Proiectarea cristalelor fotonice - Tipuri de cristale fotonice

Proiectarea cristalelor fotonice

1 Tipuri de cristale fotonice

Sunt trei tipuri de cristale fotonice in functie de modul de proagare a fascico-lului de fotoni prin cristal: unudimensional, pentru care banda interzisa exista doar pentru o singura directie de propagare, bidimensional cu o banda fotonica interzisa in doua directii de propagare si tridimensional care prezinta o banda fotonica interzisa completa.

Analog structurii semiconductorilor in care banda de conductie si banda de valenta sunt despartite de banda interzisa, s - a hotarat ca banda de deasupra benzii fotonice interzise sa fie numita "banda de aer" si cea de sub ea "banda de dielectric Fotonii se decupleaza in modurile transversal magnetic (TM) si transversal electric (TE). In urma unor experimente s - a ajuns la concluzia ca benzile fotonice interzise pentru modurile TM sunt favorizate intr - o retea de regiuni cu un ε ridicat, izolate intre ele, iar benzile interzise pentru modurile TE se gasesc in retele conectate. Ceea ce este important de subliniat este ca periodicitatea cristalului a dus la aparitia unei benzi fotonice interzise.

Putem caracteriza suprafata unui cristal fotonic in functie de inclinare si terminatie. Inclinarea se refera la unghiurile dintre normala la suprafata si axele cristalului, iar terminatia specifica unde se taie suprafata de - a lungul celulei unitate. Modurile de suprafata apar cand in apropierea cristalului sunt moduri electromagnetice care nu se pot propaga in cristal datorita benzii interzise. Totodata aceste moduri depind si de vectorul de unda k. Pentru a gasi aceste moduri, alegem (ω_s, k) si incercam sa gasim un vector de unda perpendicular pe suprafata, k pentru care ω_s = ω_n (k, k), unde ω_n este o frecventa care se poate propaga prin cristal. Acest procedeu de a gasi toti k pentru fiecare k se numeste "proiectia structurii de benzi pe suprafata zonei Brillouin

In figura 1.3 este schitat un cristal fotonic format dintr - o retea de bare dielectrice. Pentru cazul a) nu exista moduri de suprafata. Pentru un cristal ale carui bare dielectrice sunt taiate pe jumatate conform cazului b avem de - a face cu moduri de suprafata. Daca continuam sa indepartam aceste bare atunci banda dielectrica s - ar suprapune peste banda de aer. Astfel s - a ajuns la concluzia ca pentru un cristal fotonic cu o anumita inclinatie se poate gasi o anumita terminatie care sa permita existenta modurilor de suprafata. Modurile de suprafata sunt unde care decad exponential in cristalul fotonic, fara sa treaca de acesta. Dar se pot crea defecte ale cristalului astfel incat fluxul fotonic sa fie captat in cristal.

● ● ●

● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● cristal cristal

a) b)

Figura 1.3 Cristal fotonic 2D

De exemplu putem realiza o vacanta in reteaua de bare de dielectric ca in figura 2. Prin inlaturarea unei bare din retea obtinem o cavitate care e inconjurata de pereti reflectorizanti. Daca cavitatea are dimensiunea potrivita astfel incat sa ii corespunda un mod electromagnetic din banda interzisa, atunci nu poate iesi din cristal si ii putem asocia un mod defectului [13

Daca defectul presupune indepartarea de dielectric, "un defect de aer",modul corespunzator cavitatii trece din banda dielectrica in banda interzisa si in functie de cantitatea de dielectric indepartata poate ajunge in banda de aer. Analog daca defectul presupune adaugarea de material dielectric modul cavitatii coboara din banda de aer in banda interzisa. In ambele cazuri defectul poate fi obtinut oriunde in banda interzisa. Totodata folosind defecte in linie ghidam fascicolul de fotoni dintr - o zona in alta. In figura 3 este evidentiat un ghid de unda prin indepartarea unui rand vertical de bare. Acesta este un mecanism nou de ghidare a luminii, pana acum cea mai utilizata fiind fibra optica, care se bazeaza pe reflexia interna totala. Insa daca o fibra optica se curbeaza mai puternic unghiul de incidenta este prea mare ca sa mai aiba loc reflexia totala interna si fascicolul de fotoni iese pe la colturi. Cristalele fotonice continua sa ghideze fascicolul de fotoni chiar si pentru curbe foarte stranse, deoarece frecventa modului ghidat este in interiorul benzii interzise acesta nu se disipa in cristal fapt ilustrat de in figura 4. Chiar daca raza de curbura este mai mica decat lungimea de unda, aproape tot fascicolul de fotoni care intra pe la un capat iese prin celalat singurele pierderi sunt date de reflexia de la intrarea ghidului [15].

Multe din aplicatiile cristalelor fotonice, care includ lasere si rezonatori cu pierderi foarte mici, necesita folosirea materialelor fotonice cu benzi complete. Prima structura care prezinta o banda interzisa 3D este structura de diamant, lucru evidentiat de Ho Chan si Soukoulis in urma calculelor teoretice a propagarii undelor electromagnetice in medii dielectrice periodice, iar primul material fotonic realizat de Yablonovitch avea simetrie fcc.

Figura 2.3 Defect punctual, cristal 2D Figura 3 Defect in lungime, cristal 2D

Cercetatorii de la MIT au demonstrat ca structura de diamant ofera o banda completa de - a lungul intregii suprafete a zonei Brillouin [16].

Figura 4.3 Ghidajul fascicolului de fotoni printr - un un cristal 2D

Si alte grupuri de cercetare au demonstrat teoretic existenta unei benzi fotonice interzise in structura de diamant. Calculele teoretice s - au bazat pe natura vectoriala a campului electromagnetic, in timp ce daca s- ar face calcule scalare nu am obtine rezultate corecte. Banda fotonica interzisa apare daca avem un raport al indicilor de refractie mai mare decat 2 si o gama larga de raporturi de umplere pentru o retea de sfere intr - o structura de diamant.

Elementele de baza necesare pentru a obtine o banda fotonica interzisa sunt conectivitatea(geometria materialului), contrastul dielectric si raportul de umplere. Rezulta de aici intrebarea: Cu ce tipuri de structuri se pot obtine benzi fotonice interzise Pentru a raspunde la aceasta intrebare se definste care este frecventa din mijlocului benzii interzise, unde este viteza efectiva a undelor electromagnetice in mediu, iar este vectorul de unda corespunzator luisi care este proportional cu inversul constantei de retea. Daca o anumita structura are sau nu o banda interzisa depinde de suprapunerea dintre frecventei cele mai mici din banda de valenta si frecventei cele mai mari din banda de conductie de - a lungul suprafetei zonei Brillouin. Pentru structura de diamant, atat cel mai mic vector de unda (L) la suprafata zonei Brillouin cat si celui mai mare vector de unda (W sau K) determina inceputul benzii de conductie. Geometria diamantului sau a structurii fata centrata tetragonala (fct) este de asa natura ca cele doua frecvente de banda nu se suprapun. In cele mai multe structuri cele doua frecvente la cele doua puncte L si W coincid si atunci nu am mai avea o banda fotonica interzisa.

Din punct de vedere experimental, Yablonovitch a demonstrat existenta materialelor cu banda fotoonica interzisa. Cristalul de Yablonovite are simetria structurii de diamant cu un raport de umplere de 85%, iar raportul teoretic banda interzisa mijlocul benzii interzise este de 19%. Daca avem o structura cu simetrie de diamant cu sfere de aer in interior am obtine un raport banda interzisa mijlocul benzii interzise de 29%. Structura fata centrata cubica (fcc) nu are o banda interzisa completa intre benzile 2 si 3 [2]. (vezi Tabelul 1) Calculele teoretice pentru sfere de aer intr - o retea fcc au evidentiat o suprapunere a benzilor 3 si 2 pentru unde   p - polarizate de - a lungul suprafetei zonei Brillouin intre U si X. Aceste benzi sunt degenerate la punctul W. Aceste proprietati au condus la aparitia unei regiuni de stari cu densitati scazute numita si "pseudobanda interzisa". S - a incercat proiectarea unor structuri cristaline 3D care sa fie usor fabricate experimental. Astfel, s - a construit un material fotonic pornind de la un material gazda cu simetrie de diamant in interiorul caruia s - au introdus cilindrii de dielectric.aceasta structura avea benzi intrzise de aproape 30% pentru bare de dielectric sau de 28% pentru bare de aer. S - a incercat reducerea dimensiunilor blocurilor care formeaza materialul. Astfel un grup de cercetatori din S.U.A au proiectat o noua structura 3D numita strat peste strat"si prezentata in figura 4.4. Acest material consta din straturi de bare unudimensionale, cu o asezare care se repeta la fiecare 4 straturi, iar distanta din 4 in 4 straturi este c. In interiorul fiecarui strat barele sunt aranjate astfel incat sa fie paralele intre ele, cu distanta a intre doua bare. Barele din stratul urmator sunt rotite cu unghi ce variaza intre 90° si 60°. Barele din din stratul al trei - lea sunt mutate cu jumatate distanta dintre bare, in raport cu barele din primul strat. Barele din fiecare strat alternant sunt paralele. Aceasta structura are o simetrie fata centrata tetragonal. Pentru cazul in care c a = reteaua poate fi obtinuta dintr - o celula unitate fcc.

Figura 5.3 Structura strat peste strat

Structura strat peste strat" permite modificarea unei game largi de parametrii dimensionali. Barele pot avea o forma dreptunghiulara, circulara, eliptica cu diferite raporturi de umplere. Materialul gazda poate fi un dielectric cu indice de refractie mare sau poate fi aer. Alternativ structura poate fi construita din bare de aer intr - un bloc de material dielectric. O proprietate importanta a acestei structuri este dualitatea, adica de exemplu un material poate fi descris ca e format din bare de aer care se ating de grosime sau ca e format din bare de dielectric de grosime printre care circula aer. Acest caracter dual este folositor pentru calcule. Nu este necesar ca barele sa se atinga ca in figura 5.3, se pot doar suprapune. De fapt, acesta geometrie a structurii, astfel incat barele sa nu se atinga, produce benzi fotonice mai largi. S - a optimizat banda fotonica interzisa in functie de parametrii structurali. Acestia sunt

raportul c/a,

raportul de umplere a structurii care e controlat prin variatia largimii barelor,

contrastul dielectric dintre cele doua materiale,

gradul de suprapunere dintre barele de dielectric.

Primul cristal fotonic "strat peste strat" care a fost fabricat functioneaza in domeniul microundelor, are o banda fotonica interzisa completa intre 12 si 14 GHz si este alcatuit din bare cilindrice de aluminiu. O structura similara a fost realizata din bare dreptunghiulare de aluminiu si are o banda interzisa intre 18 si 24 GHz. In cazul materialelor fotonice realizate din bare cilindrice care se ating ca in figura 5.3 cu raza unui cilindru r, iar distanta centru - la - centru dintre cilindrii a, raportul de umplere este de f = πr/2a. Raza controleaza si raportul c/a deoarece c = 8r. S - au calculat benzile fotonice in functie de raportul de umplere f = 0,22 iar c a = 1,27 si s - a determinat ca pentru o structura 3D "strat peste strat" formata din cilindrii de dielectric suprapusi, cu un raport al indicilor de refractie n = 3,6 raportul optim banda interzisa mijlocul benzii interzise este de 18%. Daca se folosesc cilindrii de forma eliptica banda interzisa este aproape inexistenta. Este important faptul ca pentru structura inversa cu cilindrii de aer intr - un material dielectric rezulta o banda interzisa mult mai mare de aproape 25%, iar pentru bare de aer de forma eliptica de 27%. Aceste structuri cu 80 - 85% aer cu o geometrie multiplu-conectata au benzi fotonice mai largi, iar pentru conceperea lor s- a utilizat corodarea ionica.

Tabelul 1. Materiale fotonice cu diferite simetrii de retea.

Pentru modelul experimental din domeniul microundelor din cilindrii de aluminiu care se ating cu un raport de aspect c/a = 1,13 iar raportul de umplere de 0,22 este necesar. un contrast al indicilor de refractie de minimum 2,2 pentru a obtine o banda fotonica interzisa, iar pentru n = 5,2 rezulta un raport banda interzisa mijlocul benzii interzise de 30%. Pentru a vedea cum se modifica banda interzisa, s - au introdus sfere din acelasi material dielectric ca si cilindrii la intersectia straturilor pentru a le uni. S -a determinat ca daca sferele au un volum mai mare de 10% din volumul cilindrilor, atunci banda interzisa devine mai larga datorita cresterii raportului de umplere si a geometriei rezultate. S - au calculat benzile fotonice de - a lungul directiei [110] si corespund cu rezultatele experimentale. Maximul benzii de valenta este in punctul K (0,75 0,75 0) la 11,7 GHz, iar experimental la 11,9 GHz pentru unde electromagnetice polarizate perpendicular pe cilindrii, intervalul de frecvente al benzii interzise avind o valoare limita superioara de 13,7 GHz calculata si 14 GHz experimentala. Banda interzisa este mult mai larga pentru propagarea undelor perpendicular pe straturi, in directia de asezare a acestora, limitele in punctul X fiind de 11,1 si 16,8 GHz fata de 10,7 si 17,4 GHz. (vezi Tabelul 2) Minimul benzii de conductie se situeaza in punctul L (0,5 0,5 0,5).

In cazul in care avem o structura cu bare dreptunghiulare de aer intr - un material dielectric astfel incat sa nu se suprapuna unele peste altele rezulta un raport banda interzisa mijlocul benzii interzise de 18% pentru un cristal cu 70% aer. Cand barele de aer se ating banda interzisa creste la 22%, similar structurilor cilindrice cu o geometrie multiplu-conectata. Trebuie observat ca barele dreptunghiulare care se suparapun nu conduc la o banda fotonica interzisa cu aceleasi dimensiuni ca un sistem cilindric.

Figura 6.3 Frecventa in functie de vectorul de unda de - a lungul directiei [110] a zonei Brillouin. Calculele s - au facut astfel incat intensitatea campului electric sa fie perpendiculara pe bare.

Au fost fabricate structuri "strat peste strat" din bare dreptunghiulare de siliciu prin corodarea anizotropica a plachetelor in directia [110]. Au fost calculate benzile fotonice interzise pentru diferite valori ale raportului de aspect si s - a ajuns la concluzia ca pentru c/a intre 1,2 si 1,6, iar raportul de umplere intre 0,25 si 0,30 obtinem banda interzisa/mijlocul benzii interzise de aproape 20%. In aceste calcule c/a este mentinut constant in timp ce latimea barelor variaza. Daca crestem raportul de

umplere, atunci largimea benzii fotonice interzise scade. Minimul benzii de conductie este in punctul L, iar maximul benzii de valenta este aproape de K. Structura cu bare dreptunghiulare de siliciu a fost fabricata la trei lungimi de scala cu frecvente centrale din banda interzisa de 98,5, 325 si 439 GHz. S - a realizat o crestere a frecventei din mijlocul benzii interzise de la 20,1 GHz la 439 GHz.

Figura 7.3 Prima zona Brillouin a unui cristal fotonic cu simetrie fcc

Tabelul 2. Intervalul de frecvente corespunzator propagarii undelor de - a lungul directiei de asezare a straturilor.

S - a incercat o variatie a structurii "strat peste strat", astfel incat barele dreptunghiulare de siliciu din stratul urmator s - au rotit cu un unghi θ = 70s5 fata de cele din stratul anterior anterior. Daca se reduce θ de la 90s la 70s5 atunci si banda fotonica interzisa se reduce cu 12%.

O clasa interesanta de structuri sunt cele cu simetrie rombica, A - 7, iar materialul fotonic se realizeaza conectand puncte din retea cu cilindrii. Astfel avem benzi interzise de aproape 30%.

O structura alternativa strat peste strat" a fost propusa de San Fan. Ea consta din doua materiale dielectrice asezate unele peste altele in care s - au facut gauri de aer. Parametrii dimensionali au fost optimizati astfel incat sa rezulte rapoarte banda interzisa/mijlocul benzii interzise de 14% folosind Si, SiO₂ si aer si de 23% utilizand Si si aer.

In concluzie banda fotonica interzisa depinde in mod crucial de conectivitate si geometrie, contrastul indicilor de refractie si de raportul de umplere al structurii. S - a proiectat o noua structura strat peste strat" care prezinta o banda fotonica interzisa completa. Fiecare strat e alcatuit din bare paralele intre ele, iar barele din stratul urmator sunt rotite cu 90s. Aceasta metoda de asezare a dus la formarea unei celule unitate de 4 straturi. Exista diferite moduri de clasificare a cristalelor fotonice in functie de materialele folosite semiconductori, metale in functie de forma barelor cilindrice, dreptunghiulare, eliptice si in functie de simetria materialelor: diamant, fata centrata cubica, rombica. Am prezentat aceste structuri 3D pentru a evidentia aceasta varietate. S - au realizat structuri din aluminiu si siliciu din bare cilindrice, dreptunghiulare ca si structuri inverse. Frecventele centrale din banda fotonica interzisa sunt in intervalul 12,6 si 439 GHz.. Aceste materiale strat peste strat" prezinta un interes deosebit deoarece pot fi scalate dimensional astfel incat sa functioneze in domeniul de frecvente infrarosu, ceea ce ar conduce la noi aplicatii pentru cristalele fotonice.

In subcapitolele urmatoare voi prezenta cateva din aplicatiile cristalelor fotonice cum ar fi: ghiduri de unda 1D, microcavitati in ghiduri canal, fibra din material fotonic 2D, utilizarile cristalelor 3D in microunde.

2 Materiale fotonice 1D

2.1 Ghid de unda

Dintre varietatea de utilizari a cristalelor fotonice, realizarea ghidurilor de unda folosind materiale fotonice 1D, prezinta un interes deosebit deoarece coeficientul de transmisie se apropie de 90%. Trebuie mentionat faptul ca spre deosebire de laserele DFB a caror structura reticulara prezinta un contrast al indicilor de refractie de cel mult 1%, structurile fotonice cu banda interzisa necesita un contrast al indicilor de refractie mai mare de 2 1 [19]. Prima problema care rezulta din studierea acestor retele cu un raport al indicilor de refractie ridicat se refera la dimensiunea fizica a ghidului de unda, cat de multe grilaje trebuie puse astfel incat sa avem o banda fotonica interzisa. S - a determinat ca pentru o structura din GaAs cu o perioada de 400 nm urmata de zone cu aer largi de 80 nm, banda fotonica interzisa in intervalul lungimilor de unda 800 - 900 nm incepe sa se formeze pentru doua perioade. Banda interzisa este aproape formata pentru 4 perioade si este definitivata pentru 6 perioade. In comparatie cu structurile BFI ideale care au o atenuare de 16 dB/celula unitate, aceasta retea are o atenuare de 3 dB/celula unitate. Motivul acestei atenuari scazute este acela ca drumul optic nu este λ/4. Interactiile sunt suficient de puternice astfel incat sa se formeze o banda fotonica interzisa pentru un ghid de unda lung de cativa microni [13].

S - a mai studiat un alt tip de ghid de unda, un ghid de unda pentru un singur mod, cu o grosime de 0,2 μm si cu o diferenta a indicilor de refractie de 0,2(3,5 - 3,3). Aceste tipuri de ghiduri de unda sunt folosite pentru lasere cu semiconductori. Ghidul de unda este realizat din GaAs, pe un substrat de AlGaAs. Stratul pentru ghidaj, este pozitionat deasupra structurii pentru a minimiza adancimea corodarii. Pentru ca structura sa poata fi fabricata s - a ales o adancime de corodare de 0,8 μm iar distanta dintre gratii de 100 nm. Perioada este de 425 nm. Dupa trecerea prin 5 zone de aer, transmisia ghidul de unda a scazut la 65%, neluand in calcul si pierderile datorate reflexiilor. Acest rezultat poate fi inbunatatit la 82% mentinand aceiasi parametrii mai putin grosimea ghidului care a crescut de la 0,2 μm la 0,4 μm. Rezultatul nu se modifica chiar daca se mareste contrastul indicilor de refractie. Daca se reduce adancimea de corodare de la 0,8 μm la 0,5 μm pierderile sunt mai mari, transmisia scazand la 43%, ceea ce inseamna ca zonele cu aer trebuie sa fie cat mai adanci posibil. Modificand un alt parametru, latimea zonelor cu aer la 50 nm pierderile s - au redus cu inca 10%, de unde rezulta ca transmisia ghidului de unda a crescut la 92%. Banda interzisa este intre 820 si 900 nm. Calculele teoretice s - au efectuat folosind metoda matricei de transfer. Structura prezentata in acest paragraf a fost fabricata, iar masurarile experimentale au fost facute utilizand un laser Ti : Safir a carui gama de acord este intre 820 si 930 nm. Fluxul de fotoni se propaga aproximativ 500 μm, interactionaza cu ghidul de unda si se mai propaga inca 500 μm inainte sa ajunga la un detector. Banda fotonica interzisa obtinuta experimental este intre 840 si 910 nm.

In cazul unei astfel de structuri semiconductor - aer totdeauna vor exista anumite pierderi. Acestea sunt datorate faptului ca fluxul fotonic este ghidat numai de regiunea semiconductoare, iar in zonele cu aer au loc difractii si nu mai este o confinare a modului. Pierderile prin difractie pot fi eliminate daca in locul aerului se foloseste un dielectric astfel incat sa se realizeze o suprapunere perfecta intre modul ghidat atat in regiunile cu un indice de refractie mare cat si in cele cu un indice de refractie mic.

Mai sunt si alte tipuri de ghiduri de unda, nu numai in forma de structura reticulara cu un raport al indicilor de refractie mai mare de 2, de exemplu ghidul din figura 8.

Figura 8.3 Ghid de unda dintr - un cristal 1D

Ghidul de unda din figura de mai sus este alcatuit din mai multe straturi de GaAs (n 3,5) si de AlAs oxidat (n 1,56), grosimea stratului de AlAs fiind dubla fata de grosimea stratului de GaAs. S - a inlaturat un strat de AlAs oxidat astfel incat propagarea undei sa se faca de - a lungul unei zone cu aer inconjurata de materialul cu un indice de refractie mai ridicat. Pierderile sunt foate mici, coeficientul de trnasmisie pentru modul fundamental fiind de 98,8%.

Figura 9.3 Ghid de unda dintr - un cristal 1D cu un cristal 2D

O alta structura care ghideaza fascicolul de fotoni este prezentata in figura 9. Ea este formata din doua cristale fotonice 1D ca cele de mai sus care acum au rolul de pereti reflectorizanti si un material fotonic 2D care reprezinta de fapt ghidul de unda. Astfel se poate realiza un ghid de unda hibrid asemenea unui cristal fotonic 3D dar mult mai simplu de fabricat. Acest nou tip de ghid de unda poate transporta fascicolul de fotoni prin curbe extrem de stranse dar cu pierderi foarte mici, sugerand posibilitatea realizarii de circuite fotonice integrate cu o densitate de integrare foarte mare.

2.2 Microcavitati in ghiduri de unda canal

Microcavitati la frecvente din domeniul microundelor pot fi fabricate utilizand pereti metalici puternic reflectorizanti, dar pentru frecvente optice metalele au pierderi foarte mari si de aceea trebuie folosite alt tip de materiale. Cristalele fotonice pot fi utilizate pentru realizarea de microcavitati deoarece elimina pierderile de radiatie in orice directie.

In acest subcapitol voi prezenta o noua clasa de microcavitati coplanare care utilizeaza un ghid de unda canal pentru a confina fluxul fotonic in doua dimensiuni si un cristal fotonic 1D pentru a confina fotonii in cea de - a trei - a. Conceptual aceaste microcavitati sunt asemanatoare cu rezonatoarele Fabry - Perot diferenta constand in faptul ca au o geometrie coplanara si o confinare foarte puternica a campurilor. Totodata aceste microcavitati pot fi fabricate folosind tehnici litografice conventionale aplicate materialelor semiconductoare.

Pentru a proiecta o microcavitate trebuie sa raspundem la doua intrebari care sunt modurile din cavitate si cum putem cupla enegia cu aceste moduri Pentru a raspunde la aceste intrebari folosim doua metode de calcul computerizate. Cele doua metode sunt din domeniul timp si domeniul frecventa si au fost prezentate in capitolul 2. Prima metoda ne permite sa determinam comportamentul temporal al microcavitatii eficienta la cuplaj, pierderile prin imprastiere, factorul de calitate, iar cu cea   de - a doua rezulta starile proprii si distributia modurilor

Microcavitatile sunt realizate din ghiduri de unda canal cu un indice de refractie ridicat. Variatia periodica a indicelui de refractie se face prin corodarea unor gauri verticale in ghid, iar microcavitatea se formeaza prin adaugarea de material dielectric intre doua gauri. Pentru a intelege mecanismul confinarii campurilor in microcavitate, este folositor sa investigam mai intai care este efectul gaurilor asupra proprietatilor modurilor ghidate.

Modurile din ghidul de unda sunt determinate cu metoda domeniu frecventa pentru care se face aproximarea supercelulei, ghidul cu tot cu gaurile verticale este plasat intr - o supercelula care este repetata periodic in spatiu. In figura 11.3 este ilustrata relatia de dispersie pentru ghidul de unda canal cu gauri verticale, pentru modurile cu simetrie para fata de planul (x,y). Ghidul de unda dielectric este realizat din GaAs cu un indice de refractie de 3,37 la 1,55 μm. Relatia de dispersie s - a obtinut prin determinarea starilor proprii cu frecventele cele mai scazute a ghidului de unda in functie de valorile vectorului de unda de - a lungul directiei de propagare. Ghidul de unda, prezentat in figura 10.3, are o lungime de 1,2a si o inaltime de 0,4a, unde a este constanta de retea a dielectricului si in acelasi timp si distanta de la un centru la celalat dintre doua gauri vecine. Gaurile au un diametru de 0,6a. Constanta dielectricului ghidului este de 11,36. Acesti parametrii structurali au fost alesi astfel incat sa obtinem o buna confinare a intensitatii campului electric in microcavitate.

Figura 10.3 Ghid de unda dielectric

Graficul din figura 11.3 reprezinta relatia de dispersie pentru prima zona Brillouin. Starile de deasupra liniei diagonale nu sunt ghidate prin dielectric. Diagonala reprezinta marginea conului de lumina. Starile de sub diagonala sunt evanescente de - a lungul axelor x si z si sunt ghidate prin dielectric. Intre primul si cel de al doi - lea mod ghidat apare o banda interzisa. Aceasta banda interzisa nu se intinde peste toata zona Brillouin, ea exista doar pentru modurile ghidate. Banda fotonica interzisa joaca un rol foarte important, permitand unui mod sau grup de moduri sa se propage daca se face un defect in structura periodica. Dimensiunea benzii interzise este determinata de constanta dielelctricului ghidului de unda si de raza gaurilor verticale. In cazul nostru raportul banda interzisa mijlocul benzii interzise este de 27%.

Figura 11.3 Graficul relatiei de dispersie pentru modurile din

ghidul de unda canal

Pentru a observa natura benzii interzise vom examina intensitatea campului electric pentru primele doua benzi. In figura 12.3 este prezentat vectorul intensitatea campului electric in planul (x, y) trecand prin mijlocul ghidului, in functie de un vector de unda la marginea zonei Brillouin. Campul este confinat de - a lungul ghidului de unda si decade exponetial daca ne indepartam de el, caracteristica specifica modurilor ghidate. In cazul figurii 12.3 a) intensitatea campului electric este concentrata puternic in regiunile cu dielectric din jurul fiecarei gauri cu aer, spre deosebire de figura 12.3 b) unde intensitatea campului electric este concentrata in interiorul gaurilor cu aer.

Figura 12.3 Vectorul intensitatea campului electric asociat a) cu prima si b) a doua banda interzisa

Acum vom introduce un defect in structura ghidului de unda. Acest defect consta in adaugarea de material dielectric intre doua gauri. Initial aceasta stare este deasupra benzii interzise, iar cu cat adaugam mai mul dielectric patrunde si mai mult in interiorul benzii interzise. Astfel rezulta moduri rezonante care este confinat in apropierea defectului. Acest mod rezonant isi cupleaza energia cu modul ghidului de unda prin campuri evanescente de - a lungul grupului de gauri. In figura 13 este ilustrat modul rezonant al unei cavitati care contine 6 gauri verticale cu aer, cu 3 gauri de - o parte si de alta a defectului. Frecventa acestui mod este de 0,31 a unde este viteza luminii in vid, iar a este constanta de retea. Cum ne asteptam frecventa este in interiorul benzii interzise, dupa cum vedem si in figura 11. Gaurile actioneaza ca oglinzi Bragg.

Daca marim numarul de gauri atunci are loc o confinare si mai buna a campului in cavitate. Insa aceasta idee are si un neajuns in sensul ca se reduce abilitatea de cuplaj a fluxului de fotoni in afara si in interiorul cavitatii. Un compromis ar fi micsorarea numarului de gauri numai pe o parte a cavitatii.

Modificand diferiti parametrii ai cavitatii putem ajusta numarul de moduri rezonante in banda interzisa, frecventa lor si gradul de confinare in cavitate. Acesti parametrii sunt inaltimea si lungimea ghidului de unda, raza gaurilor, distanta dintre doua gauri vecine si dimensiunea defectului.

Figura 13 Vectorul intensitatea campului electric asociat cu un defect in   ghidul de unda

Deoarece microcavitatea poate functiona pentru orice lungime de unda doar prin scalarea fiecarui parametru, este convenabil sa alegem un parametru si sa - i scalam pe ceilalti in raport cu el. Am ales drept parametru constanta de retea a. In figura 13 defectul are dimensiunile d = 1,5a unde d este diatanta de la un centru la celalat dintre gaurile de o parte si de alta a defectului. Efectul acestui defect a fost sa introduca o singura stare rezonanta in banda interzisa. Introducerea acestui defect poate determina ca mai multe stari sa coboare din benzile de deasupra si astfel mai multe stari vor aparea in banda interzisa. Modul din figura 13 este modul rezonant fundamental. Primul mod rezonant de ordinul al doi - lea apare la frecventa 0,37 a care ii corespunde celei de a doua benzi din afara benzii interzise. Modurile induse de defect si modurile ghidate din cea de a - doua banda nu se cupleaza unele cu altele deoarece nu au aceeasi simetrie. Modurile rezonante raman confinate in jurul defectului. Deoarece intre modul rezonant fundamental si modurile rezonante de ordin mai mare exista un interval destul de larg, aceste microcavitati pot avea la iesire un singur mod.

Sunt doua posibilitati de realizare a unui defect adaugare sau indepartare de dielectric. Daca indepartam dielectric atunci modurile ghidate din prima banda trec in banda interzisa, iar rezultatele obtinute sunt asemanatoare cu celalat caz pe care l - am studiat, in sensul ca avem o buna confinare a intensitatii campului electric in jurul defectului si la iesire putem avea tot un singur mod.

Acum determinam comportamentul dinamic al modurilor in microcavitate eficienta la cuplaj dintre dintre modurile ghidate si modul rezonant din cavitate, influenta gaurilor asupra modurilor ghidate si factorul de calitate al cavitatii.

Pentru a avea o eficienta mare la cuplaj trebuie ca modul din ghidul de unda sa aiba o componenta cu aceeasi simetrie ca a modului rezonant. Modurile TE sunt acele moduri pentru care intensitatea campul electric e polarizata paralel cu ghidul de unda si este perpendiculara pe directia de propagare si de aceea aceste moduri vor cupla energia mai eficient cu modul cavitatii. Daca propagam un impuls gaussian prin ghidul de unda, centrat pe frecventa 0,30 a atunci apare un interval larg de frecvente intre 0,28 a si 0,37 a pentru care nu se transmite nimic, ceea ce corespunde cu rezultatele din figura 11. Modurile din banda interzisa sunt atenuate puternic si nu pot trece de gaurile de aer, fiind reflectate inapoi. Pe de alta parte, modurile din afara benzii interzise sunt transmise, pentru anumite frecvente coeficien-tul de transmisie fiind de aproape suta la suta. Modurile raman ghidate si prin gaurile de aer pierderile prin imprastiere si reflexie fiind foarte mici. Daca creeam cavitatea, atunci la frecventa 0,30 a apare un varf de transmisie corespunzator modului rezonant. Eficienta la cuplaj dintre modul ghidului de unda si modul rezonant depasind 80%.

Factorul de calitate Q masoara pierderile din cavitate. El are urmatoarea definitie (1)

unde E' este energia inmagazinata, este frecventa rezonanta, iar P este puterea disipata.

Pentru a masura factorul de calitate pompam energie in cavitate si vedem cum scade in timp.

Figura 14.3 Factorul de calitate in functie de numarul de gauri de o parte si de alta a defectului

In figura 14.3 este prezentat factorul de calitate in functie de numarul de gauri de o parte si de alta a defectului. Pentru cavitatea noastra, care are 3 gauri de o parte si de alta a defectului, Q = 271. Daca numarul de gauri este mai mare atunci Q creste, iar pierderile scad. Insa Q nu poate sa creasca la infinit, iar daca sunt facute prea multe gauri atunci vor avea loc pierderi de energie. Astfel Q se satureaza, iar in cazul nostru valoarea maxima a lui Q este in jur de 700. Pentru ca eficienta cuplajului dintre modul ghidului si modul rezonant sa fie foarte buna, trebuie ca Q sa nu se satureze. Daca Q este maxim atunci toata energia cuplata cu cavitatea va radia in directii transversale.

Pentru a avea o buna confinare a radiatiei in microcavitate este necesar ca, contrastul dintre indicele de refractie al cavitatii si mediul inconjurator sa fie cat mai mare. Exista doua posibilitati prima care presupune suspendarea microcavitatii in aer, iar pentru cea de a doua, cavitatea este realizata pe un substrat cu un indice de refractie mic.

In primul caz microcavitatea este inconjurata de aer, ceea ce permite o buna confinare a intensitatii campului electric. Aceasta structura, prezentata in figura 15.3, se poate fabrica daca ghidul de unda se creste pe un substrat, iar apoi se indeparteaza o parte din substrat de sub cavitate. Doua gauri ale structurii sunt suspendate, iar celelalte sunt pe substrat. Daca corodam al - trei - lea set de gauri mai adanc astfel incat sa ajunga si in substrat, atunci optimizam si imprastierea modurilor de sub ghidul de unda. Microcavitatea este realizata din GaAs care are un indice de refractie de 3,37 la 1,55 μm, iar substratul din Al_0,3Ga_0,7As cu un indice de refractie de 3,07 la 1,55 μm. Acest contrast al indicilor de refractie este prea mic pentru ca ghidul de unda sa fi fost crescut direct pe substrat, pierderile unei structuri de acest tip fiind considerabile. Procesul de fabricatie este foarte simplu se depune un strat de AlAs de grosime 1 μm si peste el inca un strat de GaAs de 0,5 μm pe un substrat de GaAs. Structura ghidului si gaurile verticale au fost realizate prin corodare ionica reactiva. Stratul epitaxial de AlAs a fost indepartat prin corodare chimica. S - au fabricat microcavitati cu urmatoarele dimensiuni ghidul de unda are o lungime de 20 μm si o latime de 5,5 μm. Gaurile au un diametru de 2,5 μm cu o distanta de la un centru la celalat dintre doua gauri vecine de 5 μm.

Acest tip de microcavitati pot fi realizate si cu alte materiale semiconductoare nu numai cu materiale di grupele III - V. S - a fabricat o structura pe baza de siliciu dupa urmatorul proces tehnologic un strat de SiO₂ gros de 1 μm s - a depus prin depunere chimica in stare de vapori la temperatura joasa. Peste el s - a depus un strat de Si de grosime 0,5 μm prin depunere chimica in stare de vapori la presiune scazuta. Ghidul de unda s - a facut prin corodare ionica reactiva a stratului de Si prin fotolitografie. Apoi s - a corodat SiO₂. "Podul" din Si are 10 μm lungime si 4 μm latime. Patru gauri au fost plasate periodic de - a lungul ghidului de Si cu un diametru de 2 μm si cu o distanta de la centru la centru de 3 μm.

Figura 15.3 Microcavitate coplanara suspendata

Acest tip de microcavitati pot avea o alta geometrie, se pot creste direct pe un substrat cu un indice de refractie mic. Trebuie tinut cont ca patrunderea intensitatii campului electric in substrat depinde de diferenta dintre indicii de refractie. De aceea trebuie sa avem un contrast al indicilor de refractie cat mai mare posibil.O alta problema ar fi ca pentru orice tip de material folosit intensitatea campului electric se va extinde mai mult in substrat decat in aer si de aceea folosim mai multe geometrii aditionale pentru a confina modul in cavitate. O microcavitate de acest tip este prezentata in figura 16. Se foloseste un piedestal pentru a ridica cavitatea deasupra substratului. Acest lucru are ca efect izolarea cavitatii de substrat si reducerea pierderilor. O alta metoda de a reduce pirderile ar fi corodarea unor gauri mai adanci in ghidul de unda. Daca corodam niste gauri mai adanci in ghidul de unda astfel incat sa patrunda si in substrat, atunci o parte mai mare din campul electric este afectat de varatia periodica a indicelui de refractie. Astfel creste reflectivitatea "oglinzilor", pentru ca coloanele de aer se comporta ca niste oglinzi Bragg, si atunci se reduc pierderile. Mai multe materiale pot fi folosite pentru fabricarea acestor microcavitati. Si si SiO₂ ofera un contrast al indicilor de refractie foarte bun, siliciu avand un indice de refractie de 3,48 si bioxidul de siliciu 1,44, pentru 1,55 μm. Ghidul este facut din Si, iar substratul este din SiO₂. Adancimea coloanelor de aer este de doua ori grosimea ghidului, adica 1 μm.

Aceste cavitati au fost proiectate astfel incat modul rezonant din cavitate sa se cupleze eficient cu modurile TE din ghidul de unda. Modurile TM nu se cupleaza cu modul cavitatii. Pentru a proiecta un rezonator pentru modurile TM trebuie sa gasim o structura care sa aibe o banda interzisa pentru modurile polarizate in directie verticala. Ne amintim ca o banda interzisa larga, apare pentru modurile ghidate atunci cand doua benzi prezinta o diferenta intre cencentratia intensitatii campului electric in regiunile cu aer si cele cu dielectric. O structura de acest tip valabila pentru modurile TM este prezentata in figura 17. Intensitatea campului electric pentru prima banda se concentraza in jurul barelor din dielectric vecine doua cate doua, iar pentru cea de - a doua in interiorul zonelor cu aer.

Figura 16.3 Microcavitate pe un substrat cu un indice de refractie scazut

Pentru a proiecta o structura care sa fie mai usor de fabricat, este necesar sa reducem inaltimea barelor. Insa daca barele sunt mai scurte atunci componenta longitudinala a intensitatii campului electric se mareste, iar banda intrezisa se micsoreaza. O imbunatatire adusa acestei structuri ar fi sa se conecteze toate varfurile barelor impreuna. Atunci intensitatea campului electric nu mai trece prin aer ci se concentraza in interiorul dielectricului, de unde rezulta ca prima banda s - ar situa mai jos, iar banda interzisa ar fi mai larga.

Figura 17.3 Microcavitate pentru modurile TM

In cazul microcavitatii pentru modurile ghidate TM, barele de dielectric pot avea diferite forme circulare, dreptunghiulare, eliptice, analog gaurile din microcavitatile pentru modurile ghidate TE, rezultatul obtinut avand ca efect aparitia de noi moduri rezonante in banda interzisa.

In concluzie in aceste doua subcapitole am prezentat aplicatiile cele mai importante ale cristalelor 1D, ghiduri de unda si microcavitati. Eficienta de transmisie este foarte buna, pentru ambele aplicatii, ghid de unda 1D 82% si ghid hibrid 1D 2D de 98,8% in cazul transmisiei modului fundamental, iar pentru microcavitati de 83% cu un factor de calitate Q = 271.

3 Cristale fotonice 2D

1 Materiale fotonice cu simetrie hexagonala

Orice structura periodica 3D ridica cateva probleme de fabricatie: contrastul dintre indicii de refractie trebuie sa fie mare ca difractia Bragg sa se produca, iar perioada de repetitie trebuie sa fie aproape de ordinul lungimii de unda, ceea ce face ca fabricarea cristalelor cu banda fotonica interzisa completa sa fie foarte dificila pentru frecvente din domeniul vizibil si infrarosu.

Acest lucru a determinat cercetatorii sa - si indrepte atentia catre structurile care sunt periodice in doar doua dimensiuni si uniforme in cea de - a trei - a. Printre tehnologiile care se aplica cu succes se numara: corodarea cu ioni reactivi a semiconductorilor si corodarea unei componente dintr - un material alcatuit din doua tipuri de sticla. Astfel rezulta o multitudine de gauri cu aer intr - un material gazda cu un indice de refractie mare. Teoretic si analiza acestor cristale este simpla, iar cand propagarea fluxului fotonic este restrictionat la planul transversal atunci se formeaza benzi fotonice interzise. Asemenea structuri au fost construite si rezultatele experimentale sunt in acord cu cele practice. Totusi aceste cristale nu au benzi fotonice interzise complete pentru ca in realitate fotonii se pot propaga liber in afara planului transversal, restrictia la planul transversal fiind artificiala. Cristalele 2D suprimeaza propagarea undelor electromagnetice in planul retelei, dar stoparea propagarii fotonilor in cea de a trei - a directie se poate obtine daca inseram cristalul intre doua oglinzi Bragg. Benzile interzise pentru modurile TE si TM trebuie sa se suprapuna unele peste atele pentru a forma o banda interzisa care sa opreasca propagarea fotonilor indiferent de tipul poalrizatiei. Dintre retelele Bravais 2D pentru o retea hexagonala zona Brillouin este aproape sferica ceea ce implica eixstenta unor benzi interzise destul de largi

In figura 18.3 e ilustrata o structura hexagonala 2D. Cele doua puncte A si B sunt ocupate de cilindrii cu raza ρ₁ si ρ₂, iar α este raportul razelor. Distanta dintre cele doua puncte este a. Daca α 0 avem o structura triunghiulara, daca α 1 clindrii au aceleasi raze si obtinem un aranjament bidimensional de hexagoane, numit structura de grafit. Daca α variaza intre 0 si 1 avem o intreaga clasa de structuri de nitrura de bor. Aceste cristale se caracterizeaza de doi parametrii factorul de umplere f si raportul razelor α. Cele mai largi benzi interzise de 7% si 4% s - au obtinut pentru structurile de nitrura de bor alcatuite din cilindrii de aer in GaAs cu un factor de umplere f %, iar 0,5 < α < 1. S - au examinat si structurile de nitrura de bor formate din bare de GaAs in aer si avem doua benzi interzise pentru 0,5 < α < 1, iar f 30%. Pentru structurile de grafit formate din bare de GaAs in aer banda interzisa cea mai larga de aproximativ 10% s - a obtinut pentru ρ 0,35a, iar f = 30%. Mai avem o banda interzisa pentru ρ 0,25a si f = 15%. Aceste structuri hexagonale 2D au benzi interzise destul de largi si sunt important de studiat datorita surapunerii benzilor pentru diferite polarizari