Constructia unei baze ortonormate, pornind de la o baza data

Constructia unei baze ortonormate, pornind de la o baza data

Fie E_n si baza .

Construim mai intai o baza ortogonala cu

facand urmatoarea consideratie

adica cu ,

matrice superior triunghiulara.

Punand conditia de ortogonalitate a bazei , obtinem

Acest procedeu se numeste Gram-Schmidt.

TEOREMA 1. Fie E_n. Daca B=(v₁ v₂ v_n) este o baza a spatiului E_n , atunci B = (u₁ u₂ u_n) de forma este o baza ortogonala, iar multimea

este o baza ortonormata a lui E_n.

Demonstratie Din constructie s-a vazut ca este o baza ortogonala baza. Pentru a demonstra ca este ortonormata, consideram produsul scalar a doi vectori din