PUNCT MATERIAL LIBER

1.1.1. Definitii

Prin punct material liber se intelege un punct material care poate ocupa orice pozitie in spatiu, adica un punct ale carui coordonate, pot lua valori arbitrare.

Pozitia punctului material este determinata numai de fortele care actioneaza asupra sa si este definita de trei parametrii independenti, coordonatele punctului. Daca acest punct este P (fig. 1.1.), iar vectorul sau de pozitie fata de un sistem de referinta triortogonal Oxyz este , atunci cele trei coordonate ale punctului, care sunt proiectiile vectorului pe axele de sistemului de referinta pot lua valori arbitrare. Se spune ca punctul material liber are in spatiu, trei grade de libertate. Expresia analitica a vectorului este :

, (1.1)

in care, prin , , s-au notat versorii axelor sistemului de referinta cartezian, iar prin coordonatele punctului P fata de acest sistem.

1.1.2. Forta

Forta este o masura a interactiunii dintre corpurile materiale, care contribuie in masura determinata la variatia vitezei in miscarea mecanica a acestor corpuri. Pentru a cunoaste o forta nu este suficienta cunoasterea numai a marimii sale ci, mai este necesara si cunoasterea directiei si a orientarii sale in spatiu. De aceea, se spune ca forta are un caracter vectorial, adica este un vector (fig. 1.2).

In consecinta, o forta este cunoscuta atunci cand sunt cunoscute cele patru caracteristici care definesc o marime vectoriala:

punctul de aplicatie, care poate fi chiar punctul material asupra caruia actioneaza forta, sau punctul geometric dintr-un solid rigid asupra caruia se manifesta actiunea fortei;

directia sau suportul vectorului forta, care coincide cu linia de actiune a fortei;

sensul fortei pe suportul, exprimat printr-o sageata;

modulul, sau marimea, vectorului forta, reprezentat geometric la o anumita scara si exprimat prin unitati de masura ale fortei.

De aici, rezulta ca efectul unei forte se schimba daca se modifica directia sau suportul, sensul, marimea dar uneori chiar si punctul de aplicatie.

Dar, forta nu reprezinta cauza miscarii (care poate exista si in absenta fortei, cum este miscarea inertiala, de exemplu) ci miscarea materiei reprezinta sursa fortei. Forta este aplicata fie prin contact direct asupra unui corp fie de la distanta (de exemplu fortele magnetice si gravitationale, sunt aplicate de al distanta).

In mecanica, se obisnuieste ca vectorii forta sa se noteze cu litere mari barate , etc.

In S.I., forta se masoara in N (newtoni):

1.1.2.1. Compunerea fortelor concurente

Daca asupra unui punct material actioneaza simultan doua forte si , se poate dovedi experimental ca actiunea simultana a celor doua forte este echivalenta cu actiunea unei singure forte care este reprezentata de catre diagonala paralelogramului avand ca laturi cele doua forte, conform principiului paralelogramului (fig. 1.3,a). Acest principiu desi nu poate fi demonstrat, el reprezinta totusi rezultatul multor experiente practice. Forta poarta numele de forta rezultanta, iar fortele si se numesc forte componente. Conform operatiei de adunare vectoriala rezulta:

. (1.2)

Marimea rezultantei, sau modulul sau, se obtine cu ajutorul teoremei lui Pitagora generalizata, daca se cunosc fortele si , precum si unghiul dintre ele (fig. 1.3.a)

. (1.3)

Acelasi rezultat se obtine geometric si daca din varful vectorului , adica din B, se traseaza un vector echipolent cu (paralel, egal, de acelasi sens), , iar rezultanta se obtine unind punctul se aplicatie al primei forte cu varful ultimei adica A cu D (fig. 1.3.b). De aici rezulta si observatia ca , adica insumarea geometrica nu este identica cu insumarea algebrica.

In triunghiul ABD (fig.1.3.b) se poate aplica teorema sinus si se obtine relatia lui Stevin :

, (1.4)

relatie, cu ajutorul careia se obtine si pozitia rezultantei.

Este adevarata si reciproca principiului paralelogramului, in sensul ca o forta unica aplicata asupra unui punct material A se poate descompune (in plan) dupa doua directii si (cunoscute), fara ca prin aceasta operatie sa se modifice efectul fortei unice (fig. 1.4)

Principiul paralelogramului poate fi extins si asupra unui sistem de n forte concurente in plan (fig.1.5) sau in spatiu (fig. 1.6) adica la extremitatea fortei , se duce un vector , echipolent cu , apoi la extremitatea lui un vector , echipolent cu , si asa mai departe pana la ultimul vector, rezultand in final un poligon ABC unind punctul de aplicatie al primei forte , cu varful ultimei forte din poligon , adica construind linia de inchidere, se obtine vectorul forta rezultanta (pe scurt vectorul rezultant) , care satisface ecuatia vectoriala :

. (1.5)

In spatiu, regula paralelogramului fortelor din plan, devine regula paralelipipedului fortelor (fig. 1.6 contine doar trei forte pentru exemplificarea regulii paralelipipedului fortelor, respectiv a poligonului fortelor spatial). Si in spatiu este valabila reciproca regulii paralelipipedului fortelor, adica descompunerea unei forte dupa trei directii reciproc perpendiculare, cum este cazul sistemului cartezian de referinta (fig. 1.7). In acest caz se poate scrie si expresia analitica a vectorului forta .

, (1.6)

unde, si sunt componentele fortei dupa cele trei directii , si .

Atasandu-se versorii , axelor de coordonate , si , expresia vectoriala (1.6) se mai poate scrie si astfel:

, (1.7)

unde reprezinta proiectiile vectorului forta pe cele trei axe:

(1.8)

in care, , si exprima directia vectorului forta in raport cu sistemul de referinta ales si poarta numele de cosinusi directori. Daca sunt cunoscute proiectiile fortei pe cele trei axe,, si , rezulta marimea fortei:

(1.9)

Daca se cunosc expresiile analitice ale tuturor fortelor concurente intr-un punct, fata de un sistem de referinta Oxyz, atunci acestea pot fi compuse si analitic:

, (1.10)

care, prin insumare vectoriala conduc spre vectorul rezultant :

. (1.11)

Expresia analitica a rezultantei este:

, (1.12)

in care , si reprezinta componentele vectorului rezultant pe axele sistemului de referinta.

Prin compararea expresiilor (1.11) cu (1.12), rezulta

, (1.13)

care reprezinta teorema proiectiilor, cu urmatorul enunt: proiectia vectorului rezultant al unui sistem de forte concurente pe o axa este egala cu suma algebrica a proiectiilor fortelor componente pe acea axa.

Modulul rezultantei devine:

, (1.14)

iar directia sa este data de:

. (1.15)

Cu ajutorul expresiilor algebrice (1.13), (1.14) si (1.15) vectorul rezultant este complet determinat. Asadar, prin aceste operatii analitice se poate inlocui algebra vectoriala, de compunere geometrica a fortelor, cu algebra scalara, de compunere analitica a acestora, folosind teorema proiectiilor.

1.1.3. Echilibrul fortelor aplicate punctului material liber

Conditia necesara si suficienta pentru ca un sistem de forte aplicate unui punct material liber sa fie in echilibru este ca vectorul rezultant al sistemului de forte sa fie nul. Din punct de vedere grafic poligonul fortelor trebuie sa se inchida.

Deci:

. (1.16)

In aceste conditii punctul material se va gasi in repaus, sau intr-o miscare rectilinie si uniforma fata de sistemul de referinta ales.

Ca sa fie indeplinita conditia (1.16) este necesar si suficient ca modulul vectorului rezultant sa fie nul:

, (1.17)

ceea ce este echivalent cu trei conditii scalare

. (1.18)

Daca sistemul de forte prezinta un caracter particular, in sensul ca sunt forte situate in acelasi plan atunci numarul de conditii scalare se reduce la doua. De exemplu, daca fortele sunt situate in planul Oxy:

. (1.19)

Daca fortele sunt coliniare, la o singura conditie scalara sau paralele cu axa Ox, de exemplu:

, (1.20)

Cu ajutorul conditiilor scalare (1.18), (1.19) sau (1.20) se pot rezolva urmatoarele doua categorii de probleme intalnite in statica punctului material:

se cunosc fortele care actioneaza asupra punctului material liber si se cere sa se determine pozitia de echilibru a acestui punct fata de sistemul de referinta ales. Solutia acestei probleme, de obicei, este unica.

se da pozitia de echilibru a punctului material si se cere sa se stabileasca fortele necesare pentru mentinerea acesteri pozitii. In general aceasta problema poate avea o infinitate de solutii, dar in practica se mai pun si conditii suplimentare, ceea ce inseamna ca si aceasta problema poate avea uneori solutie.

Aplicatia 1.1

De un punct material liber - un inel - sunt legate trei fire, de fiecare fiind legata cate o greutate P, Q si G avand masele . Firele care sustin greutatiile P si Q sunt trecute peste doi scripeti mici situati la distanta . Se cere pozitia de echilibru a punctului de conexiune a firelor fata de sistemul de referinta indicat in fig. 1.8 a.

R: Inelul de conexiune al celor trei fire poate fi considerat un punct material liber deoarece poate ocupa orice pozitie in planul fortelor, respectiv a firelor de conexiune. El depinde numai de doi parametrii, care pot fi coordonatele x si y ale punctului O sau unghiurile si indicate in fig. 1.8

Legatura intre aceste doua categorii de parametrii este de natura geometrica, adica:

.

Se izoleaza punctul (fig. 1.8 b), in locul firelor de conexiune se introduc cele trei forte si se scriu ecuatiile scalare de echilibru:

,

deci:

,

sau, coordonatele punctului O:

.