ECUATIILE DE ECHILIBRU LA INTERFATA

ECUATIILE DE ECHILIBRU LA INTERFATA

1. Introducere

Ecuatiile de echilibru (conservare) stabilite in capitolul 5 presupun continuitatea proprietatilor fizice asociate domeniului spatial D. Anumite aplicatii, de exemplu propagarea unei unde intr-un mediu continuu, necesita formularea ecuatiilor de echilibru pe o suprafata singulara ce se deplaseaza in mediul respectiv. Suprafata, aflata in miscare relativa fata de fluid, va determina astfel o discontinuitate a marimilor ce sunt continute in ecuatiile de echilibru; deci in formularea acestor ecuatii trebuie sa se tina seama de "saltul" (discontinutatea) marimilor respective.

Se considera o suprafata singulara ce se propaga cu viteza w intr-un mediu continuu D (v. figura 1). La un moment fix, suprafata singulara (presupusa neteda, deci in fiecare punct al ei se defineste o normala unica) imparte domeniul D in doua domenii distincte, respectiv

, . (1)

Campul , ce defineste o proprietate fizica in D asociata mediului continuu (densitate, viteza, tensiune), va suferi un salt intre cel doua fete ale suprafetei,

(2)

unde cus-a notat valoarea lui in .

2. Conditiile de salt pentru o suprafata singulara

In stabilirea ecuatiilor de echilibru se pleaca de la formularea integrala a principiilor generale (v. capitolul 5), respectiv formulele de transport (Reynolds) si formula lui Gauss. In cazul existentei suprafetei singulare in domeniul D, ecuatia de transport (5.11) pentru marimea capata expresia

, (3)

echivalenta cu

, (4)

unde s-a folosit formula lui Gauss (5.5) si (5.6) in forma

(5)

Fig. 1. Mediu continuu parcurs de o suprafata singulara cu viteza w; saltul vitezei mediului pe cele doua fete ale suprafetei este .

In (3) si (5) reprezinta normala la suprafata singulara , sensul pozitiv fiind de la catre Relatiile (3) si (5) se stabilesc plecand de la formele integrale initiale scrise separat pentru domeniile si , domenii unde este continua (pentru detalii a se consulta bibliografia ).

Formele integrale ale principiilor generale se pot enuta generic prin relatia

(6)

unde si reprezinta productia si aportul (din exterior) de proprietate in D iar este fluxul de proprietate prin (v. tabelul 1).

Tabelul 1

Marimile generice corespunzatoare principiilor generale

Folosind (4) si (5) in (6) se obtine

Considerand domeniul D un disc de volum infinitezimal in jurul suprafetei (v. figura 2), in limita relatia de echilibru (7) este echivalenta cu

(8)

unde reprezinta o eventuala productie a proprietatii pe suprafata (se va considera nul daca nu se fac precizari exprese).

Relatia (8) reprezinta conditia generala de salt" a marimii pe suprafata singulara . Pentru fiecare principiu general, in functie de marimile si corespunzatoare (v. tabelul 1), rezulta cate o conditie de salt (v. tabelul 2).

Tabelul 2

Conditiile de salt asociate principiilor generale

In (10) si (11) defineste tensiunea pe interfata.

O suprafata singulara pentru care si este o suprafata materiala, deoarece saltul de viteza intr-un fluid incompresibil, in cazul in care exista, nu poate fi decat tangential la, straturile de fluid putand aluneca" cu viteze diferite fata de (v. figura 3).

Pentru o suprafata materiala conditia (9) este satifacuta prin definitie, respectiv M in (9), echivalent cu

. (12)

Fig. 3. Suprafata singulara este o suprafata materiala; conditia (12) este indeplinita chiar daca vitezele fluidului in

lungul suprafetei sunt diferite in cele doua domenii.

Fie ecuatia suprafetei materiale cu

;

conditia (12), independenta de variatia densitatii, impune ca viteza normala a suprafetei sa fie egala cu viteza fluidului normala la suprafata respectiva, ceea ce este echivalent cu restrictia

. (14)

Deci, derivata materiala (3.3) a unei suprafete materiale este prin definitie zero, orice particula de fluid atasata la un moment dat de suprafata ramanand in tot timpul miscarii pe suprafata respectiva.

De asemenea, pe o suprafata materiala diferenta de tensiune pe interfata este nula

, (15)

iar puterea mecanica a tensiunii pe interfata se transforma in caldura (catre )

. (16)

Exemple de suprafate materiale in campul curgerii sunt frontierele solide la care fluidul adera, suprafetele de separatie dintre doua fluide imiscibile prin care nu se realizeza un transfer de masa, respectiv suprafetele de curent dintr-un fluid omogen, definite de conditia(v. capitolul 2).

3. Aplicatii

Una dintre cele mai comune aplicatii ale conditiilor de salt (9) - (11) este calculul vitezei undei de soc transmisa intr-un fluid ideal de miscarea unui piston ce se deplaseaza cu viteza constanta u. In acest exemplu, unda este reprezentata de o suprafata singulara ce separa fluidul aflat in miscare cu viteza si fluidul aflat in repaus , viteza undei fiind (v. figura 4).

Fig. 4. Deplasarea unei unde de soc intr-un fluid ideal datorita miscarii unui piston.

Din conditia (9), echivalenta cu relatia

(17)

se obtine

. (18)

Conditia de salt (10) proiectata pe directia normalei n devine

, (19)

respectiv

(20)

Din (18) si (20) se obtine legatura dintre cresterea de presiune datorata undei de soc, , viteza undei si viteza de deplasare a pistonului,

. (21)

Daca se cunoaste expresia energiei interne in mediul fluid, respectiv functia de material , din (11) se poate obtine in principiu valoarea vitezei undei de soc , unde c este viteza sunetului (celeritatea) si sunt constante de material (pentru , deci , se poate arata ca (pentru detalii se poate consulta lucrarea mentionata la nota de subsol 1 din capitolul 1, v. si relatia (6.24)).

Aplicatiile mai interesante apar cand se studiaza miscarea a doua fluide aflate in contact. Daca restrictia (9) este admisa in majoritatea cazurilor, in (8) , atunci conditia cinematica de aderenta a fluidelor

(22)

se poate considera valabila pentru toate miscarile studiate (acest lucru nu inseamna ca nu pot exista fizic cazuri ca cel prezentat in figura 3, respectiv fluide care nu adera la suprafetele care definesc domeniul curgerii).

Generalizarea conditiei (10), respectiv a relatiei (15), trebuie insa privita cu precautie. Daca suprafata singulara nu este materiala sau , diferenta tensiunilor din fluid ce actioneaza pe interfata nu mai este nula. Acesta este de exemplu cazul suprafetelor care separa doua faze (gaz-lichid) sau doua lichide imiscibile in miscare. In ambele aplicatii diferenta eforturilor normale ce actioneaza pe este echilibrata de eforturi generate de proprietati specifice ale fluidelor ce se manifesta numai pe interfata: (i) tensiunea superficiala (v. relatia (4.19)) sau gradientul tensiunii superficiale pe interfata; (ii) elasticitatea de interfata (in cazul fluidelor viscoelastice) sau (iii) a viscozitatii si elasticitatii de interfata (cazul fluidelor imiscibile, respectiv al lichidelor in care se gasesc surfactanti sau particule deformabile, v. capitolul 1).

In cazul , neglijand termenul cinetic in (11), se obtine un rezultant important

(23)

Deci, in lipsa transferului termic si considerand saltul de temperatura nul, , diferenta dintre energia interna a celor doua fluide (faze) aflate in contact genereaza o putere mecanica la interfata. Conditia de salt pe interfata devine importanta in acest caz si relativ la principiul entropiei (5.25); cu si se obtine

(15)

unde defineste productia de entropie la interfata.

Problemele devin cu mult mai dificile in cazul in care nu se cunoaste forma interfetei, asa numitele probleme cu suprafata libera. Majoritatea aplicatiilor practice de interes sunt in aceasta categorie: evolutia picaturilor in aer si a bulelor in lichid, transportul lichidelor suprapuse, jeturi libere, hidrodinamica filmelor subtiri). In cazurile mentionate, pe langa rezolvarea ecuatiilor de echilibru pentru fiecare fluid in parte si respectarea conditiilor de salt mentionate, trebuie sa se aiba in vedere ca relatiile (13) si (14) devin relatii de inchidere, functia fiind aprioric necunoscuta.

Dificultatile de calcul sunt majore, cu atat mai mult cu cat curgerile din aceasta categorie devin rapid instabile (impunerea unor ipoteze simplificatoare, cum ar fi cele de fluid ideal, lipsa tensiunii superficiale, miscare izocora si permanenta, neglijarea viscozitatii si elasticitatii de interfata, devine in acest caz o necesitate pentru obtinerea unor rezultate teoretice si numerice ). Studiile experimentale capata astfel importanta deosebita pentru rezolvarea unor probleme tehnice specifice, de exemplu: (i) forma suprafetei libere generate de rotatia corpurilor ; (ii) evolutia interfetei petrol-apa in conducte sub presiune ; (iii) stabilitatea curgerii jeturilor libere ; (iv) evolutia bulei cavitationale in vecinatatea peretilor ; (v) impactul picaturilor pe suprafete solide (v. figura 5); (vi) stabilitatea picaturilor la iesire din orificii (v. figurile 6 si 7).

b

a

Fig. 5. Impactul unei picaturi de fluid viscoelastic pe o suprafata solida. Proprietatile fluidului (viscozitatea Pas, timpul de relaxare s, densitatea kg/m³, tensiunea superficiala N/m), diametrul echivalent al picaturii la impact d = mm, viteza de impact V_i = m/s: a - impactul picaturii pe suprafata solida (timpul dintre doua imagini succesive ms); b - evolutia picaturii dupa impact (intervalul de timp dintre imagini ms) (experiment efectuat in Laboratorul de hidrodinamica, Prof. C.

Tropea, T. U. Darmstadt, Germania).

Fig. 6. Picatura de sapun lichid in echilibru, la iesirea dintr-un orificiu cu diametrul 2 mm = 1040 kg / m³,

tensiunea superficiala 0,0277 N/m).

Fig. 7. Evolutia unei picaturi de sapun lichid la iesirea in atmosfera   dintr-un orificiu cu diametrul interior de 2 mm (experiment efectuat in Laboratorul de hidrodinamica,

Prof. H. Hampe, T. U. Darmstadt, Germania).