Modelul fenomenologic geometric

Modelul fenomenologic geometric

1. Bazele experimentale si fenomenologice ale modelului

De-a lungul partii a doua a cursului s-au discutat o serie de asapecte legate de comportarea rezultatelor experimentale referitoare la unele marimi fizice cu semnificatie dinamica (sectiuni eficace, multiplicitati, participanti, dpectre de energie si impuls, caracteristici spatio-temporale ale sursei de particule s.a.). De fiecare data s-a subliniat modul in care ele reflecta geometria ciocnirii - determinata de parametrul de ciocnire si de gradul de simetrie dintre nucleele care se ciocnesc. Rezultatele experimentale pentru ciocnirile nucleu-nucleu de la energii de cateva sute de GeV/nucleon la energii de sute de GeV/nucleon reflecta imaginea participanti-spectatori. Pornind de la faptul ca, la energii relativiste, lungimea de unda asociata unui nucleon din nucleul incident este mult mai mica decat distanta internucleonica medie in nucleul tinta, iar drumul liber mediu al nucelonilor din nucleul incident in nucleul tinta este mai mic decat raza acestuia, descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste are la baza ipoteza ca nucleele care se ciocnesc pot fi considerate ca niste "nori" de nucleoni individuali care se propaga unul prin celalalt, iar in regiunea de suprapeunere a celor doua nuclee care se ciocnesc se produc interactii tari secventiale nucleon-nucleon. Regiunea de suprapunere a celor doua nuclee care se ciocnesc se numeste regiune participanta, iar regiunea/regiunile nesuprapusa/nesuprapuse se numeste/numesc regiune/regiuni spectatoare. De ipotezele privind forma regiunii de suprapunere depind multe din informatiile dinamice care se pot obtine.

Analiza comportarii rezultatelor experimentale obtinute in ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c a permis sa se considere urmatoarea imagine a desfasurarii ciocnirii in regiunea de suprapunere a celor doua nuclee care se ciocnesc apare o regiune fierbinte; aceasta regiune "curge" printre regiunile spectatoare, periferice, mult mai reci. Regiunile spectatoare pot sa franeze miscarea regiunii participante si sa permita o expansiune "privilegiata" pe anumite directii permise de geometria ciocnirii. Totodata, ele pot absorbi unele particule generate din regiunea fierbinte. Pentru descrierea multor fenomene este important sa se ia in considerare ceea ce se intimpla la regiunea de contact dintre cele doua feluri de regiuni in timpul "curgerii".

Pentru a estima unele marimi fizice de interes, se fac unele ipotze simplificatoare legate, in principal, de geometria ciocnirii. Printre cele mai importante sunt urmatoarele: (i) nucleonii sunt sfere de raza r_o , iar nucleele sunt sfere de raza ;

(ii) initial, in nucleul tinta se creaza o zona sferica; volumul acestei zone depinde de parametrul de impact b si de energia fasciculului;

(iii) zona sferica evolueaza intr-o sfera fierbinte de volum egal cu volumul zonei sferice;

(iv) raportul ramane constatnt si in regiunea de suprapunere a nucleelor care se ciocnesc.

Cu ajutorul ipotezelor de mai sus se pot calcula raza regiunii de suprapunere a nucleeor care se ciocnesc (raza regiunii fierbinti), r, numarul total de nucleoni participanti, Q_N, si numarul de protoni participanti, Q. Relatiile care se obtin sunt urmatoarele:

(III.157)

(III.158)

(III.159)

unde , h=2R_P  , cu R_P si R_T raza nucleului incident, respectiv, raza nucleului tinta; c(γ) este o cantitate care depinde de factorul Lorentz si de momentul din evolutia regiunii fierbinti. Pentru trei momente importante in descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste, anume: crearea sferei fierbinti, emisia pionilor, respectiv, incetarea contactului dintre regiunea participanta si regiunile spectatoare, valorile marimii c(g sunt: g g respectiv, 1. La introducerea acestor valori s-a avut in vedere, asa cum s-a mentionat, contractia Lorentz si energia pe nucleon a fasciculului incident, precum si natura proceselor care au loc. În cazul formarii sferei fierbinti s-a avut in vedere faptul ca procesele se produc in intregul volum al regiunii participante. Emisia de pioni este considerata un proces de suprafata si, in baza ipotezelor fundamentale si ipotezelor de calcul, s-a ajuns la forma g . La incetarea contactului dintre regiuni se poate considera ca tipul scurs a fost suficient de lung pentru ca expansiunea sa conduca la situarea particulelor din sfera fierbinte la distante suficient de mari intre ele astfel incat sa aiba loc incetarea interactiilor tari si disparitia contractiei Lorentz initiale. De aceea, valoarea marimii c(g se considera egala cu 1.

Dupa creare, sfera fierbinte "curge" un anumit timp - determinat de energia fasciculului incident si dimensiunea nucleelor care se ciocnesc - intre regiunile spectatoare, cu care este in interactie in timpul "curgerii". De aceea, poate fi folosita urmatoarea presupunere: numarul de nucleoni din sfera fierbinte se schimba foarte lent. În acest caz, estimarea densitatii nucleare, la diferite momente ale evolutiei acestei sfere, poate fi facuta folosind urmatoarea relatie:

(III.160)

cu V_sf ^t volumul sferei fierbinti la momentul t. Ca momente importante din evolutia sferei fierbinti trebuie considerate: crearea sferei fierbinti, emisia pionilor, incetarea contactului dintre regiunea participanta si regiunile spectatoare.

În timpul procesului de suprapunere a celor doua nuclee care se ciocnesc are loc compresia si incalzirea materiei nucleare din regiunea de suprapunere.

Estimarea coeficientului de compresibilitate, K, respectiv, estimarea vascozitatii, η, la momentul creerii sferei fierbinti se poate face cu ajutorul relatiilor de mai jos:

, (III.161)

. (III.162)

În relatiile de mai sus W_N este energiei de repaus a nucleonului liber, ε_o este densitatea de energie a materiei nucleare in starea fundamentala (ε_o=125 MeV/Fm³), W_N^o este energia de repaus a nucleonului legat, v_i este viteza initiala a sferei fierbinti, iar v_sf este viteza de curgere a sferei fierbinti (ambele viteze sunt considerate in sistemul laboratorului). Factorul Lorentz, γ, in sistemul centrului de masa este dat de relatia urmatoare:

, (III.163)

cu energia cinetica pe nucleon in sistemul laboratorului si M_N masa de repaus a nucleonului.

Pentru estimarea coeficientului de vascozitate este necesara cunoasterea ecuatiei de stare a materiei nucleare. Se considera o ecuatie de stare are forma:

, (III.164)

unde E_T si E_C sunt energia termica pe barion, respectiv, energia de compresie pe barion. Relatiile de definitie uzuale pentru cele doua energii sunt urmatoarele:

, (III.165)

, (III.166)

cu , unde T este temperatura de emisie a particulelor cu masa de repaus m. O expresie des folosita pentru functia este urmatoarea:

. (III.167)

Pentru calcularea presiunii p si vitezelor sferei fierbinti, la momentul initial, v_i, si in timpul curgerii, v_sf, marimi care permit estimarea vascozitatii, se poste folosi ecuatia Rankine-Hugoniot, precum si ecuatiile de continuitate pentru densitatea de energie si densitatea de flux. Ecuatia Rankine-Hugoniot are urmatoarea forma:

. (III.168)

Pentru vitezele sferei fierbinti la momentul initial si in timpul curgerii se obtin urmatoarele expresii:

, (III.169)

. (III.170)

Folosind relatiile anterioare se poate estima vascozitatea materiei nucleare.

Trebuie mentionat faptul ca, mai tarziu, s-a propus introducerea in ecuatia de stare a unui termen suplimentar care sa ia in considerare curegerea hidrodinamica a materiei nucleare. Acest termen s-a numit termen de curgere

Modelul fenomenologic geometric propus permite si estimarea sectiunilor eficace inelastice pentru ciconiri asimetrice.

S-a aratat in partea a doua a cursului ca sectiunile eficace inelastice pot fi descrise cu urmatoarea relatie geometrica:

, (III.171)

unde δ este un parametru de corectie care se refera la "moliciunea" (transparenta) suprafetelor nucleelor care se ciocnesc. Aceasta moliciune este o consecinta a proprietatii de saturatie a fortelor nucleare.

Pentru sectiuni eficace inelastice, in ciocniri nesimetrice, in cadrul modelului, este presupusa urmatoarea relatie:

(III.172)

Din analiza rezultatelor experimentale se poate conchide ca nucleele care se ciocnesc la energii mari interactioneaza in mod eficient intr‑o raza r = r_o(A_P^1/3 + A_T^1/3 ‑ d

Asa cum s-a aratat in capitolul consacrat sectiunilor eficace din partea a II-a a cursului valorile parametrilor r_o si d variaza de la experiment la experiment. Din fit‑urile la rezultatele experimentale obtinute in unele ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c facute pina in prezent s‑au obtinut urmatoarele valori ale celor doi parametri: r_o=1.25Fm, d

2. Compararea calculelor de model cu rezultatele experimentale

Pentru confirmarea descrierii fenomenologice facute, folosind modul in care geometria ciocnirii este reflectata de datele si rezultatele experimentale, si validarea ipotezelor facute este necesara compararea calculelor si predictiilor modelului cu rezultatele experimentale.

O marime fundamentala pentru validarea modelului fenomenlogic geometric este numarul de participanti. Folosind relatiile (III.158) si (III.159) s-au calculat numerele totale de nucleoni participanti si de protoni participanti pentru 11 ciconiri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c. Calculele au fost comparate cu rezultatele experimentale obtinute pentru aceleasi ciocniri. Acordul dintre calcule si rezultatele experimentale este bun . În plus, se obtin rezultate mult mai bune decat in cazul in care s-ar folosi metoda considerata anterior pentru estimarea numarului de nucleoni perticipanti pornind de la numarul de protoni participanti determinati experimental . Asa cum s-a mentionat in partea a doua a cursului (Capitolul al VII-lea), in literatura de specialitate a timpului se folosea pentru estimarea numarului de nucleoni participanti, in ciocniri simetrice, o relatie de forma:

Q_N^est = Q , (III.173)

iar pentru ciocniri asimetrice o relatie de forma:

Q_N^est = 2.5Q . (III.174)

În Tabelul III.2. sunt incluse valorile experimentale, valorile calculate pe baza relatiilor (III.158) si (III.159), precum si estimarile pe baza relatiilor (III.173) si (III.174) pentru trei ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c, pentru grade de centralitate diferite. Din analiza valorilor incluse in tabel se constata ca exista un acord bun intre valorile experimentale si cele calculate, pentru toate gradele de centralitate a ciocnirii (determinate de modurile de declansare a camerei cu streamer, notate prin T(q_ch q_n)). Un argument convingator suplimentar este oferit si de introducerea in tabel a rezultatleor calculelor de model pentru nucleoni participanti folosins atat valuarea experimentala, cat si valoarea calculata a numarului de protoni participanti. Se constata, de asemenea, ca pentru ciocniri simetrice si cuasisimetrice estimarile pe baza relatiei (III.173) dau rezultate similare cu cele obtinute pe baza calculelor de model, in timp ce pentru ciocniri nesimetrice se obtine o concordanta buna cu calculele de model folosind estimarile pe baza relatiei (III.174). Pentru ciocniri care au raportul dintre suma numerelor de masa la suma numerelor atomice cuprins intre 2 si 2.5 calculele de model dau rezultate intre cele doua estimari extreme si in acord cu rezultatele experimentale. Toate aceste observatii justifica introducerea ipotezei (iv) a modelului fenomenologic geometric. Prin aceasta se individualizeaza fiecare ciocnire si se obtin rezultate mai apropiate de realitatea fizica.

Tabelul III.2. Valorile experimentale, estimate si calculate ale numarului mediu de protoni participanti si ale numarului total mediu de nucleoni participanti in diferite

ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c cu diverse grade de centralitate.

Rezultate similare au fost obtinute si pentru alte ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c, in modul de declansare T(2,0) al camerei cu streamer a spectrometrului SKM 200 de la IUCN Dubna (Tabelul III.3).

Datorita acordului bun dintre rezultatele experimentale si calculele de model se poate trece la compararea calculelor de model cu rezultatele experimentale referitoare la alte marimi fizice de interes. Cum in studierea dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste si a proprietatilor materie nucleare inalt excitate este importanta cunoasterea densitatii barionice

Tabelul III.3. Valorile experimentale, estimate si calculate ale numarului mediu de protoni participanti si ale numarului total mediu de nucleoni participanti in diferite

ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c, pentru modul de declansare T(2,0)

si de energie a materiei nucleare este importanta determinarea caracteristicilor spatio-temporale ale sferei fierbinti - care este sursa de particule principala in ciocniri nucleare relativiste - si determinarea densitatii barionice la diferite momente din evolutia sferei fierbinti, conform relatiei (III.160). În mod similar se poate determina densitatea de energie, pentru aceleasi moment, anume:

. (III.175)

Pentru determinarea razei sursei de particule, in cadrul modelului fenomenologic geometric, se foloseste relatia (III.157). Valorile obtinute pot fi comparate cu cele obtinute prin interferometrie de particule identice . Daca acordul dintre cele doua metode este bun se poate considera ca valorile obtinute pentru densitatile barionice si de energie reflectap corerct dinamica ciocnirii.

În Tabelul III.4 sunt prezentate valorile obtinute, pe baza calculelor de model, pentru raza sferei fierbinti si densitatea barionica in trei momente din evolutia acesteia, anume: crearea sferei fierbinti, emisia pionilor, respectiv, incetarea contactului dintre regiunea participanta si regiunile spectatoare. Calculele au fost facute pentru 11 ciocniri centrale nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c, in modul de declansare T(2,0) a camerei cu streamer a spectrometrului SKM 200 de la IUCN Dubna cu luarea in considerare a valorilor corespunzatoare ale marimii c(g pentru aceste momente

Tabelul III.4. Valorile razei sferei fierbinti si densitatii barionice in trei momente din evolutia regiunii participante - crearea sferei fierbinti (i), emisia pionilor (p) si incetarea contactului dintre regiunea participanta si regiunile spectatoare (f) - pentru diferite ciocniri centrale nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c, intr-un mod de declansare T(2,0)

Trebuie mentionat faptul ca in tabelul anterior s-a notat ca valoare experimentala valoarea obtinuta pornind de la valoarea experimentala a numarului mediu de protoni participanti, iar ca valoare calculata valoarea obtinuta folosind relatiile (III.157)-(III.159) date de catre modelul fenomenologic geometric.

Din analiza valorilor incluse in Tabelul III.4 se constata ca razele cresc - pentru un nucleu incident dat - cu cresterea numarului de masa al nucleului tinta. Pentru o ciocnire data, raza sferei fierbinti creste de la momentul initial al formarii la momentul incetarii contactului dintre regiuni. Densitatea barionica - dar si densitatea nucleara si densitatea de energie - in regiunea participanta scade cu cresterea razei sferei fierbinti. Pentru un anumit moment din evolutia sferei fierbinti - crearea sferei fierbinti (i), emisia pionilor (p) sau incetarea contactului dintre regiunea participanta si regiunile spectatoare (f) - densitatea barionica, densitatea nucleara si densitatea de energie sunt constante pentru toate ciocnirile. Aceasta comportare sugereaza o dependenta puternica de energia nucleului incident.

Se observa, de asemenea, faptul ca densitatea barionica la momentul formarii sferei fierbinti - la fel ca si celelalte doua tipuri de densitati considerate - este cea mai sensibila la fluctuatiile unor marimi fizice care intervin in calcule (acest lucru este mai evident pentru valorile experimentale). Diferentele cele mai mari intre valorile experimentale si calculate se constata pentru ciocniri centrale simetrice si cuasisimetrice. Aceste diferente s-ar putea datora faptului ca numarul de nucleoni din regiunea participanta scade mai rapid datorita absentei interactiilor semnificative cu regiunea/regiunile spectatoare, ceea ce determina o expansiune mult mai rapida a sferei fierbinti si scade mult - pana la anulare - probabilitatea de absorbtie a particulelor emise din regiunea participanta de catre regiunile spectatoare.

Este de remarcat, de asemenea, faptul ca valoriile medii sunt practic egale pentru valorile experimentale si valorile calculate, pentru toate cele trei momente considerate din evolutia regiunii participante. Astfel, pentru momentul formarii se obtin urmatoarele valorii medii: <r_i^exp> = 0.682 0.089 Fm^-3, <r_i^c> = 0.682 0.010 Fm^-3. Daca se raporteaza la densitatea barionica a materie nucleare in stare fundamentala, r = 0.170 Fm^-3, se obtine: <r_i > = 4r . Daca se considera momentul emisiei pionilor valoriile medii obtinute sunt egale: <r_p^exp> = 0.400 0.001 Fm^-3, <r_p^c> = 0.400 0.001 Fm^-3. Prin raportarea la denistatea barionica a materiei nucleare in stare fundamentala se obtine urmatorul rezultat: <r_p> = 2.35 r . Pentru momentul incetarii contactului dintre cele doua tipuri de regiuni rezultatele obtinute sunt identice, anume: <r_f^exp> = 0.138 0.001 Fm^-3, <r_p^c> = 0.138 0.001 Fm^-3. Ele coresund unei denistati relative <r_f> = 0.81 r

Densitatea la momentul incetarii contactului dintre cele doua regiuni poate fi asociata cu densitatea de "inghet" ("freeze-out") sau cu densitatea de "rupere" ("break-up"). Aceste densitati se intalnesc in modelele termodinamice si modelele hidrodinamice.

Trebuie facute, totusi, unele precizari, anume:

(a) in cazul acestor modele se presupune, din considerente teoretice, o anumita densitate de "inghet"; in cazul modelului fenomenologic geometric densitatea la momentul incetarii contactului dintre regiuni se poate calcula din marimi determinate experimental;

(b) valorile relative ale densitatii de "inghet" si ale densitatii de "rupere" sunt cuprinse, pentru energii de ordinul a cativa GeV/nucleon, intre r si r

(c) este posibil sa existe o dependenta a acestei densitati de energia fasciculului incident;

(d) exista posibilitatea existentei unor interactii de distanta lunga care intre cele doua tipuri de regiuni care sa se manifeste si dupa incetarea contactului direct dintre regiuni.

La discutarea interferometriei de particule identice (capitolul al VIII-lea, partea a II-a) s-a sublinita faptul ca este dificila compararea directa a valorilor razei sursei datorita folosirii unor distributii spatiale diferite cu care se fit-eaza functia de corelatie experimentala in diversele experimente considerate Pentru descrierea sursei de particule pot fi folosite diferite functii de distributie. Spre exemplu, daca emisia de particule este uniforma de la suprafata unei sfere de raza R, atunci functia de corelatie poate fi descrisa prin expresia de mai jos:

(III.176)

Aici λ este un parametru care considera interferenta efectiva dintre particule. Parametrul depinde de gradul de coerenta, de configuratia sursei de particule si de corelatiile dinamice specifice posibile. Se numeste si parametru de haos. Pentru o functie de distributie Gauss in sursa de particule, functia de corelatie poate fi scrisa astfel:

(III.177)

Pentru ciconirile nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c s-a considerat forma de tip Gauss data de relatia (III.177). Ea ofera posibilitatea de a stabile caracteristicile spatio-temporale ale sursei de particule in toate cele trei etape ale ciocnirii: crearea zonei fierbinti (r_i), emisia de pioni (r_π) si incetarea interactiilor dintre regiunea participanta si regiunea spectatoare (r_f).

S-a folosit interferometria de intensitate pentru determinarea dimensiunilor regiunii participante la emisia de pioni in cateva ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c . Pentru ciocniri centrale O-Pb s-au considerat peste 12 000 de perechi de pioni negativi. Valorile obtinute pentru raza regiunii participante, timpul de viata si parametrul de haos sunt: r_pp 0.29 Fm, t 0.55 Fm/c, l

Valaorea razei regiunii participante la emisia de pioni este intr-un acord bun cu valorile obtinute cu ajutorul modelului fenomenologic geometric, anume: r_p^exp = 3.89 Fm, respectiv, r_p^c = 3.80 Fm. Acorduri bune au fost obtinute si pentru ciocniri He-A_T si C-A_T la aceeasi energie Rezultatele obtinute maresc increderea in modelul considerat.

Tinind seama de faptul ca numarul de nucleoni participanti, Q_N, este legat de posibilele corelatii in generarea de particule si luand in considerare relatia de legatura clasica dintre raza unui nucleu si numarul de nucleoni din nucleu se pot determina dimensiunile regiunii participante pentru doua din momentele din evolutia regiunii participante, anume: emisia de pioni si incetarea interactiilor. Relatiile propuse sunt de forma urmatoare

, (III.178)

. (III.179)

Si in acest caz se obtin acorduri bune intre calculele de model si rezultatele experimentale.

În faza initiala, de suprapunere a nucleelor care se ciocnesc, apare compresia materie nucleare. Coeficientii de compresibilitate calculati pe baza relatiei (III.161), pentru 11 ciocniri centrale nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c sunt inclusi in Tabelul III.5.

Tabelul III.5. Valorile experimentale ale coeficientului de compresibilitate

Din analiza valorilor coeficientilor de compresibilitate pentru ciocnirile considerate, cu grade de asimetrie diferite, se constata faptul ca valorile acestuia cresc semnificativ cu cresterea numarului de masa al nucleului tinta. Pentru un nucleu tinta dat coeficientul de compresibilitate creste cu cresterea numarului de masa al nucleului incident. Aceasta crestere este data, aproximativ, de raportul suprafetelor.

Marimile determinate permit estimarea din marimi determinate experimental a ecuatiei de stare a materie nucleare pentru ciocniri nucleu-nucleu la 4.5 A GeV/c. În Tabelul III.6 sunt incluse rezultatelele calculelor bazate pe relatiile (III.162)-(III.170) folosind valori experimentale pentru marimile fizice care intervin. Calculele sunt efectuate pentru cele 11 ciocniri centrale considerate anterior.

Se constata faptul ca energia de compresie este mult mai dependenta de raportul dintre numerele de masa ale nucleelor care se ciocnesc decat energia termica. De asemenea, energia totala pe nucleon este aproximativ egala cu energia totala pe nucleon in sistemul centrului de masa (gm_N = 1604 MeV/nucleon). Rezultatele obtinute pentru coeficientul de vascozitate indica dependenta de raportul dintre masele nucleelor care se ciocnesc. De asemenea, ele reflecta importanta fenomenelor si proceselor fizice care au loc la suprafata de contact dintre regiunea participanta si regiunea/regiunile spectatoare pentru descrierea corecta a dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste. Valorile obtinute sunt in acord cu cele stabilite prin alte metode pentru ciocniri nucleu-nucleu la energii cuprinse intre 0.4 A GeV si 15 A GeV

Tabelul III.6.

Modelul prevede formarea nucleelor usoare prin interactiile care au loc la suprafata de contact dintre regiunea participanta si regiunea/regiunile spectatoare. Majoritatea particulele elementare - kaoni de diferite tipuri, hiperoni, rezonante barionice si mezonice etc. - sunt produse in interiorul regiunii participante. Aceasta ipoteza este in acord cu ratele de producere experimentale pentru astfel de particule. Este de presupus ca mecanismele de formare si ratele de producere sunt afectate de pierderile de energie in regiunea participanta, absorbtiile in regiunile spectatoare s.a.

Modelul permite studierea unor tranzitii de faza precum cele la faza de vapori-lichid, materie de rezonanta, plasma hadronica si plasma de dicuarci.

În forma sa initiala modelulul nu putea descrie decat ciocnirile nucleu-nucleu la energii pana la 15 A GeV. O varianta a modelului a fost adaptata pentru descrierea dinamicii ciocnirilor nucleare la sisteme de accelerare de tip "collider" . Rezultatele obtinute sunt in acord cu rezultatele experimentale si cu calculele bazate pe diferite coduri de simulare. În pofida unor dificultati legate de domeniile energetice de aplicabilitate si de imposibilitatea deducerii unor marimi obtinute experimental, modelul feonomenologic geometric da o descriere generala corecta a dinamicii ciocnirilor nucleare relativiste.