Spatii vectoriale

Spatii vectoriale

1. Definitie. Fie un grup comutativ si un corp comutativ cu elementul unitate. Consideram o aplicatie externa definita pe produsul cartezian , notata , unde si , cu proprietatile:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

oricare ar fi si .

Grupul comutativ inzestrat cu legea externa care verifica axiomele (1)-(4) se numeste spatiu vectorial peste corpul comutativ . Vom numi punct orice element al unui spatiu vectorial. Deoarece vectorii liberi din respectiv, , verifica toate axiomele de mai inainte, uneori este avantajos sa interpretam elementele (punctele) spatiului ca vectori. De obicei, este corpul al numerelor reale sau corpul al numerelor complexe. In primul caz, se numeste spatiu vectorial real, iar in al doilea caz este numit spatiu vectorial complex.

In continuare vom considera numai spatiile vectoriale reale.

2. Un spatiu vectorial se numeste normat daca exista aplicatia , numita norma pe , care verifica axiomele:

1) , oricare ar fi si daca si numai daca (unde este elementul neutru

al grupului abelian ).

, oricare ar fi (inegalitatea triunghiului).

, oricare ar fi si .

Functia , care verifica numai axiomele 2) si 3) se numeste seminorma pe .

3. Observatie. Daca alegem , , atunci din axioma 2) obtinem sau (folosind partea a doua a axiomei 1)) deducem , care implica . Cum era ales oarecare, observam ca axioma 1) nu este independenta (!).

Exemple: (i). Fie un spatiu vectorial si o aplicatie lineara (vezi, 22). Atunci functia , definita prin , este o seminorma pe .

(ii). Fie spatiu vectorial finit dimensional de dimensiune , un vector definit prin coordonatele sale pe o baza fixata in si o aplicatie lineara. Este posibil sa existe vectori nenuli a.i. . Astfel de aplicatii lineare sunt definite printr-o relatie de forma si ele genereaza in un hiperplan: .

Acest exemplu arata ca, pe un spatiu vectorial dat, se pot introduce mai multe norme. Se poate arata ca toate aceste norme sunt echivalente. Altfel spus, daca in sunt definite doua norme si , atunci exista doua constante pozitive a.i. .

Orice spatiu vectorial normat poate fi metrizat, daca definim distanta intre orice doua puncte prin,

. (1)

4. Definitie. Fie un spatiu vectorial normat. Spatiul se numeste spatiu Banach daca si numai daca este complet in raport cu metrica (1).

(Reamintim ca spatiul metric se numeste complet daca si numai daca orice sir Cauchy din este convergent)

5. Definitie. Fie un spatiu vectorial real. Functia , care verifica axiomele:

(1) , oricare ar fi si daca si numai daca ,

(2) , oricare ar fi ,

(3) , oricare ar fi si ,

(4) , oricare ar fi ,

se numeste produs scalar (produs interior) pe .

6. Observatie. Axioma a doua arata linearitatea produsului scalar in raport cu prima componenta, iar axioma 4) exprima conditia de simetrie. Pe baza axiomeloe 2) si 4) deducem linearitatea produsului scalar in a doua componenta, altfel spus,

, oricare ar fi . (2)

Observatie. In cazul cand este spatiu vectorial complex atunci axioma (4) se inlocueste cu axioma

(4'). , oricare ar fi .

(Bara asezata deasupra numarului complex arata conjugatul acestui numar complex).

Definitie. Un spatiu vectorial finit dimensional real (sau complex) pe care s-a definit un produs scalar se numeste spatiu vectorial euclidian. Daca spatiul vectorial este complex adesea, folosim denumirea de spatiuvectorial unitar.

9. Propozitie. Fie un spatiu vectorial real (sau complex) inzestrat cu un produs scalar, notat . Atunci functia , , defineste o norma pe ,

, (3)

(numita norma asociata produsului scalar) si aceasta norma verifica inegalitatea lui Cauchy-Schwarz

, oricare ar fi . (4)

Demonstratie. Avem echivalenta cu , care implica .

, oricare ar fi si .

Din prima axioma a produsului scalar deducem , oricare ar fi si . Mai departe, avem , oricare ar fi . Daca punem , atunci ultima relatie devine , , de unde rezulta si inegalitatea (4) este verificata.

Utilizand inegalitatea lui Schwarz, deducem

si atunci avem .

Exemplu. Vom considera spatiul vectorial real , in raport cu adunarea obisnuita si inmultirea cu scalari, avand dimensiunea egala cu . Precizam ca multimea

,

unde , formeaza baza canonica in .

Atunci pentru orice element , , avem .

Norma unui element (vector) , este definita prin

. (5)

Pentru orice doi vectori si din , functia

, (6)

defineste un produs scalar pe .

Fie un spatiu vectorial complex de dimensiune finita , in care s-a precizat o baza si vectorii si din . Atunci functia

, (6')

defineste un produs scalar pe . (Daca , atunci este conjugatul complex al lui ).

10. Definitie. Fie un spatiu vectorial. Submultimea se numeste subspatiu vectorial al lui daca verifica conditiile;

i). este multime inchisa.

ii daca , atunci .

iii). daca si , atunci .

Fie un spatiu vectorial. Multimea se numeste convexa daca odata cu orice doua puncte , aceasta multime contine si segmentul

,

care uneste aceste puncte.

In spatiul vectorial normat , bula de centru avand raza ,

, (7)

este o multime convexa.

11. Definitie. Fie o submultime convexa a spatiului vectorial . Functia se numeste convexa (respectiv concava) daca pentru orice si orice are loc inegalitatea

, (8)

(respectiv, ).

Functia se numeste strict convexa (respectiv strict concava) daca pentru orice si orice are loc inegalitatea stricta

(8')

(respectiv,).

Din definitie rezulta ca functia este convexa daca functia este concava.

Functia se numeste afina pe daca este in acelasi timp concava si convexa pe .

12. Observatie. (1). Daca sau , atunci inegalitatile devin egalitati.

(2). Norma , spatiu vectorial, este o functie convexa.

(3). Fie un interval deschis, o functie de clasa . Daca , atunci este convexa pe ; daca , atunci este concava pe .

13. Observatie. Proprietatea din definitia functiilor convexe poate fi exprimata prin relatiile echivalente:

si oricare ar fi sa avem

.

Spatii Hilbert

14. Un spatiu vectorial real in care s-a definit un produs scalar , normat cu norma asociata de produsul scalar, , se numeste spatiu prehilbertian. Daca acest spatiu este complet (spatiu Banach), el se numeste spatiu Hilbert.

Exercitiul 1. Fie un spatiu vectorial. Daca este norma asociata unui produs scalar atunci are loc identitatea paralelogramului

, oricare ar fi . (9)

Reciproc, daca o norma pe spatiul vectorial verifica identitatea paralelogramului atunci exista un produs scalar pe a carui norma asociata coincide cu norma data.

Intr-adevar, fie , un spatiu vectorial real normat a.i. norma verifica relatia (9). Daca definim

, oricare ar fi , (10)

se verifica imediat ca functia este un produs scalar pe si avem .

In cazul cand este un spatiu vectorial complex normat a.i. norma verifica relatia (1) atunci

, oricare ar fi , (2')

defineste un produs scalar pe .

15. Observatie. Pe spatiul exista norme care nu pot genera un produs scalar.

De exemplu, norma definita prin

, oricare ar fi . (11)

nu verifica identitatea paralelogramului si deci nu poate fi asociata unui produs scalar.

Intr-adevar, daca alegem si , atunci avem

si evident nu are loc identitatea paralelogramului.

16. Observatie. Conceptele de linear dependenta a unei multimi finite si de dimensiune finita a unui spatiu sunt pur algebrice; pentru definirea lor folosim numai conceptul de spatiu vectorial.

Daca spatiul vectorial este izestrat cu un produs scalar, este posibil sa obtinem un numar de proprietati utile ale acestui spatiu.

(i). Mai intai sa verificam daca mutimea finita este linear independena sau nu. Pentru aceasta, fie combinatia lineara nula

, . (12)

Inmultind scalar in ambele parti ale ecuatiei (12), succesiv cu fiecare element obtinem

, .

Cu notatiile, , ultimele relatii se scriu sub forma

sau , (13)

unde este matrice simetrica, este o matrice coloana. Conditia necesara si suficienta ca sistemul linear si omogen (13) sa aiba solutie nebanala este ca ; deci multimea este linear dependenta daca si numai daca .

Exemplu. Fie spatiul functiilor continue definite pe intervalul cu valori reale. Definim produsul scalar al functiilor prin

.

Atunci multimea functiilor este linear independenta in .

Intr-adevar, punand

,

avem

.

(ii). Vom defini multimile ortonormale si bazele intr-un spatiu vectorial.

1 Definitie. Fie un spatiu Hilbert (eventual prehilbertian). Vom spune ca elementele (vectorii) sunt ortogonale daca si scriem . Multimea finita se numeste ortonormala daca si numai daca

.

(Altfel spus, elementele multimii sunt ortogonale doua cate doua si au lungimea egala cu .

Orice multime ortonormala este linear independenta.

Intr-adevar, daca folosim relatiile (13), deducem ca matricea (este matricea unitate).

Presupunem ca este un spatiu finit dimensional cu . Atunci o baza care verifica conditiile definitiei (17) se numeste baza ortonormala. De exemplu, in , multimea (finita)

,

formeaza o baza ortonormala, in raport cu produsul scalar (6).

Unul din avantajele folosirii bazelor ortonormale este acela ca multe calcule complicate, efectuate in alte baze, se fac mult mai usor in bazele ortonormale si formulele obtinute se scriu mai simplu. De exemplu, daca este o baza ortonormala in spatiul vectorial si , atunci

.

Data fiind o baza oarecare (care nu este ortonormala) , este posibil totdeauna, folosind procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt, sa construim o baza ortonormala.

Pentru orice , numerele se numesc coeficientii Fourier ai lui in raport cu sistemul ortonormal .

Exercitiul 2. (Aproximarea in medie patratica). Fie un spatiu prehilbertian. Daca sunt coeficientii Fourier ai lui , in raport cu sistemul ortonormal , atunci are loc inegalitatea lui Bessel:

. (14)

Intr-adevar, putem scrie

Exercitiul 2) poate fi interpretat astfel: dintre toate combinatiile lineare de forma , cea mai buna aproximare in sensul normei din ( poate fi chiar ) a unui element este realizata de combinatia lineara in care coeficientii sunt egali cu coeficientii Fourier asociati lui (vezi seminarul).

1 Observatie. Consideratiile de mai inainte se pot extinde la o multime oarecare de elemente din spatiul prehilbertian . Multimea este, prin definitie, ortonormala daca elementele acestei multimi sunt ortogonale doua cate doua si au norma egala cu .

Exemplu. Notam cu clasa functiilor reale definite pe intervalul , de patrat integrabile. Altfel spus, daca si numai daca apartine unei clase de echivalenta de functii de patrat integrabile (adica, verifica conditiile):

1). este integrabila;

2). este integrabila, ;

3). functiile si sunt echivalente (vom scrie ) a.p.t. pe .

Aceasta multime, in care s-a definit adunarea functiilor si inmultirea cu scalari , oricare ar fi si , prin

si , ,

formeaza un spatiu vectorial real. Pe acest spatu vectorial introducem norma

. (15)

Pe spatiul vectorial real , definim produsul scalar

. (16)

Asadar, spatiul vectorial real este un spatiu prehilbertian.

Sirul de functii cu este convergent in norma daca exista o functie a.i. sirul de numere reale converge catre zero, cand :

cand . (17)

In acest caz spunem ca sirul de functii din converge in medie patratica, pe intervalul , la functia .

Daca sirul de functii converge in medie patratica in la functia nu rezulta ca tinde catre in fiecare punct . De exemplu, sirul de functii

tinde in medie patratica pe intervalul catre functia nula, dar nu converge uniform pe acest interval.

Intr-adevar, din

implica ,

ceea ce arata ca sirul converge in medie patratica catre functia nula. Analizand convergenta in sensul distantei dintre si functia nula,

, cand ,

deducem ca sirul nu converge uniform.

19. Observatie. Daca sirul converge uniform pe intervalul catre functia atunci el converge in medie patratica. Intr-adevar, fie , fixat. Datorita ipotezei, putem alege suficient de mare a.i. . Atunci avem

,

ceea ce arata convergenta in .

Asa dupa cum s-a aratat , reciproc nu este adevarat.

20. Propozitie. Daca sirul de functii din converge in medie patratica la functia , atunci pentru orice functie , sirul de produse scalare (definit de (16)) converge catre .

Demonstratie. Pentru a demonstra aceasta afirmatie este suficient sa aratam ca sirul tinde la zero. Folosind inegalitatea lui Schwarz,

,

si deoarece, , cand , deducem ca .

21. Observatie. Se poate demonstra ca , cu norma (15), este spatiu vectorial real normat complet. Spatiul functiilor continue este dens in . In norma (15) este generata de produsul scalar (16) si deci este un spatiu Hilbert.

Exercitiul 3. Multimea functiilor

, (18)

formeaza un sistem ortogonal pe intervalul in raport cu produsul scalar (16), iar

, (19)

este o multime ortonormala de functii pe intervalul .

22. Pentru orice functia asociem seria Fourier trigonometrica (generata de functia)

, (20)

unde

(21)

se numesc coeficientii Fourier[2] asociati functiei in raport cu sistemul ortogonal (18).

Convergenta seriei Fourier trigonometrice (20), generata de functia , este inteleasa in medie patratica, adica in sensul normei din , definita prin relatia (15). Mai precis, fie polinomul trigonometric

, (22)

care reprezinta sirul sumelor partiale asociat seriei (22), atunci aceasta serie converge catre functia daca si numai daca sirul numeric converge la zero:

. (23)

23. Definitie. Functia este periodica de perioada , daca

.

24. Observatie. Daca functia este periodica de perioada , atunci verifica conditia

.

Daca, in plus, este integrabila pe , atunci

, oricare ar fi .

Analog, ca mai inainte, pentru orice functie , periodica cu perioada , continua pe portiuni pe orice interval compact, asociem seria Fourier trigonometrica (generata de functia)

, (24)

unde

(25)

se numesc coeficientii Fourier   asociati functiei in raport cu sistemul ortogonal (18).

25. Teorema. (Dirichlet). Fie o functie periodica cu perioada care verifica conditiile:

(1). este continua pe portiuni.

(2). derivata este continua pe portiuni,

atunci seria Fourier trigonometrica asociata lui converge in orice punct de continuitate catre functia si avem,

, (26)

iar in orice punct de discontinuitate seria este convergenta si suma seriei este egala cu saltul lui in acest punct:

. (27)

Aplicatii lineare

Aplicatiile lineare au sens daca sunt definite pe spatii lineare (normate). Aplicatiile lineare, de exemplu, functionalele lineare si formele bilineare joaca un rol important in studiul problemelor initiale si la limita; operatorii de proiectie sunt legati de aproximarea problemelor initiale si la limita; un rol important il au operatorii lineari pe spatii vectoriale finit dimensionale, de exemplu, in numeroase situatii se aproximeaza o functie (aplicatie) cu o aplicatie lineara.

26. Definitie. Fie doua spatii vectoriale normate, reale. O aplicatie se numeste lineara daca verifica proprietatile:

1). (proprietatea de aditivitate),

2). (proprietatea de omogenitate),

pentru orice si orice .

Fie spatii vectoriale reale. Vom nota cu multimea tuturor aplicatiilor lineare definite pe cu valori in

O aplicatie lineara a unui spatiu in el insusi se numeste operator linear (sau endomorfism), iar daca aplicatia lineara este definita pe un spatiu vectorial cu valori reale se numeste adesea, functionala lineara.

Endomorfismele de spatii vectoriale finit dimensionale sunt marginite, deci continue.

Exemplul 1. Fie , si multimea aplicatiilor lineare si continue definite pe cu valori in si o aplicatie lineara si continua. Atunci pentru orice ( este scalar, deoarece orice vector din este scalar (!)) avem

unde este un scalar unic determinat.

Aceasta relatie arata structura aplicatiilor lineare de la in . Altfel spus, data fiind aplicatia lineara si continua , atunci exista unic scalarul (constanta) a.i. . Scalarul este unic determinat de valoarea lui pe o baza a spatiului vectorial .

2 Definitie. Fie si doua spatii vectoriale normate. O aplicatie se numeste izometrie de spatii vectoriale daca

Aplicatia este lineara si bijectiva

Oricare ar fi , (aplicatia pastreaza norma).

2 Propozitie. Fie spatii vectoriale normate, reale. O aplicatie lineara , continua intr-un punct , este continua in tot spatiul .

Demonstratie. Fie un punct oarecare al spatiului . Functia , definita prin, este o izometrie a lui in el insusi. Intr-adevar, functia este bijectiva si invariaza distanta intre orice doua puncte din : , avem

Fie bula . Atunci si deci transforma in bula si reciproc. Fie oarecare, dar fixat. Atunci, din continuitatea lui in , rezulta ca exista astfel incat orice avem . Cum este lineara avem

si deci .

Deoarece , atunci din rezulta

,

ceea ce arata continuitatea lui in .

29. Teorema. Fie un spatiu vectorial normat de dimensiune finita si un spatiu normat oarecare. Atunci orice aplicatie lineara este uniform continua. Mai mult, exista a.i.

oricare ar fi . (28)

Demonstratie. Fie si o baza in spatiul . Atunci, orice poate fi scris unic sub forma , . Daca punem

,

obtinem o norma pe . Deoarece orice doua norme definite pe un spatiu vectorial finit dimensional sunt echivalente, deducem ca norma introdusa este echivalenta cu , adica exista a.i. . Asadar, folosind linearitatea lui putem scrie

unde . Cu notatia obtinem inegalitatea (28).

Uniform continuitatea aplicatiei lineare rezulta imediat din (28) deoarece pentru orice avem .

30. Definitie. Fie si doua spatii vectoriale normate (nu obligatoriu finit dimensionale). O aplicatie lineara este marginita daca exista ( depinde de si nu depinde de ) a.i.

oricare ar fi . (29)

Inegalitatea (29) permite definirea normei unui operator: Fie . Aplicatia , definita prin

(30)

este o norma pe spatul vectorial , numita norma operatorului si atunci pentru orice aplicatie lineara si continua deci marginita, putem scrie inegalitatea fundamentala

oricare ar fi . (31)

Intr-adevar, daca , inegalitatea este verificata. Daca , atunci relatia (29) poate fi scrisa sub forma . Asadar, este natural ca cel mai mic majorant al lui , care verifica inegalitatea (29), sa fie numit norma operatorului si notat prin . In consecinta, punem si avem (31). Pe de alta parte, daca atunci . Fie , atunci si din inegalitatea (31) obtinem . Daca , atunci avem . Asadar, este cel mai mic numar dintre toate numerele cu proprietatea data de formula (29). ramane de aratat ca functia care defineste "norma lui ", , data de (30), verifica axiomele normei (vezi teorema 32).

Exemplul 2. Fie , definita prin , . Folosind norma convergentei uniforme, , sa se arate ca operatorul linear este marginit.

Indicatie. Din ,

deducem si in consecinta, operatorul linear este marginit, prin urmare continuu.

31. Teorema. Fie si spatii vectoriale normate (nu neaparat de dimensiune finita). O aplicatie lineara este continua daca si numai daca este marginita.

Demonstratie. Aratam implicatia "" Vom presupune ca aplicatia lineara este marginita si fie , . Avem

,

de unde rezulta chiar uniform continuitatea lui .

Aratam implicatia in sens invers " " Fie o aplicatie lineara continua despre care presupunem ca nu este marginita. Atunci pentru orice exista un sir din spatiul vectorial a.i. sau . Folosind proprietatile normei si faptul ca este o aplicatie lineara avem . Fie sirul . Deoarece , atunci avem . Din relatia deducem ca si deci, aplicatia lineara nu este continua in origine si ipoteza este contrazisa.

In continuare vom prezenta si alte definitii ale normei unei aplicatii lineare .

32. Teorema. Fie si spatii vectoriale normate finit dimensionale. Pentru orice aplicatie lineara si marginita avem

. (*)

In acest caz spunem ca este o norma de aplicatie lineara subordonata normei vectoriale din .

Demonstratie. Existenta numarului apare din teorema 29 si formula (29), daca se alege . In adevar, daca notam si cum , oricare ar fi ; punand deducem ca si cum este finit avem .

Fie . Aratam ca oricare din formulele (*) definesc o norma:

Avem evident, si in orice punct din . Intr-adevar,

si deci pentru orice avem (operatorul linear nul).

2) Fie . Atunci

3) Fie si atunci avem

Din inegalitatea fundamentala (31) deducem ca daca atunci , si deci

. (**)

Din definitia lui rezulta ca pentru orice , fixat, exista un punct a.i. sa avem

.

Daca punem , atunci si avem

,

de unde, cu atat mai mult . Deoarece a fost ales arbitrar, deducem

. Tinand seama de inegalitatile (**) rezulta egalitatile (*). Mai mult, avem

.

Exemplul 3. Fie si . Fie multimea aplicatiilor lineare si continue definite pe cu valori in , si fie o aplicatie lineara si continua. Atunci pentru orice ( este scalar, deoarece orice vector din este scalar(!)) avem

, (32)

unde vectorul este unic determinat.

Aceasta relatie arata structura aplicatiilor lineare de la in . Altfel spus, dat fiind aplicatia lineara si continua , atunci exista unic vectorul a.i. . Vectorul este unic determinat de valoarea lui pe o baza a lui . Operatorul este marginit si pentru orice

, avem . Deci .

Aratam ca este izomorf cu . In acest scop, definim aplicatia , prin

.

Constatam ca aplicatia este lineara: .

Aplicatia este injectiva si cum este aplicatie lineara pe spatii finit dimensionale este si surjectiva, deci este bijectiva. Deoarece

,

deducem ca pastreaza norma, deci este o izometrie. Aceasta izometrie ne permite sa identificam spatiul Banach cu .

Exemplul 4. Fie si si ca de obicei, notam cu spatiul vectorial al aplicatiilor lineare si continue definite pe cu valori in , si fie o aplicatie lineara si continua. Atunci exista o unica matrice (matricea , cu linii si coloane este matricea asociata operatorului linear pe bazele canonice ale spatiilor si ) a.i.

, (33)

unde este matricea coloana formata cu coordonatele vectorului .

Daca , atunci . Vom nota cu si , matricele care au pe coloana coordonatele vectorilor respectiv, . Atunci relatia (33) se scrie matricial

. (34)

Fiind data aplicatia , atunci matricea , care verifica formula (33) sau (34) este unica si se numeste matricea asociata operatorului linear calculata pe bazele canonice ale spatiilor si (vezi observatia 35).

Operatorul este marginit si norma sa este data de norma matricei asociata .

Intr-adevar, fie . Datorita teoremei 32, daca alegem pe cele doua spatii vectoriale si aceeasi norma, de exemplu, , atunci norma operatorului linear subordonata acestei norme vectoriale este egala cu norma matricei :

.

Folosind relatia (34), obtinem

Atunci, are loc majorarea

care arata ca operatorul este marginit.

Deoarece este functie continua pe si multimea este compacta, atunci marginea superioara poate fi atinsa si in consecinta, putem defini norma matricei (norma operatorului ) subordonata normei vectoriale , prin

. (35)

De exemplu, daca alegem vectorul , atunci si observam ca marginea superioara poate fi atinsa in acest punct:

.

33. Observatie. Daca pe alegem norma , atunci se poate arata ca norma asociata operatorului subordonata normei vectoriale are forma

. (36)

34. Observatie. Relatiile (33) sau (34) arata structura aplicatiilor lineare de la in . Altfel spus, dat fiind aplicatia lineara si continua , atunci exista o unica matrice asociata lui care verifica formula (33) si reciproc. Asadar, spatiul vectorial este izomorf cu spatiul vectorial al matricelor cu linii si coloane cu elemente reale.

35. Observatie. (Calculul matricei asociate operatorului ). Fiind data aplicatia lineara si continua , se cere sa se calculeze matricea asociata lui , , care verifica formula (33).

Fie baza canonica in , unde . Cum este produsul direct notat , atunci se poate pune pune in evidenta componentele operatorului , :

, adica .

Avem , unde reprezinta linia a matricei ;

36. Operatorii de derivare permit definirea aplicatiilor lineare care nu sunt continue. Notam cu spatiul vectorial al functiilor reale definite pe de clasa pe acest interval si cu spatiul vectorial al functiilor reale continue definite pe . Pe aceste spatii consideram norma convergentei uniforme .

Fie operatorul de derivare , care asociaza la orice functie , derivata sa . Aratam ca acest operator linear(!) nu este continuu.

Fie de exemplu, functia polinomiala . Atunci . Pe de alta parte, avem

, cand

in schimb, si nu poate sa tinda catre zero. Asadar, operatorul de derivare nu este continuu.

3 Lema. Fie , unde si . Daca este matricea asociata aplicatiei si este matricea asociata aplicatiei atunci matricea produs este matricea asociata aplicatiei .

Demonstratie. Deoarece este matricea asociata aplicatiei atunci, potrivit formulei (31), putem scrie . Asemanator, din faptul ca este matricea asociata aplicatiei , atunci . Din

,

de unde rezulta ca este matricea asociata aplicatiei . Mai mult, deoarece si sunt matrice unic determinate, atunci matricea exista si este unica.

3 Observatie. Fie , atunci bijectiva daca si numai daca si matricea asociata este inversabila.

"". Presupunem ca este bijectiv. Atunci si exista o unica aplicatie a. i. si . Fie matricea asociata lui si matricea asociata lui .

Din definitia aplicatiei identice, , rezulta egalitatea si deci, matricea asociata aplicatiei identice , este matricea unitate

. Avem si , deci .