Erori de masurare

Utilizarea oricarui mijloc de masurare a unei marimi fizice introduce erori de masurare. Acestea sunt cauzate de imperfectiunile aparaturii utilizate, de conditiile de mediu, sau chiar de catre operator. In practica, valoarea adevarata (reala) a unei marimi fizice este imposibil de determinat, motiv pentru care in locul acesteia se accepta o valoare determinata cu o incertitudine suficient de mica, numita valoare conventional adevarata. Incertitudinea de masurare este intervalul in care se estimeaza cu o anumita probabilitate (numita nivel de incredere) ca se afla valoarea adevarata a marimii masurate. Incertitudinea de masurare estimeaza limitele erorilor de masurare. Precizarea erorii maxime care poate fi acceptata pentru o masurare efectuata cu anumite mijloace si in anumite conditii, precum si a incertitudinii de masurare, fac utilizabil sau nu, rezultatul masurarii.

Eroarea de masurare Dx este diferenta dintre valoarea masurata x, si valoarea reala a marimii masurate x_a (a carei existenta este postulata), adica: Dx = x - x_a.

Erorile de masurare pot fi exprimate ca erori absolute, erori relative sau erori raportate. Eroarea absoluta a unei marimi fizice (Dx) reprezinta diferenta dintre valoarea masurata (x) si valoarea numerica reala (x_a) a acestei marimi:

Dx = x - x_a

Eroarea absoluta are aceleasi dimensiuni fizice ca si marimea masurata si se exprima in aceleasi unitati de masura. Eroarea absoluta cu semn schimbat se numeste corectie, c = - Dx

Eroarea relativa reprezinta raportul dintre eroarea absoluta si valoarea reala a marimii masurate:

ε = =

Eroarea raportata este raportul dintre eroarea absoluta si domeniul de masurare (sau o valoare conventionala x_c):

ε_r =

unde x_max si x_min reprezinta limitele domeniului de masurare.

Eroarea relativa si cea raportata sunt marimi adimensionale si se exprima adesea in procente.

In functie de natura acestora, distingem: erori obiective, respectiv erori subiective.

Erorile obiective pot fi, la randul lor, de mai multe tipuri:

w erori de instrumentale (de aparat) - datorate unor caracteristici constructive ale aparatelor de masura, etalonarii incorecte sau uzurii. Acestea sunt relativ usor de determinat de catre operator, deoarece limitele lor de variatie sunt cunoscute din specificatiile tehnice date de furnizorul aparatului.

w erori de metoda - intalnite mai ales in cazul unor metode indirecte de masurare, sunt chiar consecinta aplicarii principilor metodei, sau, sunt determinate de introducerea unor simplificari, aproximari, extrapolari, sau a utilizarii unor relatii empirice.

w erori de influenta - produse de conditiile de mediu sau de alti factori externi (temperatura, presiune, umiditate atmosferica, campuri magnetice, etc.). Pentru eliminarea erorilor de influenta se impune asigurarea conditiilor de mediu cerute de producator. Insa, datorita faptului ca legile de variatie in timp a conditiilor de mediu nu sunt intotdeauna cunoscute, aceste erori sunt dificil de evaluat prin calcule.

Erorile subiective (de operator) provin din modul subiectiv in care operatorul apreciaza efectele observate. Acestea sunt date de o mare varietate de factori, de la starea de oboseala sau anumite deficiente ale organelor de simt, pana la factori complecsi de natura afectiva sau cognitiva, strategii decizionale, scheme de gandire etc.

In functie de frecventa de aparitie la repetarea masuratorilor in conditii practic identice, putem distinge erori de masurare sistematice, erori aleatoare sau intamplatoare, respectiv erori grosolane.

Erorile sistematice sunt acele erori care raman constante ca marime si semn la repetarea masurarii in aceleasi conditii, sau variaza in mod predictibil odata cu modificarea conditiilor de masurare. Ele se datoreaza unor cauze bine determinate si pot fi eliminate prin aplicarea unor corectii.

Erorile aleatoare (intamplatoare) sunt erorile care au valori si semne diferite intr-o succesiune de masuratori efectuate in aceleasi conditii. Acestea nu sunt controlabile si pot proveni din fluctuatiile accidentale ale conditiilor de mediu, ale atentiei operatorului uman, sau ale dispozitivului de masurare. Cauzele erorilor intamplatoare sunt necorelate intre ele.

Erorile grosolane constau in abateri mari de la valoarea reala a marimilor fizice masurate. Acestea au probabilitate mica de aparitie in conditii experimentale standard, fiind introduse prin alegerea gresita a metodei sau a mijloacelor de masurare, sau, se mai pot datora calculelor eronate, neatentiei, etc.

Rezultatele masuratorilor alcatuiesc o multime neordonata de valori; pentru a putea fi analizate si interpretate, se recurge de regula la prelucrarea statistica a acestora. Astfel, valorile numerice obtinute in urma efectuarii mai multor masuratori asupra unei marimi fizice, pot fi reprezentate grafic sub forma unei histograme sau poligon de frecventa.

In intocmirea unei histograme, datele experimentale se ordoneaza crescator, iar pe abscisa se trece domeniul de incadrare al rezultatelor masurarii. Abscisa este impartita apoi in intervale relativ mici, egale ca lungime, numite intervale de grupare.

Considerand un sir n de masuratori, cuprins intre valorile limita x_min si x_max, lungimea intervalului de grupare d se calculeaza cu formula lui Sturges:

d =

Pentru fiecare interval de grupare se calculeaza valoarea centrala sau medie; pentru fiecare interval de grupare, se determina numarul de masuratori n_i pentru care se obtin valori cuprinse in respectivul interval, adica frecventa absoluta; raportul dintre frecventa absoluta n_i si numarul total de masurari n, reprezinta frecventa relativa f_i. Ordonata histogramei va contine frecventele absolute sau relative corespunzatoare intervalelor de grupare.

Histograma este diagrama formata din dreptunghiuri avand baza egala cu intervalul de grupare, iar inaltimea proportionala cu frecventa (absoluta sau relativa). Unind prin segmente de dreapta mijloacele superioare ale dreptunghiurilor histogramei, se obtine poligonul de frecventa (Fig. 1.1).

Fig. 1.1. Histograma si poligonul frecventelor relative

Considerand intervalele de grupare suficient de mici si numeroase, histograma (Fig. 1.1) poate fi inlocuita cu o curba de distributie (Fig. 1.2).

Media, mediana si dispersia sunt indicatori statistici care permit determinarea tendintei centrale a rezultatelor obtinute si estimarea preciziei masuratorilor.

Atunci cand intervin erori intamplatoare, media aritmetica ofera o estimare destul de buna a valorii reale a marimii masurate. Pentru un sir de n masuratori efectuate in aceleasi conditii experimentale asupra unei marimi fizice oarecare, media aritmetica se calculeaza cu relatia:

=

In cazul unui sir foarte mare de masuratori, cand n → ∞, valoarea medie tinde catre valoarea reala a marimii masurate.

Media geometrica, media patratica, media armonica, mediana, modul sau dominanta sunt alti indicatori statistici care pot fi utilizati pentru a estima valoarea masurata cea mai apropiata de cea reala a unei marimi fizice. Pentru un sir n de masuratori efectuate in aceleasi conditii experimentale, exista urmatoarele formule de calcul: media geometrica x_g = , media patratica x_p = , respectiv media armonica x_h = .

Mediana (m_e) este valoarea care imparte in doua parti egale sirul rezultatelor dispuse in ordine crescatoare. Daca sirul are un numar impar de termeni, mediana este considerata valoarea de ordin (n+1)/2. In cazul unei distributii simetrice (normale) a rezultatelor, mediana coincide cu media si se indeparteaza de aceasta in cazul unei distributii asimetrice.

Modul sau dominanta (m_o) este valoarea careia ii corespunde frecventa maxima a masuratorilor dintr-un sir.

Intre media aritmetica, mediana si dominanta exista urmatoarele relatii:

m_e = ; m_o = 3m_e - 2; =.

Abaterea (eroarea) medie () a unui set de n masuratori, efectuate in aceleasi conditii, este data de relatia:

si exprima gradul de imprastiere a rezultatelor in jurul valorii medii.

Abaterea (eroarea) medie absoluta () este definita astfel:

Dispersia de selectie () este definita ca media patratelor abaterilor de la valoarea medie:

;

aceasta reflecta modul de grupare a rezultatelor masuratorilor in jurul valorii medii.

Dispersia teoretica (D) este definita ca media patratelor abaterilor de la valoarea reala (adevarata) a marimii masurate si se calculeaza cu formula lui Bessel:

Abaterea (eroarea) medie patratica () este data de relatia: 

Distributia colectiei de date poate avea mai multe forme. Astfel, daca graficul care reprezinta valorile masurate in functie de frecventa prezinta un singur varf de maxim, distributia se numeste unimodala. Daca pe acest grafic pot fi observate doua sau mai multe varfuri de maxim, distributia se numeste bimodala, respectiv plurimodala. Distributia unimodala este simetrica, in cazul in care raportul σ/= 0, asimetrica cu varful de maxim situat in dreapta daca σ/> 0, respectiv asimetrica orientata spre stanga daca σ/ < 0.

In cazul unui numar mare de determinari experimentale efectuate asupra unei marimi fizice care variaza continuu, erorile aleatoare respecta o lege de distributie normala (numita si distributie Gauss-Laplace). Pentru distributia normala, densitatea de probabilitate a repartitiei rezultatelor, se scrie:

= ,

unde reprezinta media aritmetica a valorilor masurate, iar σ abaterea medie patratica.

Fig. 1.2. Curba de distributie normala a densitatii de probabilitate a repartitiei rezultatelor masuratorilor (considerate ca variabile aleatoare)

Distributia normala (gaussiana) prezinta o serie de proprietati, care permit estimarea preciziei masuratorilor si stabilirea unor intervale de incredere. Astfel:

pentru un numar suficient de mare de masuratori efectuate in aceleasi conditii experimentale, valorile x ale marimii masurate se distribuie simetric fata de media aritmetica ;

reprezinta valoarea marimii masurate in care f(x) este maxim; = ;

graficul f (x) este simetric fata de axa ordonatelor;

curba de repartitie are forma de clopot ("clopotul lui Gauss"), cu doua puncte de inflexiune, corespunzatoare valorilor:

forma curbei este conditionata de dispersia rezultatelor masuratorilor,

analizand forma curbei de repartitie a rezultatelor si dispersia acestora in jurul valorii medii se observa ca erorile mai mici sunt mai probabile si mai frecvente decat erorile mai mari; simpla examinare a curbei furnizeaza informatii asupra calitatii si preciziei masuratorilor: forma aplatizata a curbei corespunde unei dispersii mai mari, in timp ce forma ascutita indica o dispersie mai mica si gruparea valorilor spre valoarea medie, atestand o precizie mai mare;

aproximativ 68% dintre valorile distributiei normale se situeaza in intervalul si + σ, aproximativ 95% dintre acestea se situeaza in intervalul si + 2σ, iar aproximativ 99,7% dintre valori se situeaza in intervalul si

probabilitatea ca eroarea absoluta sa fie cuprinsa intre anumite limite stabilite ε₁ si ε₂ numite limite de incredere, poate fi determinata prin integrarea expresiei densitatii de probabilitate:

= ,

.