FILTRE - Obiectivele filtrarii imaginilor, Operatori de netezire liniari, Medierea aritmetica. Filtrul uniform

Filtre

1. Obiectivele filtrarii imaginilor

Prin filtrarea imaginilor, se urmareste eliminarea selectiva a informatiei ce nu prezinta interes din punctul de vedere al obiectivelor analizei imaginii, concomitent cu pastrarea informatiei utile. Informatia ce se doreste a fi eliminata este denumita "zgomot", datorita probabil celei mai vechi probleme de filtrare abordate in electronica : reducerea zgomotului produs de amplificatoare. Un exemplu de imagine afectata de zgomot si filtrata este prezentat in Fig. 6.1.

Fig. 6.1.Exemplu de filtrare pentru atenuarea zgomotului

Abordarea traditionala a problemei filtrarii prin sisteme liniare, spatial invariante, are la baza descompunerea (reala sau ipotetica) a semnalului supus filtrarii in componente de frecventa. Proiectarea filtrului se concentreaza, in aceasta abordare, pe realizarea atenuarii si eventual defazarii dorite pentru fiecare componenta spectrala. De aici si denumirile consacrate : filtru trece-sus, trece-jos, trece-banda, opreste banda etc. Datorita faptului ca toate celelalte tipuri de filtru pot fi sintetizate pornind de la un filtru trece-jos, acest tip de filtru ocupa cel mai insemnat loc in lucrarile dedicate filtrelor liniare. Capitolul prezent urmeaza aceeasi tendinta, prin concentrarea pe filtre de netezire. Termenul de netezire a imaginilor este nu numai mai sugestiv decat cel de filtru trece jos pentru imagini, ci si mai general, fiind adecvat si pentru filtrele neliniare care sunt robuste si la care ne referim in principal. Pentru o perspectiva mai larga, este inclusa si o scurta prezentare a tehnicilor de netezire liniare.

Succesul oricarei operatii de prelucrare a imaginii sau, mai general, al oricarui proiect ingineresc, depinde in primul rand de masura in care cerintele reale ale utilizatorului sunt incorporate in modelarea matematica a problemei. Evolutia tehnicilor de netezire a imaginilor reflecta aceasta realitate, prin tendinta de modelare din ce in ce mai exacta a cerintelor. In netezirea imaginilor, o cerinta importanta o reprezinta pastrarea contururilor.

2. Operatori de netezire liniari

Operatorii de netezire liniari pot fi considerati operatori de filtrare de tip trece-jos. Efectul lor asupra spectrului Fourier consta in atenuarea componentelor de inalta frecventa. Proiectarea filtrelor de netezire a imaginilor se concentreaza cel mai frecvent pe domeniul spatial si nu cel de frecventa, datorita dificultatii de a gasi formularea precisa a raspunsului in frecventa dorit. De exemplu, un filtru trece-jos cu a anumita banda de trecere, produce numeroase oscilatii la aparitia unui semnal de tip treapta, un efect cat se poate de indezirabil.

2.1. Medierea aritmetica. Filtrul uniform

Medierea aritmetica este una din cele mai simple metode de eliminare a zgomotului, utilizata cu succes si in tehnica masurarii. Sa presupunem ca se capteaza o imagine statica f, afectata aditiv de zgomotul n. Putem presupune ca zgomotul este alb si are dispersia s². Mai presupunem ca se capteaza N cadre de imagine. Prin medierea aritmetica a imaginilor captate, obtinem

(6.1)

Pentru ca imaginile captate, f_k sunt statice, ele sunt toate identice si egale cu imaginea ideala, f. In consecinta,

(6.2)

Zgomotul in imaginea mediata este

(6.3)

Matricea de covarianta a zgomotului la iesire este:

(6.4)

Se observa ca zgomotul ramane alb si dispersia scade de N ori, respectiv abaterea standard de ori. Acest gen de mediere aritmetica temporala este mijloc de eliminare a zgomotului deosebit de eficient. Teoretic N poate fi oricat de mare. Practic, N este limitat numai prin faptul ca imaginea poate sa nu ramana statica un timp nelimitat.

De cele mai multe ori, dispunem de un singur cadru de imagine, astfel ca procedura de eliminare a zgomotului prin mediere in timp, nu este realizabila. In locul ei, putem folosi medierea spatiala prin convolutia cu filtrul uniform de dimensiuni L L

. (6.5)

Presupunand ca zgomotul este alb, si acest filtru reduce abaterea standard a zgomotului de L ori.

Filtrul uniform poseda o proprietate de optimalitate, in sensul ca, media aritmetica furnizeaza o estimare de eroare patratica minima a intensitatii dintr-o fereastra cu un nivel constant. Intr-adevar, fie f_k elementele imaginii cuprinse intr-o fereastra oarecare, continand N pixeli. Se cauta un estimator, g, astfel incat eroarea

(6.6)

sa fie minima. Punand conditia:

(6.7)

obtinem dupa calcule simple solutia:

(6.8)

Este de asteptat, prin urmare, ca filtrul uniform sa functioneze excelent in regiunile uniforme, in care ipotezele ce au condus la optimalitatea solutiei de mediere aritmetica sunt intrunite. Pentru utilizarea adecvata a filtrului uniform, aceste ipoteze, sau, echivalent, modelul optimizat trebuiesc constientizate.

Cu totul alta este functionarea filtrului in regiunile neuniforme, de tipul muchiilor. In Fig. 2 este redata o muchie ideala de tip treapta 1D si rezultatul medierii aritmetice cu un filtru uniform de lungime L. Filtrul produce o degradare a conturului ce se manifesta vizual prin estomparea tranzitiilor din zonele de contur, echivaland cu pierderea claritatii imaginii. Rezultatul ar trebui sa nu surprinda, pentru ca in vecinatatea muchiei, modelul de imagine constanta este invalidat.

Fig 6.2. Efectul unui filtru uniform de lungime L asupra unei muchii treapta 1D.

Rezultatele filtrului cu mediere aritmetica cu fereastra de 5×5 asupra unei imagini este ilustrat in figura 6.3. Dimensiunea ferestrei influenteaza decisiv proprietatile filtrului uniform. Cresterea ei conduce la eliminarea mai drastica a zgomotului, prin reducerea abaterii standard proprotional cu radicalul numarului elementelor din fereastra. In acelasi timp, efectul advers al filtrului asupra muchiilor se agraveaza, alegerea dimensiunii ferestrei fiind bazata pe un compromis intre gradul de suprimare a zgomotului si pierderea claritatii contururilor.

Modelul de imagine constanta in fereastra care a condus la filtrul cu mediere aritmetica ignora complet caracterul zgomotului ce se presupune a fi eliminat. Sa presupunem ca zgomotul este aditiv, independent si identic distribuit in fereastra de filtrare si ca distributia este una de tip Gaussian, cu medie nula si dispersie necunoscuta. Deoarece semnalul imagine este presupus constant, in fereastra, acesta poate fi modelat ca avand o distributie Gaussiana, cu media nenula si necunoscuta, m, egala cu nivgelul semnalului si cu dispersie nenula, egala cu a zgomotului si de asemenea, necunoscuta. Neglijand efectele cuantizarii in imaginea digitala, putem exprima densitatea de probabilitate a imaginii f prin:

Fig. 6.3. Rezultatele filtrului de mediere aritmetica cu masca de 5×5 pixeli

(6.9)

Probabilitatea de a observa multimea esantioanelor in fereastra devine (folosind independenta distributiilor),

(6.10)

Prin logaritmarea exprsiei, devine evident ca aceasta probabilitate este maximizata pentru

(6.11)

adica pentru constanta m egala cu media aritmetica a esantioanelor.

2.2. Medierea ponderata. Filtre binomiale

Daca privim filtrul de netezire ca o modalitate de a estima valoarea corecta a nivelului de gri la locatia situata in centrul mastii, este firesc sa punem in discutie faptul ca, la filtrul uniform, toti pixelii din fereastra contribuie egal la rezultatul estimarii. Intuitiv, pixelii aflati la distanta mai mare de centrul mastii au sanse mai mari sa apartina unui obiect diferit din imagine si sa aiba nivel de gri mai putin reprezentativ pentru pixelul estimat. In consecinta, efectul lor asupra rezultatului estimarii ar trebui diminuat. Este exact ceea ce si fac filtrele cu mediere ponderata.

Exista multiple posibilitati de a se obtine filtre cu mediere ponderata. Intre acestea, de o larga utilizare se bucura filtrele binomiale, datorita simplitatii si a proprietatilor lor favorabile [Jahne 1995]. Filtrele binomiale 2D sunt construite in forma separabila, pe baza filtrelor binomiale 1D. Un filtru binomial de orice dimensiune poate fi obtinut prin convolutia repetata a mastii:

(6.12)

ce calculeaza pur si simplu media a doi pixeli vecini. Vom nota

. (6.13)

sunt de interes mai ales mastile cu n par, continand un numar impar de elemente. Exemplificam cateva asemenea filtre:

(6.14)

Versiunea lui 2D a filtrului binomial de lungime 3 este

. (6.15)

Pentru filtrul de lungime 5, rezulta:

. (6.16)

Filtrul binomial poseda, asemenea filtrului uniform, o proprietate de optimalitate. Fie, din nou, f_k elementele imaginii cuprinse intr-o fereastra oarecare, continand K pixeli. Se cauta un estimator, g, astfel incat suma ponderata a abaterilor patratice fata de estimator

(6.17)

sa fie minima. Punand din nou conditia:

(6.18)

obtinem dupa calcule simple solutia

(6.19)

Se recunoaste ca in acest caz, solutia optimala este o medie ponderata a esantioanelor din fereastra. In particular, ponderile pot fi alese a fi coeficientii filtrului binomial.

Efectul filtrului binomial asupra unei muchii 1D este ilustrat in Fig. 6.4. Se observa ca, la dimensiuni egale, un filtru binomial afecteaza muchiile mai putin decat unul uniform. Pentru obiectivitatea comparatiei, este necesara precizarea ca, la dimensiuni egale, gradul de suprimare a zgomotului este, de asemenea, mai redus la filtrul binomial.

Rezultate comparative ale netezirii cu filtrul binomial 5×5 si cu filtrul uniform 5×5 sunt ilustrate in Fig. 6.5.

Fig. 6.4. Efectul filtrelor cu mediere ponderata asupra muchiilor

Efectul de estompare a muchiilor mai redus al filtrului binomial in comparatie cu filtrul cu mediere aritmetica avand aceeasi dimensiune, se explica prin ponderarea mai redusa a efectului pixelilor indepartati de centrul imaginii asupra rezultatului estimarii imaginii in centrul ferestrei, ceea ce este in concordanta cu faptul ca probabilitatea ca pixelii indepartati de centru sa se abata de la modelul (implicit) de imagine constanta in fereastra este creste cu distanta de la centru. Prin ponderarea introdusa, filtrul binomial este mai putin sensibil decat filtrul uniform la abaterile imaginii fata de modelul optimizat de filtru. Este un prim pas util spre obtinerea unui filtru robust.

Fig. 6.5. Stanga: Imagine Lena original. Mijloc: Rezultat filtru binomial 5×5 . Dreapta: rezultat filtru uniform 5×5 .

2.3. Filtrul Gaussian

Filtrul Gaussian discret se obtine prin esantionarea unei Gaussiene cu medie nula:

             (6.20)

Dispersia Gaussienei este un parametru ce permite dozarea gradului de netezire. Dimensiunile matricii operatorului discret trebuiesc alese astfel incat sa se esantioneze cel putin intervalul 3s pe amblele directii. Chiar pentru parametri s de valori moderate, rezulta operatori de dimensiuni relativ mari. Datorita esantionarii si trunchierii spatiale, constanta ce intervine in ecuatia (6.20) nu se poate alege conform definitiei distributiei continue. Considerand o fereastra de format (2w+1)× (2w+1), constanta se alege:

,                       (6.21)

pentru a se asigura normalizarea necesara pastrarii valorii medii a imaginii. Calculul convolutiei cu masca filtrului gaussian poate fi accelerat substantial prin exploatarea separabilitatii nucleului:

.  (6.22)

De remarcat, de asemenea, simetria circulara a operatorului: coeficientii filtrului sunt constanti pe o raza, r²=x²+y².

Filtrul Gaussian are numeroase proprietati de optimalitate.