Analiza Fourier a miscarii oscilatorii

Analiza Fourier a miscarii oscilatorii

Miscarile oscilatorii ale caror ecuatii de miscare sunt descrise cu ajutorul functiilor sinus sau cosinus se numesc miscari oscilatorii armonice. Numele acestora le este dat de catre aceste functii, care se numesc functii armonice.

Exista insa in natura miscari care desi nu sunt armonice , sunt totusi periodice. Un exemplu de astfel de miscare este cea din figura 1.18.

Figura 1.18 Semnal periodic nearmonic

Un semnal periodic de perioadǎ are urmǎtoarea proprietate :

(1.120)

Dacǎ functia este periodicǎ si continuǎ atunci ea poate fi scrisǎ astfel:

(1.121)

Expresia de mai sus poartǎ numele de serie Fourier trigonometricǎ (SFT), coeficientii si numindu-se coeficienti Forier, iar este legat de perioada functiei prin relatia:

(1.122)

Dacǎ se cunoaste perioada semnalului care trebuie analizat, determinarea coeficientilor Fourier se poate face tinand cont de ortogonalitatea functiilor si. Conform acestei proprietǎti:

(1.123)

si atunci rezultǎ:

(1.124)

Seria Fourier poate fi scrisǎ si in formǎ complexǎ. Astfel, dacǎ tinem cont de formulele lui Euler:

(1.125)

atunci

si inlocuind coeficientii si cu :

(1.126)

rezultǎ :

(1.127)

Expresia (1.127) poartǎ numele de serie Fourier exponentialǎ (SFE), determinarea coeficientilor din dezvoltarea in serie bazandu-se de asemenea pe proprietatea de ortogonalitate a sistemului de functii de tipul . Aceastǎ proprietate, pentru acest sistem de functii ne spune cǎ:

(1.128)

Este usor de vǎzut cǎ in acest caz:

(1.129)

Seria Fourier a unui semnal dreptunghiular

Ca un exemplu la cele expuse mai sus, sǎ deteminǎm coeficientii Fourier la un semnal periodic dreptunghiular, ilustrat in figura 1.19.

Figura 1.19 Semnal dreptunghiular

Calculǎm coeficientii:

Prin urmare semnalul dreptunghiular va putea fi obtinut dintr-o serie Fourier trigonometricǎ astfel:

(1.130)

Fǎrǎ prea mari eforturi se pot gǎsi si coeficientii din seria Fourier exponentiala.

Desigur se pune problema cati termeni trebuie luati in considerare in seria Fourier. Rǎspunsul depinde de eroarea cu care dorim sǎ aproximǎm semnalul. Evident nu intotdeauna luarea in considerare a unui numǎr mare de componente Fourier ne asigurǎ cea mai micǎ eroare.

In figura 1.20 este reprezentata transformata Fourier a unui semnal sinusoidal cu frecventa de 5 KHz achizitionat cu o placa de achizitie la o frecventa de achizitie de 40000Hz.

Figura 1.20 Transformata Fourier a unui semnal de 5 KHz.