ANALIZA SERIILOR TEMPORALE

ANALIZA SERIILOR TEMPORALE

Serii temporale. Notiuni generale

Seriile temporale exprima evolutia in timp (T) a unei variabile aleatoare (X): X = f(T). In functie de tipul variabilei, seriile temporale pot fi continue (cand valorile seriei sunt cunoscute pentru orice moment de timp - t) si discontinue sau discrete (cand valorile seriei sunt cunoscute numai la anumite momente de timp: t₁, t₂, t₃, , t_n) (Serban, 2001).

Intrucat timpul are caracter continuu, in analiza seriior temporale el este fragmentat in perioade echidistante: ore, zile, luni, ani etc. El capata astfel un caracter discret.

Seriile de timp pot fi stationare (aleatoare) si nestationare (evolutive). In cazul seriilor stationare, o valoare a seriei la momentul t_i (y_ti) nu depinde de valoarea anterioara (y_ti-k), existand astfel independenta intre timp si variabila considerata. Parametrii statistici ai unei serii stationare (media, varianta, momentele de ordin superior) raman constanti in timp.

Seriile nestationare se caracterizeaza prin modificarea in timp a a parametrilor sai statistici. In acest caz poate fi identificata o legatura mai mult sau mai putin intensa intre variabila considerata si timp, datorata autocorelatiei temporale a valorilor seriei.

Analiza seriilor de timp are drept scop identificarea si descrierea procesului care genereaza evolutia variabilei considerate in vederea prognozarii evolutiei ei ulterioare. La baza analizei seriilor de timp stau graficele in care pe abscisa se reprezinta timpul, iar pe ordonata variabila studiata. Simpla observatie vizuala a unui asemenea grafic poate permite recunoasterea tipului de serie. Astfel, in fig. 1.1. A poate fi identificata o serie nestationara, cu tendinta descendenta, in timp ce in fig. 1 B se poate identifica o serie ce vizula poate fi considerata stationara In cazul in care graficul nu este foarte relevant, pentru a stabili daca seria este stationra sau nestationara, se recomanda aplicarea unui test de autocorelatie. Un astfel de test este testul lui Neumann, prezentat in Anexa 1.1. (Chadule, 1997).

Fig. 1.1. A. Serie temporala nestationara cu tendinta descendenta; B. Serie temporala stationara.

Seriile temporale evolutive sunt supuse analizei pentru identificarea tipului de legatura intre timp si variabila considerata, ceea ce permite prognozarea evolutiei seriei in viitor.

Seriile temporale evolutive includ trei componente de baza:

tendinta (T);

componenta periodica sau ciclul (P);

componenta aleatoare sau stochastica (A).

In aceste conditii, se poate considera ca o serie temporala Y(t) este formata din suma celor trei componente de baza: Y(t) = T+P+A.

Tendinta indica modificarea in sens ascendent sau descendent a sensului de evolutie a seriei. Componenta periodica include oscilatii (cicluri) care se repeta la intervale egale de timp, cu amplitudini regulate sau neregulate. Componenta aleatoare exprima reziduul sau abaterile valorilor seriei fata de valorile teoretice corespunzatoare tendintei. Analiza seriilor de timp presupune separarea celor trei componente si interpretarea lor.

Analiza seriilor temporale este frecvent utilizata pentru cunoasterea comportamentului in timp a variabilelor hidrologice si climatice (debite lichide si solide, nivelul apei, temperatura apei si a aerului, precipitatii, evaporatie etc.). Un rol important in aceasta analiza il are scara temporala. De exemplu, analiza seriilor de date anuale mascheaza ciclicitatea anotimpuala.

Tendinta si analiza ei

Tendinta exprima sensul general de evolutie a seriei de date in perioada de timp considerata. Ea este generata de neomogeneitatea si inconsistenta seriilor de date, datorita unor modificari ce survin fie in modul de efectuare a observatiilor si masuratorilor, fie in factorii care influenteaza desfasurarea fenomenului analizat (dupa cum s-a precizat in capitolul privind seriile de date). De exemplu, scurgerea lichida si de aluviuni poate fi influentata de despaduriri sau impaduriri, de amenajari hidrotehnice, de extinderea arealelor urbanizate etc. Caracterul neomogen si/sau inconsistent al unei serii temporale poate fi stabilit prin metode grafice sau teste statistice (conform capitolului "Verificarea seriilor de date"). Dintre metodele grafice este utilizata cea a curbelor integrale, iar ca teste statistice, testul Fisher si testul Student (a se vedea Serban, 2001).

1. 2.1. Tendinta liniara si neliniara

Graficul variatiei in timp a unui parametru permite identificarea vizuala a tendintei generale, prezenta de discontinuitati, salturi si schimbari bruste. Tendinta poate fi exprimata printr-o functie liniara sau neliniara (polinomiala) reprezentata, de asemenea, pe grafic.

Functia liniara a unei tendinte (T) corespunde unei drepte de regresie, definita de ecuatia:

T = at + b.

Functia neliniara este definita de polinoame de diferite grade cu ecuatia generala de forma:

T = a + bt + ct² +,

In ecuatiile mentionate, t reprezinta timpul, iar a, b, c sunt parametri ce se determina prin metoda celor mai mici patrate.

Tendintei liniare ii corespunde grafic dreapta de regresie. Parametrii a si b care o definesc sunt estimati prin metoda celor mai mici patrate, cu ajutorul relatiilor (Groupe Chadule, 1997):

a = si

b = ,

unde: y_ti = valorile seriei temporale la momentul ti; = media aritmetica a valorilor seriei temporale; = (n+1)/2, in care n este efectivul seriei de date.

Functiile neliniare pot fi transformate in functii liniare prin logaritmare (a se vedea capitolul "Corelatii").

Cu ajutorul programelor computerizate (de exemplu Excel) se pot trasa automat tendintele generale ale seriilor temporale, obtinandu-se, de asemenea, ecuatiile acestora si coeficientii de corelatie (fig. 1.2.).

Fig. 1.2. Variatia temporala a debitelor medii anuale ale raului Prahova la

Poiana Tapului si tendinta liniara

In cazul functiilor polinomiale, analiza vizuala a tendintei seriei de date, precum si analiza coeficientilor de corelatie permit identificarea celei mai potrivite functii (fig. 1.3.). In general, ajustarea seriei initiale este din ce in ce mai buna pe masura ce gradul polinomului creste pana la un anumit nivel unde valoarea coeficientului de corelatie nu se mai imbunatateste. Acest nivel corespunde polinomului de grad optim pentru ajustarea seriei considerate (Radoane si colab., 1996). In graficul din fig. 1.3., coeficentul de corelatie r pentru polinomul de gradul 2 este 0,25, pentru polinomul de gradul 4 r = 0,36, iar pentru cel de gradul 6 r = 0,38.

Fig. 1.3. Variatia temporala a debitelor medii anuale ale raului Prahova la

Poiana Tapului si reprezentarea tendintei polinomiale de gradul 2, 4 si 6.

Cunoscand tendinta (T_t) se determina componenta reziduala () a seriei de date observate (Y_t) cu ajutorul relatiei (Radoane si colab., 1996):

= Y_t - T_t.

1.2.2. Mediile mobile

Mediile mobile sau glisante constituie o metoda de stabilire si extragere a tendintei unei serii temporale. Reprezentate grafic ele pun in evidenta variatiile pe diferite intervale de timp ale parametrului analizat si pot servi la stabilirea gradului polinomului care ajusteaza seria.

De exemplu, pentru o serie de 10 valori anuale

y₁, y₂, y₃, y₄, y₅, y₆, y₇, y₈, y₉, y₁₀,

se pot calcula 6 medii mobile pe o durata de 5 ani:

z₁ = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄ + y₅)/5;

z₂ = (y₂ + y₃ + y₄ + y₅ + y₆)/5;

z₃ = (y₃ + y₄ + y₅ + y₆ + y₇)/5;

z₄ = (y₄ + y₅ + y₆ + y₇ + y₈)/5;

z₅ = (y₅ + y₆ + y₇ + y₈ + y₉)/5;

z₆ = (y₆ + y₇ + y₈ + y₉ +y₁₀)/5.

Valoarea fiecarei medii mobile este centrata pe valoarea din mijlocul intervalului pentru care s-a calculat media sau pe ultima valoare mediata.

Mediile mobile estompeaza neregularitatile verticale ale seriei initiale cu atat mai mult cu cat perioada pentru care se determina media mobila este mai lunga. In cazul in care perioada de calcul a mediei mobile este mai mare decit durata ciclurilor specifice seriei, acestea nu mai sunt evidentiate, disparand. Alegerea perioadei pentru care se determina media mobila depinde de obiectivul urmarit. Daca se analizeaza serii de date lunare se recomanda ca perioada mediilor mobile sa fie de 12 luni. Pentru date anuale se calculeaza, in general, mediile mobile pe 10 ani.

Mediile mobile prezinta dezavantajul ca la capatul din stanga al seriei de date (in cazul mediei mobile centrate pe ultima valoare mediata) sau la ambele capete ale seriei (cand media mobiila este centrata pe valoarea din mijlocul intervalului analizat) exista o pierdere de informatie cu atit mai mare cu cat perioada pentru care se calculeaza media este mai mare (fig. 1.4.).

Fig. 1.4. Variatia temporala a debitelor medii anuale ale raului Prahova la Poiana Tapului

si reprezentarea mediilor mobile pe 5 ani si pe 10 ani

ANEXA 1. 1.

Testul lui von Neumann este un test de verificare a autocorelatiei, deci a stationaritatii unei serii temporale. Daca variabila este stationara, media patratelor ecarturilor intre valorile succesive ale seriei Y_T este apropiata de dublul variantei seriei Y_T.

Testul presupune calcularea unei valori w cu ajutorul relatiei:

w = ,

in care: n = efectivul seriei; y_ti = valoarea seriei la momentul t; = media seriei.

Daca w se indeparteaza de 1, seria nu este stationara. Se poate verifica semnificativitatea ecartului astfel: pentru n > 25, valoarea

trebuie sa sa fie mai mare de 1,65 pentru a stabili, cu un risc de eroare α = 0,05 ca seria este nestationara.

(dupa Groupe Chadule, 1997).