Metoda Hartree-Fock dependenta de timp si obtinerea ecuatiei Boltzmann

Metoda Hartree-Fock dependenta de timp si obtinerea ecuatiei Boltzmann

Pentru rezolvarea problemei interactiei a A corpuri din punct de vedere cuantic, nerelativist, este necesara rezolvarea ecuatiei Schrödinger dependente de timp

, (III.13)

unde functia de stare depinde de toate cele A corpuri si de timp: .

Deoarece aceasta ecuatie nu se poate rezolva direct a fost necesara gasirea unor metode specifice si aproximatii pentru rezolvare. Unele dintre acestea au fost preluate din alte domenii ale Fizicii.

Printre metodele des folosite pentru rezolvarea problemei de A corpuri in Fizica nucleara se numara si metoda Hartree-Fock. Ea are la baza teoria Hartree a campurilor auto-consistente ("self-consistente") folosita in Fizica atomica. În acest caz se pleaca de la un set de functii de stare uniparticula oarecare. Prin medierea interactiei de mai multe corpuri se generaza un potential uniparticula. Cu ajutorul acestui potential si a setului de functii de stare se rezolva ecuatia Schrödinger si se obtine un set nou de functii de stare. Se reia acest ciclu si se repeta pana la obtinerea consistentei intre functiile de stare si potentialul de interactie.

Exista o teorie Hartree-Fock statica care implica unele modificari, si anume:

(i) introducerea unui termen de schimb suplimentar;

(ii) functia de stare de mai multe corpuri este aproximata printr-un determinant Slater de functii de stare uniparticula;

(iii) hamiltoniainul de interactie este compus dintr-un hamiltoniain dat de teoria Hartree la care se adauga un potential uniparticula nonlocal.

Pentru rezolvare se folseste, ca si in primul caz, un procedeu iterativ. Acesta se repeta pana la atingerea consistentei intre interactia mediata si functiile de stare.

Remarca. Prin metoda Hartree-Fock se construieste o "mare Fermi" de particule cu o suprafata Fermi bine definita, deoarece in calculul determinantului specific Hartree-Fock se selecteaza A functii de stare uniparticula care dau cele mai joase nivele de energie.

Metoda Hartree-Fock statica a fost folosita cu succes in modelele atomice, iar mai apoi in modelele nucleare de paturi

Ciocnirile nucleare - indiferent de energia la care se produc - ridica problema dependentei de timp pentru descrierea evolutiei celor A nucleoni care se ciocnesc. De aceea, este necesara o cale tratabila pentru o ecuatie Hartree-Fock dependenta de timp. În absenta unui camp central extern nucleonii sunt legati intre ei, in nucleele din care provin, prin interactii mutuale (reciproce). Metoda Hartree-Fock este considerata, in cele mai multe cazuri de interes, ca o aproximatie. Acest lucru este legat de faptul ca incearca reducerea problemei mai multor corpuri care interactioneaza tare la una de mai multe particule care nu interactioneaza si neglijeaza interactiile reziduale. Aproximatia Hartree-Fock dependenta de timp permite descrierea starilor excitate prin luarea in considerare a partii de distanta lunga a potentialului de interactie sau prin considerarea unui camp al interactiilor reziduale.

Determinantul Slater pentru un numar nederminat de stari a, b, c, . are o solutie care se poate scrie astfel:

. (III.14)

În ipoteza ca functia de stare a unui nucleu este o combinatie liniara de determinati Slater, hamiltonianul sistemului de mai multe corpuri se poate scrie sub forma urmatoare:

. (III.15)

În relatia de mai sus T_ij este un operator uniparticula pentru energia cinetica, iar U_ijkl este un operator corespunzator energiei potentiale si ia in considerare interactia a doua corpuri; este operatorul de creare de particule, iar a_j este operatorul de anihilare.

Pentru indeplinirea conditiilor de asimetrie pentru functiile de stare ale nucleonilor si respectarea principiului lui Pauli (nucleonii sunt fermioni) operatorii de creare si de anihilare satisfac relatiile de mai jos:

, (III.16)

. (III.17)

Se introduce o matrice de densitate uniparticula de forma:

, (III.18)

solutie a ecuatei von Neumann:

, (III.19)

unde H este un operator hermitic.

Prin introducerea unei matrici de densitate de doua particule de forma urmatoare:

, (III.20)

se poate obtine ecuatia Hartree-Fock dependenta de timp:

. (III.21)

Hamiltonianul Hartree-Fock, h, care contine conservarea numarului de particule si conservarea energiei, se poate scrie astfel:

. (III.22)

Ecuatia (III.21) este similara cu ecuatia Schrödinger dependenta de timp din relatia (III.13) pentru un hamiltonian de tip h.

Aproximatia Hartree-Fock dependenta de timp se poate aplica, cu relativ succes, pentru ciocniri nucleare la energii mai mari de 10 A MeV. Principalele procese si fenomene fizice de interes care se produc in ciocniri nucleare la energii intermediare si inalte si se pot descrie folosind aproximatia Hartree-Fock dependenta de timp sunt: fuziunea in ciocniri cu ioni grei, formarea nucleului compus, disiparea, propagarea undei de soc in materia nucleara, fragmentarea nucleara multipla s.a.

Pentru aplicarea aproximatiei Hartree-Fock dependenta de timp la energii pe nucleon in vecinatatea energiei de repaus a nucleonilor - dar mai mici - sunt necesare ipoteze suplimentare. Astfel, se poate considera ca exista procese fizice care perturba interactia binara. Functia de stare perturbata care se obtine este o consecinta a imprastierii particulelor pe orbitale neperturbate. De aceea, functia de stare perturbata se poate scrie astfel:

. (III.23)

Pentru obtinerea matricei de densitate se considera urmatoarea ecuatie von Neumann:

. (III.24)

Daca se considera cazul unidimensional matrice are o forma diagonala, anume:

, (III.25)

unde n_I sunt numere de ocupare. Prin introducerea in ecuatia von Neumann data de relatia (III.24) se determina numerele de ocupare. Relatia (III.24) se poate scrie astfel:

. (III.26)

Neglijandu-se termenii de ordin superior se poate scrie o noua ecuatie, de forma urmatoare:

. (III.27)

Ecuatia obtinuta are o forma similara cu ecuatia Boltzmann standard cu "regula de aur" (Fermi) pentru interactii inclusa

Trebuie reamintit aici faptul ca ecuatia Boltzmann este o ecuatie de tip ireversibil si descrie evolutia in timp a unei functii de distributie. Aceasta functie de distributie poate fi si numarul mediu de particule aflate intr-o stare uniparticula

Remarca. 1. "Regula de aur" (Fermi) da legatura dintre probabilitatea de tranzitie de la o stare initiala i la o stare finala f, w_fi, cu luarea in considerare a hamiltonianului de interactie, si densitatea de stari pentru starea finala, . Ea se scrie astfel:

. (III.28)

Observatie. Trecerea la functia Dirac, d, se face in ipoteza ca timpul t al tranzitiei de la o stare la alta este suficient de lung, dar mai mic decat timpul de ciocnire. Se interzic astfel ciocnirile de ordin superior (sunt acceptate numai ciocniri binare, asa cum s-a presupus initial).

Luarea in considerare a problemei interactiei a doua corpuri permite introducerea termenilor de ciocnire in diferite modele care folosesc ecuatia Boltzmann. Expresia ecuatiei Boltzmann pentru numarul de ocupare este urmatoarea:

. (III.29)

Daca se considera o functie de distributie uniparticula ecuatia care se poate scrie, cu luarea in considerare a termenilor de ciocnire, este de forma urmatoare:

. (III.30)

unde C este termenul de castig, iar P este termenul de pierdere. Ambii termeni depind de forma functiei de distributie uniparticula, , sectiunea eficace, s, si viteza relativa, .

Ecuatia Boltzmann se poate folosi intr-o gama larga de modele pentru descrieirea dinamicii ciocnirilor nucleare la energii intermediare si relativiste. Astfel de modele sunt cele de cascada intranucleara si cele hidrodinamice. Aceste modele vor fi discutate in curs. Ecuatia Boltzmann poate fi folosita si pentru descrierea formarii si evolutiei plasmei de cuarci si gluoni