarea lor se obtine:

(42)

unde C₁ si C₂ sunt doua constante de integrare, care se determina din conditiile initiale, fixate la originea timpului. Daca, in cazul cel mai general, la t=0, se cunosc s=s₀ si v=v₀, si rezulta cele doua constante de integrare: C₁=v₀ si C₂=s₀,

Ecuatiile de miscare devin:

(43)

intalnite si sub denumirea de legea orara a miscarii, v si s fiind parametrii miscarii rectilinii si uniforme.

1.2. Miscarea rectilinie uniform variata

Miscarea rectilinie uniform variata se caracterizeaza prin acceleratie tangentiala constanta, adica

Prin doua integrari succesive in raport cu timpul, dupa ce in prealabil s-au separat variabilele din:

se obtine:

(44)

Prin impunerea conditiilor initiale: la t=0, si , cele doua constante de integrare devin: si

Parametrii miscarii rectilinii uniform variate devin:

(45)

Uneori, in aplicatii, este necesar sa se exprime viteza in miscarea uniform variata sub o alta forma, cum ar fi in functie de spatiul parcurs s si acceleratia a. Aceasta se poate obtine prin eliminarea timpului din ultimele doua ecuatii (45) :

sau:

(46)

cunoscuta sub denumirea de formula lui Galilei.

In cazul particular cand s₀=0, s=h, v₀=0, a=g (acceleratia gravitationala), se obtine:

(47)

adica formula vitezei in caderea libera si este cunoscuta sub denumirea de formula lui Toricelli.

Miscarile uniform variate pot fi miscari accelerate, daca a>0, sau miscari incetinite (sau decelerate) daca a<

2. Miscarea circulara a punctului material

In aplicatiile tehnice intervin frecvent cazuri in care punctul material descrie o traiectorie sub forma de cerc sau arc de cerc.

Intr-o astfel de situatie pozitia punctului pe traiectorie poate fi precizata mai simplu cu ajutorul unghiului la centru facut de raza care urmareste punctul si o directie fixa aleasa arbritar Ox (fig.7). Studiul acestui tip de miscare se face mai comod cu ajutorul sistemului de referinta intrinsec, mai ales ca aceasta miscare se caracterizeaza prin asa ca in acest caz coordonata curbilinie a traiectoriei este:

(48)

Marimea vectorului viteza este:

si notand viteza ungiulara masurata in rad/s sau simplu s^-1, rezulta:

(49)

Proiectiile vectorului acceleratie, sunt:

(50)

in care, cu s-a notat acceleratia unghiulara masurata in rad/s² sau mai simplu s^-2.

Deci, expresiile analitice ale vectorilor viteza si acceleratie, in sistemul de coordonate intrinseci (triedrul lui Frenet), au formulele:

(51)

din care se obtin modulele celor doua marimi cinematice, viteza si acceleratie ale punctului M:

(52)

Directia vitezei este tengenta la cerc, iar directia acceleratiei este data prin unghiul facut de aceasta cu raza vectoare OM, adica:

(53)

In practica in locul vitezei unghiulare se obisnuieste sa se foloseasca notiunea de turatie, notata cu n, care masoara numarul de rotatii complete efectuate timp de un minut de catre raza vectoare a punctului M. Relatia de transformare dintre n si este urmatoarea:

(54)

Viteza unghiulara poate fi interpretata si ca un vector alunecator, avand suportul perpendicular pe planul cercului in centrul acestuia. Sensul vectorului se stabileste dupa regula de inaintare a surubului drept inaintare obtinuta prin rotirea sa cu unghiul este sensul vectorului conform cu figura 8. Notand cu vectorul de pozitie al punctului M fata de un pol oarecare O de pe suportul vectorului se va putea scrie relatia pentru vectorul vitezei astfel:

(55)

Aceasta relatie este justificata prin faptul ca in conformitate cu regula produsului vectorial intre vectorii si definti de relatia (55), se regasesc toate caracteristicile vectorului viteza a punctului M in miscarea sa pe cercul de raza R: marime, directie si sens:

(56)

Pentru a gasi si expresia vectorului acceleratie, se va deriva in raport cu timpul, expresia vectorului viteza (relatia 55), respectand regulile de derivare:

(57)

in care se recunosc termenii:

, (58)

tocmai componentele (50) si (51) ale acceleratiei.

Acceleratia unghiulara este tot un vector alunecator (liber) care, in cazul acesta, are acelasi suport si sens cu vectorul , daca miscarea este accelerata si sens contrar daca miscarea este incetinita; adica in concordanta cu vectorul

Din expresia generala (55), rezulta si regula de derivare, in mecanica a unui vector oarecare constant ca marime dar variabil ca directie:

indiferent care ar fi vectorul si ce semnificatie fizica ar avea.

Ca si in cazul miscarii rectilinii, si in cazul miscarii circulare se disting doua cazuri particular:

a) miscarea circulara uniforma;

b) miscarea circulara uniforma variata.

2.1. Miscarea circulara uniforma:

Miscarea circulara uniforma se caracterizeaza prin:si

Prin doua integrari succesive, dupa ce in prealabil s-au separat variabilele, se obtine:

(60)

in care C₁ si C₂ sunt cele doua constante de integrare.

Presupunandu-se cazul general, cand la t=0; si rezulta constantele de integrare de forma si

Deci:

(61)

relatii ce reprezinta legile miscarii circulare uniforme.

In acest caz se observa ca:

(62)

Se remarca faptul ca in miscarea circulara, chiar daca aceasta este uniforma, acceleratia punctului nu este 0 (ca in cazul miscarii rectilinii uniforme), ci are componenta normala, dirijata dupa raza cercului si cu sensul spre centrul cercului.

2.2. Miscarea circulara uniform variata:

Miscarea circulara uniform variata se caracterizeaza prin: .

(63)

Daca se pastreaza aceleasi conditii initiale: la t=0; si rezulta ca, constantele de integrare sunt si

Deci legile miscarii circulare uniform variate devin:

(64)

Aceste relatii sunt identice din punct de vedere mecanic cu relatiile (57) obtinute pentru cazul miscarii rectilinii uniform variate, adica:

(65)

ceea ce inseamna ca fiecarei marimi din miscarea rectilinie (liniara) ii corespunde una in miscarea circulara (de rotatie). Aceasta similitudine a marimilor mecanice se va putea pastra in toata mecanica.

TESTUL 6

Viteza este definitǎ ca fiind:

a.      variatia acceleratiei in intervalul de timp;

b.     raportul dintre lungimea arcului parcurs si timpul corespunzǎtor parcurgerii;

c.      produsul dintre acceleratie si pǎtratul timpului;

d.     derivata in raport cu timpul a vectorului accelaratie;

e.      produsul dintre masǎ si acceleratie.

In miscarea circularǎ a punctului material reprezintǎ:

a.      viteza unghiularǎ;

b.     acceleratia la un moment dat;

c.      viteza instantanee;

d.     acceleratia unghiularǎ;

e.      spatiul unghiular.]

Componenta normalǎ a acceleratiei din miscarea curbilinie este:

a.      tangentǎ la traiectorie;

b.     pe directia razei de curburǎ;

c.      paralelǎ cu viteza;

d.     perpendicularǎ pe planul curbei;

e.      inclinatǎ cu 30⁰ fatǎ de raza de curburǎ.

4. Traiectoria unui punct material este definita ca fiind:

a)     drumul parcurs la dus si intors de punctul material;

b)     locul geometric al pozitiilor succesive pe care le ocupa un punct material in timpul miscarii;

c)     locul geometric al punctelor de aplicatie avitezelor punctului material in timpul miscarii;

d)     spatiul parcurs de punctul material in unitatea de timp;

e)     derivata spatiului parcurs de punctul material in raport cu timpul.

5. Unitatea de masura pentru viteza in S.I. este :

a) m/s²;

b) Kgm/s²;

c) m/s;

d) Kg/s;

f)      m²/s².

Acceleratia in S.I. se masoara in:

a)     Kg/m;

b)     m/s;

c)     Kg²/m²;

d)     m²/s²;

e)     m/s²;

In coordonate polare, viteza are marimea:

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)     .

In miscarea rectilinie uniform variata, legea spatiului are forma:

a)     x = x₀ + v₀t + at²;

b)     x = x₀ - v₀t + at²;

c)     x = x₀ + v₀t + at²/2;

d)     x = x₀ + v₀t²/2+ at;

e)     x = x₀ - v₀t + at²/2.

In miscarea circulara a punctului material, acceleratia normala are expresia:

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)     .

In miscarea circulara a punctului material acceleratia este:

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)     .

In miscarea circulara uniform variata a punctului material, legea spatiului unghiular este:

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)     .

Componenta vitezei punctului material in sistemul de coordonate cartezian sunt:

a)            ;

b)            ;

c)            ;

d)            ;

e)            .

Componentele acceleratiei punctului material in sistemul de coordonate carteziene sunt:

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)     .

Derivatele in raport cu timpul a versorilor radial si transversal sunt:

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)     .

Componenta transversala a acceleratiei in sistemul polar are forma:

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)     .

In miscarea rectilinie uniform variata a punctului material, formula lui Galilei este:

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)    

Relatia de transformare dintre turatia n si viteza unghiulara este:

a)     ;

b)     ;

c)     ;

d)     ;

e)