GRAFURI - Notiuni introductive

GRAFURI - Notiuni introductive

Metode de reprezentare a grafurilor

Se considera multimile finite X= si multimea U, care este produsul cartezian al multimi X cu ea insasi.

Definitia 1: Se numeste graf o pereche ordonata de multimi (X,U), X fiind o multime finita si nevida de elemente numite varfuri sau noduri, iar U o multime de perechi (submultimi cu doua elemente) din X, numite muchii sau arce.

Multimea X se numeste multimea nodurilor sau varfurilor grafului, iar multimea U se numeste multimea muchiilor sau multimea arcelor.

Un graf va fi notat cu G=(X,U), iar in figura sa, varfurile (nodurile) se vor desena prin cifre sau litere, muchiile prin linii neorientate si arcele prin linii orientate.

Definitia 2: Se spune ca multimea U are proprietatea de simetrie daca si numai daca avand [Xi, Xk] Є U rezulta ca [Xk, Xi] I U.

Definitia 3: Daca multimea U are proprietatea de simetrie, se spune ca graful G=(X, U) este graf neorientat.

Pentru G=(X, U)graf neorientat, o muchie u se noteaza [Xi, Xk] si este o pereche neordonata de varfuri distincte din X (adica Xi, Xk I⁄∪ X si Xi ≠ Xk).

Varfurile Xi si Xk se numesc extremitatile muchiei u si se spune ca Xi si Xk sunt varfuri adiacente.

Daca un varf nu este extremitatea nici uni arc, atunci el se numeste varf izolat.

Considerand muchia u, notata [Xi, Xk], se spune ca varfurile Xi si Xk, sunt incidente cu muchia [Xi, Xk]. De asemenea, despre doua muchii care au o extremitate comuna se numesc incidente. Uneori, prin abuz de limbaj, se mai foloseste notatia [Xi,Xk] IU.

Definitia 4: Daca multimea U nu are proprietatea de simetrie, se spune ca graful G=(X,U) este graf orientat sau directionat sau digraf. Daca G=(X, U) este un graf orientat, muchiile se numesc arce; un arc u se noteaza cu [Xi, Xk] si este o pereche ordonata de varfuri distincte din X (adica Xi, Xk I X si Xi ≠ Xk).

Pentru un arc (Xi, Xk), Xi este numit baza arcului sau originea sau extremitatea initiala, iar Xk este numit varful arcului sau extremitatea finala sau terminala B.

Se spune ca Xk este adiacent lui Xi. Avand arcul (Xi, Xk), se mai spune ca acesta este incident spre exterior cu Xi si incident spre interior cu Xk. Daca un varf nu este nici extremitatea initiala, nici extremitatea finala a vrunui arc, atunci el se numeste varf izolat.

Definitia 5: Se considera graful G=(X, U). Daca U=Ø (multime vida), atunci graful G=(X, U) se numeste graf nul si reprezentarea lui in plan se reduce la figurarea unor puncte izolate.

Definitia 6: Se defineste gradul unui varf x al uni graf G=(X, U) ca fiind numarul muchiilor incidente cu x si se noteaza cu d(x).

Definitia 7: Daca un varf are gradul 0 (nu exista nici o muchie incidenta cu el), atunci el se numeste varf izolat, iar daca are gradul 1 (este incident cu o singura muchie) se numeste varf terminal.

Proprietatea 1: Fie graful G=(X, U) cu n varfuri x1, x2,., xn si m muchii.

Atunci suma gradelor nodurilor grafurilor este 2m adica:

n

Σ d(Xk)=2m

k=1

Definitia 8: Fie graful G=(X, U) si V U

Graful Gp=(X, V) se numeste graf partial al grafului G=(X, U). se poate spune ca un graf partial se poate obtine pastrand toate nodurile, dar eliminand o parte din muchii. Daca V=U, atunci Gp coincide cu G.

Definitia 9: Fie graful G=(X, U). se numeste graf complementar al grafului G graful G'=(X, U') cu proprietatea ca doua varfuri sunt adiacente in G' daca ele nu sunt adiacente in G.

Definitia 10: Fie graful G=(X, U) si Y X. fie V U, unde V contine toate muchiile din U care au ambele extremitati in Y. graful H=(Y, V) se numeste subgraf al grafului G=(X, U).

Se spune ca subgraful H e indus sau generat de multimea de varfuri Y.

Definitia 11: Se considera U=X*XD. Atunci graful G=(X, U)se numeste graf complet si se noteaza Kn (n fiind numarul de varfuri ale grafului). D=

Definitia 12: Graful G=(X, U) se numeste bipartit daca exista doua multimi nevide A si B astfel incat x=A B, A B= si orice muchie u a lui are o extremitate in A si cealalta extremitate in B.

Definitia 13: Graful G=(X, U) bipartit se numeste bipartit complet daca in orice varf xi din A si orice varf xk din B exista muchia [xi, xk].

Metode de reprezentare

1. Lista de adiacente: aceasta metoda este indicata in cazul in care graful are un numar mare de noduri si un numar mic de muchii.

2. Matricea de adiacenta sau matricea asociata grafului G(X, U)

A= (aij) este definita astfel:

| 1, pentru (xi, xj) I U          

Aij=|

| 0, in caz contrar